數(shù)值計(jì)算中的誤差.ppt

數(shù)值計(jì)算中的誤差,誤差及其來源 誤差限和有效數(shù)字 相對(duì)誤差與有效數(shù)字的聯(lián)系 算法的穩(wěn)定性分析,主要內(nèi)容,數(shù)值計(jì)算方法，是指將所欲求解的數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)問題）簡(jiǎn)化成一系列算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，以便在計(jì)算機(jī)上求出問題的數(shù)值解，并對(duì)算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差進(jìn)行分析、計(jì)算。,一、誤差分析,1 數(shù)值計(jì)算方法,2 誤差的含義及其理解,誤差無處不在。一個(gè)合理的算法也可能得出錯(cuò)誤的結(jié)果。,3 算法的數(shù)值穩(wěn)定性,算法選得不恰當(dāng)，不僅影響到計(jì)算的速度和效率，還會(huì)由于計(jì)算機(jī)計(jì)算的近似性和誤差的傳播、積累直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度，有時(shí)甚至直接影響到計(jì)算的成敗。不合適的算法會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差達(dá)到不能容許的地步，而計(jì)算最終失敗，這就是算法的數(shù)值穩(wěn)定性問題。,二、誤差的種類及其來源,模型誤差 觀測(cè)誤差 截?cái)嗾`差 舍入誤差(湊整誤差),過失誤差或疏忽誤差 非過失誤差,1、例子,問題：計(jì)算算式 的近似值：,可用下列四個(gè)式子進(jìn)行計(jì)算：,分別采用近似值：,和,因此，在研究算法的同時(shí)，還必須正確掌握誤差的基本概念，以及誤差在近似值運(yùn)算中的傳播規(guī)律，誤差分析、估計(jì)的基本方法和算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念。否則，一個(gè)合理的算法也可能會(huì)得出一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果來。,解方程,來編制計(jì)算機(jī)程序，在字長為8，基底為10的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)算，則由于計(jì)算機(jī)實(shí)際上采用的是規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算，這時(shí),01,的第二項(xiàng)中最后兩位數(shù)“01”，由于受計(jì)算機(jī)字長的限制，在機(jī)器上表示不出來，于是有：,精確解：,求根公式：,對(duì)嗎？不對(duì)，那么需要把算法進(jìn)行改進(jìn)！這里利用根與系數(shù)的關(guān)系：,于是有：,三、 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差,（一）、 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差限,1、絕對(duì)誤差,設(shè)某一個(gè)量的準(zhǔn)確值（稱之為真值）為 ，其近似值為 ，則 與 的差 稱為近似值 的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。當(dāng) 時(shí)，稱為虧近似值或弱近似值，反之則稱為盈近似值或強(qiáng)近似值。,2、絕對(duì)誤差限，或精度,此 稱為近似值 的絕對(duì)誤差限，或精度。,由于真值往往是未知或無法知道的，因此 的準(zhǔn)確值（真值）也就是無法求出。但一般可估計(jì)出此絕對(duì)誤差 的上限，也即可以求出一個(gè)正數(shù) ，使,（二）、相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限,1、 為什么要討論相對(duì)誤差,2 、相對(duì)誤差,定義：絕對(duì)誤差與真值之比,4、 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差的關(guān)系：,3、相對(duì)誤差限,絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差比較還有一個(gè)差別：量綱之差。,5、 相對(duì)誤差的其它定義,因?yàn)橐粋€(gè)量的真值往往是不可能求出的，所以在求相對(duì)誤差時(shí)，常用絕對(duì)誤差與近似值的比來描述。于是有：,百分誤差：,（三）、有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)系,1、有效數(shù)字,引子：末位的半個(gè)單位,有效數(shù)字的通俗理解,分析：當(dāng)近似值 的誤差限是其某一位上的半個(gè)單位時(shí)，就稱其“準(zhǔn)確”到這一位，且從該位起直到前面第一位非零數(shù)字為止的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字。