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第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法,4.1 根軌跡法的基本概念 4.2 根軌跡繪制的基本規(guī)則 4.3 廣義根軌跡 4.4 線性系統(tǒng)性能的根軌跡分析法,本章主要內(nèi)容,介紹了系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點、零點已知的條件下確定閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡法，并分析系統(tǒng)參量變化時對閉環(huán)極點位置的影響； 根據(jù)閉環(huán)特征方程得到相角條件和幅值條件由此推出繪制根軌跡的基本法則； 根軌跡繪制：常規(guī)根軌跡、參數(shù)根軌跡、零度根軌跡; 根軌跡法分析系統(tǒng)性能,掌握根軌跡的基本概念；正確理解開環(huán)零極點、閉環(huán)零極點及根軌跡的含義； 掌握控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法； 正確繪制出不同參量變化對系統(tǒng)根軌跡圖; 能夠運用根軌跡法對控制系統(tǒng)進行分析； 明確閉環(huán)零、極點的分布和系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系。,本章教學(xué)目的及要求,本章的重點、難點,重點：根軌跡的繪制，利用根軌跡分析控制系統(tǒng) 關(guān)鍵點：根軌跡方程，幅值條件，相角條件 難點：廣義根軌跡的繪制,本章學(xué)習(xí)方法,通過具體習(xí)題練習(xí)掌握根軌跡繪制方法，不要死記硬背各種繪制法則，要多總結(jié)歸納典型極、零點分布對根軌跡的大致圖形。,切記：沒有時域分析法的基礎(chǔ)，根軌跡法只是一個“空中樓閣”。離開時域分析法來談根軌跡方法是沒有意義的，所以在學(xué)習(xí)根軌跡方法的時候要注意聯(lián)系時域分析法的知識和結(jié)果。事實上，根軌跡方法只是時域分析方法的一種輔助圖解法。兩者正好相輔相成。,第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法,4-1 根軌跡法的基本概念,引 言,開環(huán)傳遞函數(shù)：,閉環(huán)傳遞函數(shù)：,誤差傳遞函數(shù)：,特征方程：,接下來圍繞這些傳遞函數(shù)討論三大系統(tǒng)性能，引出用開環(huán)傳遞函數(shù)研究系統(tǒng)的思路。,根據(jù)前面的內(nèi)容知道，不同的研究內(nèi)容需要選擇不同的傳遞函數(shù)?？偨Y(jié)如下：,研究動態(tài)性能,研究穩(wěn)態(tài)性能,研究穩(wěn)定性,1.穩(wěn)定性（開環(huán)傳遞函數(shù)中包含了穩(wěn)定性的全部信息）,一、從時域分析法看系統(tǒng)的性能,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由閉環(huán)特征方程式1+G(s)H(s)=0的根來決定，即完全由閉環(huán)系統(tǒng)的極點來決定。從上式可以看出，這個特征方程是由開環(huán)傳遞函數(shù)構(gòu)成的。,2.暫態(tài)性能（零極點分布圖與暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系）,所有閉環(huán)極點都在S平面的左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，各指數(shù)項都趨于零，穩(wěn)態(tài)輸出為A0。高階系統(tǒng)穩(wěn)定。,臨界阻尼,零極點分布同單位階躍響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系,從零極點分布同單位階躍響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系圖中可知：,極點距離虛軸越遠(yuǎn)，對應(yīng)的指數(shù)項衰減越快，極點距離虛軸越近，對應(yīng)的指數(shù)項幅值越小 距離虛軸最近得閉環(huán)極點確定著暫態(tài)響應(yīng)得性能, 單位階躍響應(yīng)的暫態(tài)分量的形狀（單調(diào)、振蕩或衰減等）由閉環(huán)得極點來決定；, 暫態(tài)分量的系數(shù)由閉環(huán)系統(tǒng)的極點、零點和一個放大系數(shù)來決定。,結(jié)論：,也就是說：閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能由閉環(huán)系統(tǒng)的零極點分布再加上一個非常容易求得的放大系數(shù)來決定。,3.穩(wěn)態(tài)性能,開環(huán)傳遞函數(shù)中包含了穩(wěn)態(tài)性能所需的系統(tǒng)全部信息。,即閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能僅由開環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)的個數(shù)和開環(huán)放大倍數(shù)（非常容易求得）來決定，同時也與輸入信號的類型有關(guān)。,因誤差傳函僅由開環(huán)傳函 來決定，即有,實質(zhì)上是研究開環(huán)傳遞函數(shù)中原點處的極點個數(shù)和開環(huán)增益。,4.結(jié)論,開環(huán)傳遞函數(shù)中包含了分析系統(tǒng)的三大性能的全部信息。