2024年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題含答案

“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯"2024年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名得分

一、選擇題(共5小題，每小題6分，滿分30分.以下每道小題均給出了代號(hào)為4B,

C,D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)

里.不填、多填或錯(cuò)填都得0分)

424

1.已知實(shí)數(shù)x,y滿意：———=3,y+/=3,則「+"的值為()

XXX

(A)7⑻/??(D)5

2.把一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6的質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后投擲2次，若

兩個(gè)正面朝上的編號(hào)分別為勿，n,則二次函數(shù)〃的圖象與x軸有兩個(gè)不同交

點(diǎn)的概率是()

54171

(A)—(B)-(C)—(D)~

1293b2

3.有兩個(gè)同心圓，大圓周上有4個(gè)不同的點(diǎn)，小圓周上有2個(gè)不同的點(diǎn)，則這6個(gè)點(diǎn)可確

定的不同直線最少有()

(A)6條(B)8條(C)10條(D)12

4.已知N8是半徑為1的圓。的一條弦，且N6=aVl.以48為一邊在圓。內(nèi)作正△力8C,

點(diǎn)。為圓。上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DB=AB=a,%的延長線交圓。于點(diǎn)E,則力￡的長

為()

(A)(B)1(C)(D)a

5.將1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字排成一排，最終一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中隨意連續(xù)三個(gè)

數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么滿意要求的排法有()

(A)2種(B)3種(C)4種(D)5種

二、填空題(共5小題，每小題6分，滿分30分)

6.對(duì)于實(shí)數(shù)u,7,定義一種運(yùn)算"*"為：u^v=uv+V.若關(guān)于X的方程淤(a*x)=—；有

兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿意條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

7.小王沿街勻速行走，發(fā)覺每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛

來一輛18路公交車.假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固

定時(shí)間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時(shí)間是分鐘.

8.如圖，在△［歐中，AB=1,AC=11,點(diǎn)〃是8C的中點(diǎn)，”是N

掰。的平分線，MF//AD,則bC的長為_____.個(gè)人

9.△4?。中，AB=1,BC=8,CA=9,過△力8。的內(nèi)切圓圓心/作"/\\\

//BC,分別與N8,相交于點(diǎn)〃E,則龐的長為______.J_D_\

BDMC

10.關(guān)于x,y的方程f+/=208(x—力的全部正整數(shù)解為.

三、解答題(共4題，每題15分，滿分60分)

11.在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=Ax+6(AW0)的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交

于力，8兩點(diǎn)，且使得△力8的面積值等于I如1+1如1+3.(1)用6表示左(2)求4

如8面積的最小值.

12.是否存在質(zhì)數(shù)Dq,使得關(guān)于x的一元二次方程/加一/+0=0有有理數(shù)根?

13.是否存在一個(gè)三邊長恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角2倍的△

ABC2證明你的結(jié)論.

14.從1,2,…，9中任取〃個(gè)數(shù)，其中肯定可以找到若干個(gè)數(shù)(至少一個(gè)，也可以是全部),

它們的和能被10整除，求〃的最小值.

簡答：

一.選擇題ACBBD-,

-

二.填空題6.a>0或a<—1；7.4；8.9{9,16r10.x=48,x—

160,

y=32；y=32.

2A—A2

三.解答題：n.(1)A=2(6+3)，b>2；(2)當(dāng)6=2+，I5,k=-\時(shí)，△

如8面積的最小值為7+2如；12,存在滿意題設(shè)條件的質(zhì)數(shù)"q.當(dāng)夕=2,g=5時(shí)，

方程2V—5x+2=0的兩根為否=；,苞=2.它們都是有理數(shù)；13.存在滿意條件的三

角形.△月8。的邊a=6,6=4,c=5,且/月=2N8,證明略.14.n的最小值是5,證明

略.

中國教化學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)

“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯"2024年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分.以下每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,

D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，

不填、多填或錯(cuò)填都得0分)

1.已知非零實(shí)數(shù)a,6滿意|2?-4|++2|+^(?-3)&2+4=2a,則a+Z?等于().

(A)-1(B)0(C)1(D)2

【答】C.

解：由題設(shè)知aN3,所以，題設(shè)的等式為,+2|+J(a—3)t=0,于是。=3,b=—2,從

而a+b=1.

2.如圖，菱形力皿的邊長為a,點(diǎn)。是對(duì)角線力。上的一點(diǎn)，且以=a,OB=OC=OD

=L則a等于().

(A)(B)(C)1(D)2

(第2題)

【答】A.

解：因?yàn)椤?0Cs^ABC,所以，即

所以,ci—a—1—0.

由a>0,解得.

3.將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6的質(zhì)地勻稱的正方體骰子先

后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為。，其次次擲出的點(diǎn)數(shù)為6,則使關(guān)于x,y的方程組只

有正數(shù)解的概率為（）.

12513

（A）—（B）-（C）—（D）—

1291836

【答】D.

解：當(dāng)2a-8=0時(shí)，方程組無解.