,例如 的五、六位有效數(shù)字分別為：,數(shù)字的規(guī)格化形式,一般說，設(shè)有一個(gè)數(shù) ，其近似值 的規(guī)格化形式 式中： 都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一個(gè)數(shù)字， ；n是正整數(shù)；m是整數(shù)。,有效數(shù)字,則稱 為具有n位有效數(shù)字的有效數(shù)，或稱為它精度到 。其中每一位數(shù)字 都 是的有效數(shù)字。,若 的誤差限為,有效數(shù)尾部的零的作用 存疑數(shù)字： 具有n位有效數(shù)字的有效數(shù)與真值x精確到第n位的近似值在同一位可能相同或相差可能為1。 有效位數(shù)的長短受到計(jì)算機(jī)字長的限制。,幾點(diǎn)注意,203（3），0.0203（3）， 0.0203（3），0.020300（5）,準(zhǔn)確值,，近似值,2、有效數(shù)字與誤差的關(guān)系,由上式，可以從有效數(shù)字算出近似值得絕對(duì)誤差限；有效數(shù)字的位數(shù)越多，其絕對(duì)誤差限也就越小。,絕對(duì)誤差限,相對(duì)誤差限,參考：易大義，計(jì)算方法，浙江大學(xué),絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的計(jì)算以及有效數(shù)字？,例1 當(dāng)用 來表示 的近似值時(shí)，它的相對(duì)誤差是多少？,解： 具有五位有效數(shù)字， ，由(7)有,計(jì)算題,例2 要使積分 的近似值 的相對(duì)誤差不超過0.1，問至少取幾位有效數(shù)字？,解：可以知道， 這樣 ，,可得n=3，即 只要取三位有效數(shù)字 ，就能保證 的相對(duì)誤差不大于0.1%。,四、誤差的傳播與估計(jì),1、誤差估計(jì)的一般公式,在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)往往都是些近似值，帶有誤差。這些數(shù)據(jù)誤差在多次運(yùn)算過程中會(huì)進(jìn)行傳播，使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差。而確定計(jì)算結(jié)果所能達(dá)到的精度，顯然是十分重要的，但這往往也是件很困難的事。但做一些有用的估計(jì)還是可以做到的。這里介紹一種常用的誤差估計(jì)的一般公式，它是利用函數(shù)的泰勒(Taylor）展開得到的。,以二元函數(shù)為例,絕對(duì)誤差：,分別是 和 對(duì) 的絕對(duì)誤差增長因子，它們分別表示絕對(duì)誤差 經(jīng)過傳播后增大或縮小的倍數(shù)。,相對(duì)誤差：,分別是 和 對(duì) 的絕對(duì)誤差增長因子，它們分別表示絕對(duì)誤差 經(jīng)過傳播后增大或縮小的倍數(shù)。,2、誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播,在具體應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意分析加、減、乘、除、乘方和開方等算術(shù)運(yùn)算對(duì)數(shù)據(jù)誤差的傳播規(guī)律。,1、加、減運(yùn)算,近似值之和的絕對(duì)誤差等于各近似值的絕對(duì)誤差的代數(shù)和。,即：,例如，當(dāng)要求計(jì)算 ，結(jié)果精確到第五位數(shù)字時(shí)，至少取到（八位）,才能達(dá)到具有五位有效數(shù)字的要求。如果變換算式（五位）：,3、例題分析,問題：利用 計(jì)算代數(shù)式 的值， 并分析對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。,計(jì)算結(jié)果,分析算法對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果有重要的影響。,由于兩個(gè)近似數(shù)相減，使計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)顯著減少，以第二種算法尤為嚴(yán)重。而后兩種算法中，則有效數(shù)字的損失較少。又由于近似值的p次乘方的相對(duì)誤差是該近似值本身的相對(duì)誤差的p倍，因此，在后兩種算法中以最后一種為最佳。,目的：,分析：,應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算算法，避開不穩(wěn)定的算式； 注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)； 大數(shù)“淹沒”小數(shù)的現(xiàn)象發(fā)生； 應(yīng)避免兩相近數(shù)相減（變換）； 絕對(duì)值太小的數(shù)不宜作為除數(shù)； 注意計(jì)算過程中誤差的傳播與積累。,五、防止誤差傳播的若干方法,介紹了誤差理論的基本概念，誤差在近似值運(yùn)算中的傳播規(guī)律以及估算方法，以及數(shù)值穩(wěn)定性的概念； 誤