,穩(wěn)定性和暫態(tài)性能與閉環(huán)零極點的分布密切相關(guān)；穩(wěn)態(tài)性能與原點處開環(huán)極點及開環(huán)增益密切相關(guān)。,總之，系統(tǒng)的三大性能是由系統(tǒng)的開環(huán)零極點分布和閉環(huán)零極點分布外加一個非常容易求得的比例系數(shù)來決定。,因此，用開環(huán)零極點分布圖和閉環(huán)零極點分布圖也可以得到控制系統(tǒng)性能的全部信息。,閉環(huán)極點、開環(huán)傳函開環(huán)零極點加上放大倍數(shù)，就可以形成新的出發(fā)點。,1.從數(shù)學(xué)模型的建立開環(huán)傳函的特點,二、分析方法的思路,物理元件典型環(huán)節(jié)單元開環(huán)結(jié)構(gòu)閉環(huán)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,2.從開環(huán)傳遞函數(shù)出發(fā)來研究系統(tǒng)三大性能的優(yōu)點,開環(huán)結(jié)構(gòu)中的典型環(huán)節(jié)就是開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點-很容易獲得,可以直接可求穩(wěn)態(tài)誤差,各個典型環(huán)節(jié)中的參數(shù)可以直接反映系統(tǒng)的物理參數(shù)，這一點對分析系統(tǒng)和改造系統(tǒng)非常有利；,本身就反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能（積分環(huán)節(jié)的個數(shù)和開環(huán)放大倍數(shù)）,同各種傳遞函數(shù)（如閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)）由簡單的關(guān)系。,開環(huán)零極點+開環(huán)增益閉環(huán)零極點全部可能的分布圖分析系統(tǒng)的三大類性能,美好愿望：,一、根軌跡定義（純數(shù)學(xué)定義）： 設(shè)方程(注意這個方程的形式同特征方程的關(guān)系)。,式中， 為實常數(shù)，,為可變參數(shù)。,4.1 根軌跡法的基本概念,為該方程的n個根，每選擇一個K*值，就有一組根與之對應(yīng)，在自變量s平面上就會有一組極點與之對應(yīng)，換一個K*值，會有一組新的極點與之對應(yīng)，當(dāng)K*在實數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)變化時，對應(yīng)的n個根就會在s平面內(nèi)形成n條軌跡線，這些軌跡線就稱為該方程的根軌跡。,設(shè),1.當(dāng) 時，特征方程根形成的軌跡稱為常規(guī)根軌跡。 2.當(dāng) 時，特征方程根形成的軌跡稱為補根軌跡或余根軌跡。 3.當(dāng) 時，特征方程根形成的軌跡稱為完全根軌跡（簡稱全根軌跡），他是根軌跡與補根軌跡的總稱。 4.當(dāng)特征方程有一個以上的參數(shù)在變化時，方程的根軌跡形成族。稱作廣義根軌跡或根軌跡族。,并且：,例4-1 如圖所示為一單位負(fù)反饋系統(tǒng)，試分析該系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù)的變化在s平面上全部可能的分布情況。,系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：,開環(huán)傳函：,開環(huán)極點：,閉環(huán)傳函：,特征方程：,特征根（閉環(huán)極點）:,討論：,2.特征根隨K* 變化時的根軌跡圖,（等于兩個開環(huán)極點）,(兩根重合于1處),（即0K*1/2，兩根為實根）,(兩根為共軛復(fù)數(shù)根，其實部為-1),如圖4-1所示,逐點描跡法：,以Kr=K*為參數(shù)的數(shù)學(xué)曲線可以根據(jù)計算的數(shù)據(jù)表繪出：,圖4-1 例4-1的根軌跡,s,2,1,注意：,K*一變，一組根變；,K*一停，一組根停；,一組根對應(yīng)同一個K*；,2,1,總結(jié)：,有兩個閉環(huán)極點，有2條根軌跡。,根軌跡是從開環(huán)極點出發(fā)點。,通過選擇增益K*，可使閉環(huán)極點落 在根軌跡的任何位置上。,如果根軌跡上某一點滿足動態(tài)特性要求，可以計算該點的K*值，實現(xiàn)設(shè)計要求（見例4-1-2）。,這是個？階系統(tǒng)，,2,根軌跡上的點與K*值一一對應(yīng)，根軌跡是連續(xù)的。,例4-2,對上述單位反饋的二階系統(tǒng)，希望閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)=0.5，確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根。,根據(jù)以前課程，根據(jù)阻尼系數(shù)求出阻尼角。,解：,阻尼角計算如下：,阻尼系數(shù)為0.5時的射線與根軌跡交點處的K*值可以計算出來。,與（4-1）式比較得：,即K*=2。,獲得系統(tǒng)的根軌跡有兩個方法：,圖解法：利用Evans總結(jié)的 規(guī)律畫出根軌跡。 近似,簡單，尤其適合高階系統(tǒng),解析法：對閉環(huán)特征方程解 析求解，逐點描繪。 精確，工作量大,動態(tài)性能： 當(dāng)0K*1/2，所有閉環(huán)極點都在實軸上，系統(tǒng)為過阻尼，單位階躍響應(yīng)為非周期過程。 當(dāng)K*=1/2時，兩個閉環(huán)極點重合在實軸上，系統(tǒng)為臨界阻尼，單位階躍響應(yīng)仍為非周期過程，但響應(yīng)速度加快。 