當(dāng)2a-時(shí)，方程組的解為

由已知，得即或

由。，〃的實(shí)際意義為1,2,3,4,5,6,可得

共有5X2=10種狀況；或共3種狀況.

又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本領(lǐng)件共6X6=36種狀況，故所求的概率為U.

36

4.如圖1所示，在直角梯形四切中，AB//DC,ZB=90°.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)

8動(dòng)身，沿梯形的邊由A。一運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程為x,△月郎的面積為卜把y看

作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則△N8C的面積為（）.

(A)10(B)16(C)18(D)32

解：依據(jù)圖像可得反=4,CD=5,DA=5,進(jìn)而求得力8=8,故

=

S/\ABC~—X8X416.

2

5.關(guān)于x,y的方程必+肛+2^=29的整數(shù)解（x,y）的組數(shù)為（）.

(A)2組（B）3組（C）4組（D）無窮多組

【答】c.

解：可將原方程視為關(guān)于X的二次方程，將其變形為

x2+yx+（2y2—29）=0.

由于該方程有整數(shù)根，則判別式AN0,且是完全平方數(shù).

由△=9-4（2/一29）=-7丁+11620,

解得尸w.于是

9014916

A11610988534

明顯，只有V=16時(shí)，4=4是完全平方數(shù)，符合要求.

當(dāng)y=4時(shí)，原方程為+4x+3=0,此時(shí)石=—1,4=—3；

當(dāng)y=—4時(shí)，原方程為/一4%+3=0,止匕時(shí)退=1,%4=3.

所以，原方程的整數(shù)解為

二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）

6.一個(gè)自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000km后報(bào)廢；若把它安裝在

后輪，則自行車行駛3000km后報(bào)廢，行駛肯定路程后可以交換前、后輪胎.假如交換前、

后輪胎，要使一輛自行車的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車將能行駛km.

【答】3750.

解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為人則安裝在前輪的輪胎每行駛1km

磨損量為,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為.又設(shè)一對(duì)新輪胎交換位置前走了xkm,

交換位置后走了ykm,分別以一個(gè)輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有

兩式相加，得左(x+y)+左(x+y)=2k,

50003000

則x+y=--——-~~--=3750.

-----1-----

50003000

7.已知線段48的中點(diǎn)為C,以點(diǎn)力為圓心，N8的長為半徑作圓，在線段48的延長線上

取點(diǎn)〃使得刖=4。;再以點(diǎn)。為圓心，力的長為半徑作圓，與。力分別相交于凡G兩點(diǎn),

AH

連接挖交加于點(diǎn)〃,則商的值為

解：如圖，延長力。與。。交于點(diǎn)￡,連接加；EF.

由題設(shè)知，，在△，的和中,

/EFA=NFHA=90°,/FAH=/FAF

所以Rt△加sRtaN,

AHAF

AHi

AF=AB,所以-^=_，(第7題)

AB3

8.已知&a2,%,a4,%是滿意條件%+“2+%+%+%=9的五個(gè)不同的整數(shù)，若》是關(guān)

于x的方程(1-01)(X-4)(%-4)(］一。4)(x一。5)=2。。9的整數(shù)根，則方的值為.

【答】10.

解：因?yàn)?Z?-q)(6-0,)(〃一生)僅一%)伍—%)=2009,且如a2,a3,a4,%是五個(gè)不同的

整數(shù)，全部b-a2,b-a3,b-a4,6一生也是五個(gè)不同的整數(shù).

又因?yàn)?009=1x(-l)x7x(-7)x41,所以

b—q+b—%+b—CI3+b—&+b—%=41.

由％+g+。3+。4+%=9，可'《導(dǎo)Z?=10.

9.如圖，在△力比■中，。是高，"為NACB的平分線.若47=15,BC=2Q,CD=12,

則四的長等于.

【答】.

解：如圖，由勾股定理知力。=9,劭=16,所以居=四+劭=25.

故由勾股定理逆定理知△4力為直角三角形，且NACB=90。.

忤EF工BC,垂足為少&EF=x,由/氏陰=工乙4。5=45。，得CF=X,于是即=20—

2

x.由于EF//AC,所以

即

解得.所以.

10.10個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做嬉戲.嬉戲的規(guī)則是:12每個(gè)人心里都

想好一個(gè)數(shù)，并把自己想好的數(shù)照實(shí)地告知他兩旁的兩3個(gè)人，然后每

個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告知他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來.若報(bào)出來的數(shù)如

4

圖所示，則報(bào)3的人心里想的數(shù)是.

65

—2.

【答】(第10題)

解：設(shè)報(bào)3的人心里想的數(shù)是x,則報(bào)5的人心里想的數(shù)應(yīng)是8-

于是報(bào)7的人心里想的數(shù)是12-(8-x)=4+x,報(bào)9的人心里想的數(shù)是

16—(4+x)=12—%,報(bào)1的人心里想的數(shù)是20—(12—x)=8+%,報(bào)3的人心里想的數(shù)是

4—(8+x)=-4—x.所以

x=—4—x9

解得X——2.

三、解答題(共4題，每題20分，共80分)

11.已知拋物線y=%2與動(dòng)直線丁=(2f—l)x—c有公共點(diǎn)a，%),(程為)，

且x；+%2=廠+2t—3.

