時域離散信號與系統(tǒng)頻域分析基礎(chǔ).ppt

第2章 時域離散信號與系統(tǒng)頻域分析基礎(chǔ),引言 序列的z變換與連續(xù)信號的拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系 離散時間傅里葉變換 離散時間傅里葉變換性質(zhì) 離散信號與系統(tǒng)分析,2.1 引言,案例 時域信號頻譜分析在信號噪聲濾除中的應(yīng)用。,2.2序列的Z變換與Laplace/Fourier變換的關(guān)系,時域離散信號的Z變換及其收斂域 z變換的定義及其收斂域 z變換的收斂域與序列之間的關(guān)系 z反變換 序列的z變換與連續(xù)信號的拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系,ZT的定義,z 是復(fù)變量，所在的復(fù)平面稱為z平面,時域離散信號的z變換及其收斂域,時域離散信號的z變換及其收斂域,ZT的收斂域,對于任意給定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。 Z變換存在的條件：級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和,收斂域（ ROC ：region of convergence） : 一般收斂域用環(huán)狀域表示,時域離散信號的z變換及其收斂域,常用的Z變換是一個有理函數(shù)， 用兩個多項式之比表示 X(z)的零點:分子多項式P(z)的根; X(z)的極點:分母多項式Q(z)的根; 在極點處Z變換不存在， 因此收斂域中沒有極點， 收斂域總是用極點限定其邊界。,z變換的收斂域與序列之間的關(guān)系,1）有限長序列,除0和兩點是否收斂與n1和n2取值情況有關(guān)外，整個z 平面均收斂。,如果n20 ，則收斂域不包括點 如果n10 ，則收斂域不包括0點 如果n10n2，收斂域不包括0 、點,2）右邊序列,因果序列,的右邊序列 Roc: 因果序列的z變換必在 處收斂 在 處收斂的z變換， 其序列必為因果序列,3）左邊序列,4）雙邊序列,例1:,收斂域應(yīng)是整個z的閉平面,例2：求x(n)=RN(n)的z變換及其收斂域,例3：求x(n)=anu(n)的變換及其收斂域,例4：求x(n)=-anu(-n-1)的變換及其收斂域,給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。 X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點，故： 右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外 左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內(nèi),結(jié)論：,z反變換,實質(zhì)：求X(z)冪級數(shù)展開式 z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長除法,z反變換: 從X(z)中還原出原序列x(n),根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域 內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即 而 其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀 收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條 反時針方向的閉合單圍線。,圍線積分法求解（留數(shù)法）,若F(z)在c外M個極點zm，且分母多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上，則：,利用留數(shù)定理求圍線積分，令,若F(z)在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有K個極點zk，則：,留數(shù)的計算公式,單階極點的留數(shù)：,N階極點的留數(shù)：,單階極點的留數(shù)：,N階極點的留數(shù)：,思考：n=0、1時，F(xiàn)(z)在圍線c外也無極點，為何,部分分式展開法,X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：,對各部分分式求z反變換：,常見序列Z變換,冪級數(shù)展開法求解（長除法）:,一般X(z)是有理分式，可利用分子多項式除分母多項式（長除法）得到冪級數(shù)展開式，從而得到x(n)。,級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n),根據(jù)收斂域判斷x(n)的性質(zhì)，再展開成相應(yīng)的z的冪級數(shù) 將X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 負(fù)冪級數(shù) 降冪排列 左邊序列 正冪級數(shù) 升冪排列,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用長除法展成z的負(fù)冪級數(shù),解：由Roc判定x(n)是左邊序列，用長除法展成z的正冪級數(shù),序列的z變換與連續(xù)時間信號的Laplace變換、Fourier變換的關(guān)系,序列的z變換：,連續(xù)時間信號的Laplace變換：,連續(xù)時間信號的Fourier變換：,1、序列的z變換&理想抽樣信號的Laplace變換,理想抽樣信號：,其Laplace變換：,其z變換：,比較理想抽樣信號的Laplace變換：,得：,z平面： （極坐標(biāo)）,抽樣序列的z變換=理想抽樣信號的Laplace變換,s平面到z平面的 映射是多值映射。,:,:,:,:,2、序列的z變換&理想抽樣信號的Fourier變換,抽樣序列在單位圓上的z變換 =其理想抽樣信號的Fourier變換,Fourier變換是Laplace變換在虛軸上的特例。,即: s=j,映射到z平面為單位圓,數(shù)字頻率w表示z平面的輻角，它和模擬角頻率的關(guān)系為,在以后的討論中，將用數(shù)字頻率w來作為z平面上單位圓的參數(shù)，即,所以說，數(shù)字頻率是模擬角頻率的歸一化值，或是模擬頻率對抽樣頻率的相對比值乘以2p,2.3 離散時間傅里葉變換（DTFT）,一、DTFT的定義,變換對：,稱為離散時間傅里葉變換（DTFT）。