當(dāng)K*1/2時，閉環(huán)極點為復(fù)數(shù)，系統(tǒng)欠阻尼，單位階躍響應(yīng)為振蕩過程，且超調(diào)量隨著K的增大而增大，但調(diào)節(jié)時間變換不明顯。,利用根軌跡圖，可以分析系統(tǒng)的各種性能。對上述的例子,穩(wěn)定性：當(dāng)K*從0變化時，根軌跡不會越過虛軸進入右半平面，所以對于所有的K*值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。,穩(wěn)態(tài)性能：開環(huán)系統(tǒng)在原點有一個極點，所以系統(tǒng)為I型，則開環(huán)增益K*就是穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv。如果知道閉環(huán)極點在根軌跡上的位置，即可求得K*值，從而計算出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。,二、閉環(huán)零極點和開環(huán)零極點之間的關(guān)系,前向通路傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式：,反饋通路傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式：,開環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式：,二、閉環(huán)零極點和開環(huán)零極點之間的關(guān)系,閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式：,閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于開環(huán)系統(tǒng)前向通道根軌跡增益，即Krm=KrG，單位反饋時，開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益等于閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，即Krm=Kr。,閉環(huán)系統(tǒng)的零點由開環(huán)前向通道傳遞函數(shù)的零點和反饋通道傳函的極點所組成；對單位反饋來說，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。,閉環(huán)系統(tǒng)的極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點以及根軌跡增益均有關(guān)。,三、開環(huán)增益和開環(huán)根增益,開環(huán)傳遞函數(shù)的兩種一般形式：,典型環(huán)節(jié)形式,根軌跡形式,開環(huán)增益(無積分環(huán)節(jié)情況),開環(huán)根增益,注意：定義起源于傳遞函數(shù)的不同表達(dá)形式。,開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益Kr與開環(huán)系統(tǒng)的增益K之間僅相差一個比例常數(shù)，這個比例常數(shù)只與開環(huán)傳遞函數(shù)中的零點和極點有關(guān)。,換言之，根軌跡增益（或根軌跡放大系數(shù)）是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母的最高階次項的系數(shù)為1的比例因子。,根軌跡法的基本任務(wù)在于：如何由已知的開環(huán)零、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點，并根據(jù)閉環(huán)極點的分布對系統(tǒng)性能進行分析。一旦閉環(huán)極點確定，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確定，因為閉環(huán)零點可由上式直接得到。在已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時間響應(yīng)可利用拉氏反變換的方法求出，或利用計算機直接求解。,四、根軌跡方程特征方程,閉環(huán)傳遞函數(shù)：,閉環(huán)特征方程為：,它們滿足：,G(s)H(s)是復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)一個矢量：,繪制根軌跡必須滿足的基本條件：,（相角公式：積的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差）,幅值條件,相角條件,（積的模等于模的積，商的模等于模的商）,1. 繪制根軌跡的相角條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值K*的大小無關(guān)。即在s平面上，所有滿足相角條件點的集合構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡圖。即相角條件是繪制根軌跡的主要依據(jù)。,綜上分析，可以得到如下結(jié)論：,2. 繪制根軌跡的幅值條件與系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益K*值的大小有關(guān)。即Kr值的變化會改變系統(tǒng)的閉環(huán)極點在s平面上的位置。,3.在系數(shù)參數(shù)全部確定的情況下，凡能滿足相角條件和幅值條件的s值，就是對應(yīng)給定參數(shù)的特征根，或系統(tǒng)的閉環(huán)極點。,4.由于相角條件和幅值條件只與系統(tǒng)