,DTFT存在的充分必要條件是：,x(n)絕對可和是x(n)的傅里葉變換存在充要條件； 如果引入沖激函數(shù)，一些絕對不可和的序列，如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來。,解：由定義得 其中,下圖2.7畫出了 與 的圖形。,N=5點矩形序列的傅里葉變換,二、比較ZT和DTFT的定義：,利用ZT和DTFT的關(guān)系可以由ZT計算DTFT。,序列的傅里葉變換是序列的z變換在單位圓上的值,例1、計算矩形序列RN(n)的DTFT,(類似Sa(.)函數(shù) ),(線性相位),解：,DTFT,幅頻特性：,相頻特性：,圖示說明：,N=8點矩形序列的傅里葉變換,2.4 序列傅里葉變換的性質(zhì),序列的Fourier變換和反變換：,2.4 序列傅里葉變換的性質(zhì),1. DTFT的周期性,2. 時移與頻移,3. DTFT的時域卷積定理,4. DTFT的頻域卷積定理,5. DTFT的對稱性,6. DTFT的帕斯瓦爾定理,N為整數(shù),因此序列的傅里葉變換是頻率的周期函數(shù)， 周期是2。 這樣X(ej)可以展成傅里葉級數(shù)， x(n)是其系數(shù)。,1. DTFT的周期性,2. 時移與頻移,設(shè)X(e j)=DTFTx(n)， 那么,3. 時域卷積定理,DTFT x(n)*h(n)=X(e j)H(e j),4. 頻域卷積定理,設(shè) y(n)=x(n)h(n)，則,線性性：,序列線性加權(quán)：,序列翻褶：,序列共軛：,其他性質(zhì),5. DTFT的對稱性質(zhì),定義： 共軛對稱序列：,共軛反對稱序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,其中：,同樣，x(n)的Fourier變換 也可分解成：,對稱性質(zhì),序列 Fourier變換,實數(shù)序列的對稱性質(zhì),序列 Fourier變換,實數(shù)序列的Fourier變換滿足共軛對稱性,實部是的偶函數(shù) 虛部是的奇函數(shù),幅度是的偶函數(shù) 幅角是的奇函數(shù),6. 帕斯維爾(Parseval)定理,2.5 離散信號與系統(tǒng)分析,系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與頻率特性 系統(tǒng)因果性與穩(wěn)定性分析 零極點圖輔助分析系統(tǒng)的頻率特性 系統(tǒng)的輸出響應(yīng),系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與頻率特性,LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 單位抽樣響應(yīng)h(n)的z變換,其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z),系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ：,單位圓上的系統(tǒng)函數(shù),單位抽樣響應(yīng)h(n)的Fourier變換,系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義,1）LSI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：,輸出同頻 序列 幅度受頻率響應(yīng)幅度 加權(quán) 相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和,2）LSI系統(tǒng)對任意輸入序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),1、LSI系統(tǒng)因果穩(wěn)定性分析,穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位圓，即頻率響應(yīng)存在且連續(xù),H(z)須從單位圓到的整個z域內(nèi)收斂即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點必須在單位圓內(nèi),1）因果：,2）穩(wěn)定：,序列h(n)絕對可和，即,而h(n)的z變換的Roc：,3）因果穩(wěn)定：Roc：,零極點圖分析系統(tǒng)的頻率特性,常系數(shù)線性差分方程：,取z變換,則系統(tǒng)函數(shù),利用H(z)在z平面上的零極點分布,頻率響應(yīng)：,零極點圖分析系統(tǒng)的頻率特性,則頻率響應(yīng)的,令,幅角：,幅度：,零點位置影響凹谷點的位置與深度 零點在單位圓上，谷點為零 零點趨向于單位圓，谷點趨向于零 極點位置影響凸峰的位置和深度 極點趨向于單位圓，峰值趨向于無窮 極點在單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定,一 N 階線性系統(tǒng)的差分方程為 即有,系統(tǒng)的輸出響應(yīng),如果輸入為因果序列，系統(tǒng)的初始條件為：,系統(tǒng)的輸出響應(yīng),式（2-62）中右邊第一項與初始條件無關(guān)，只與輸入有關(guān)，為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)；而右邊第二項只與系統(tǒng)的初始條件有關(guān)，與輸入信號無關(guān)， 為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，所以輸出為系統(tǒng)的全響應(yīng)。,系統(tǒng)的輸出響應(yīng),例 已知系統(tǒng)的差分方程為 輸入信號 ，初始條件為 。求系統(tǒng)輸出響應(yīng)。,解：對給定的系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)差分方程取 變換，得 代入初始條件并整理，得 取上式收斂域為 ，則有,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng)：,輸出響應(yīng)：,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng),系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng),若系統(tǒng)穩(wěn)定，則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：,例2-14 已知系統(tǒng)函數(shù)為 輸入信