(1)求實(shí)數(shù)力的取值范圍；

(2)當(dāng)力為何值時(shí)，c取到最小值，并求出c的最小值.

解：(1)聯(lián)立>=必與丁=(2/—l)x—c,消去y得二次方程

x?-(2/-l)x+c=0Q)

有實(shí)數(shù)根X],x2,則X+工2=2/-1,=C.所以

C=%々—~[(%1+羽)2—(X；+X；)]

=^[(2t-l)2-(t2+2t-3)]=.②

............5分

把②式代入方程①得

/―⑵―l)x+；(3/—6f+4)=0.(3)

............10分

t的取值應(yīng)滿意

/+2%-3=x；+%；20,(4)

且使方程③有實(shí)數(shù)根，即

A=(2Z-1)2-2(3Z2-6?+4)=-2t2+8/-7NO,⑤

解不等式④得fW-3或解不等式⑤得W/W.

所以，力的取值范圍為

WtW.⑥

...........15分

(2)由②式知c=]1(3?2-6?+4)=!Q(?-1)2+11.

由于在W/W時(shí)是遞增的，所以，當(dāng)

2

時(shí)，cmin=|(2-^-l)+|=^^............20分

12.已知正整數(shù)a滿意1921a3+191,且a<2009,求滿意條件的全部可能的正整數(shù)a的和.

解：由1921a3+191可得1921a3—1.192=3x2%且

d_]=(a_1)[a(a+1)+1]=(a—l)a(a+1)+(a—1).

...........5分

因?yàn)閍(a+l)+l是奇數(shù)，所以261as等價(jià)于261a—1,又因?yàn)?|(a-l)a(a+l),所以31a—1

等價(jià)于因此有于是可得a=192左+1.

...........15分

又0<a<2009,所以左=0,1,,10.因此，滿意條件的全部可能的正整數(shù)a的和為

11+192(1+24---卜10)=10571............20分

13.如圖，給定銳角三角形NBC,BC<CA,AD,龍是它的兩條高，過點(diǎn)。作△力理的

外接圓的切線/,過點(diǎn)〃￡分別作/的垂線，垂足分別為幾G.試比較線段%'和比的大小,

并證明你的結(jié)論.

解法1：結(jié)論是DF=EG.下面給出證明............5分

因?yàn)镹FCD=NE4B,所以Rt^/OsRt△用A于是可得

同理可得

10分

（第13A題）

又因?yàn)?，所以?E-CD=AZ)-CE,于是可得

DF=EG........................20分

解法2：結(jié)論是DF=EG.下面給出證明.

.........................5分

連接DE,因?yàn)?=所以力，B,D,￡四點(diǎn)共圓，故

NCED=ZABC.......(第13A題)》

又/是。。的過點(diǎn)。的切線，所以NACG=NABC........................15分

所以，NCED=ZACG,千是DE〃FG,故DF=EG.

.......................20分

14.〃個(gè)正整數(shù)q,a2,,a.滿意如下條件:l=al<a2<---<an=2009；

且％,%,,可中隨意〃一1個(gè)不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù).求〃的最大值.

解：設(shè)％,出，，?！ㄖ腥サ簦ズ笫Ｏ碌膎-1個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)2,

z,=l,2,,〃.即2=(/+a2++?")，.

n—1

于是，對(duì)于隨意的1WJW/7,都有

從而〃-1|(%-4)?.......................5分

由于人2=上以=也些是正整數(shù)，故

1"77-1n-1

H-1|23X251........................10分

由于4-1=(4一4-1)+(?！?1-%-2)++(。2一%)

三(八一1)+(〃—1)++(?—1)=(n—1)2,

所以，(n-1)2^2024,于是〃W45.

結(jié)合〃一1|2?義251,所以，nW9........................15分

另一方面，令q=8x0+1,%=8x1+1,%=8義2+1,…，as=8x7+1,

%=8x251+1,則這9個(gè)數(shù)滿意題設(shè)要求.

綜上所述，〃的最大值為9........................20分

中國教化學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)

“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯"2024年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確

選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分)

1.若，則*的值為().

b+c

11

(A)(B)—(C)no

2111IT

ar

—+l

20+l_2l0

解：D由題設(shè)得a+b_b

u

b+cl、+-cll

b10

代數(shù)式變形，同除b

2.若實(shí)數(shù)a,6滿意,則a的取值范圍是().

(A)a<-2(B)a>4(C)2或a24(D)-2WaW4

解.C

因?yàn)榱κ菍?shí)數(shù)，所以關(guān)于力的一元二次方程

的判別式△=(—a)?—4*1*(5。+2)>0,解得aW—2或a>4.

方程思想，未達(dá)定理；要解一元二次不等式

3.如圖，在四邊形被力中，Z^=135°，Z<7=120°，N戶2省，除4—2后，CD=,

則助邊的長為().

(A)2屈(B)4V6

(C)4+V6(D)2+2新

解：D

如圖，過點(diǎn)4。分別作力￡,以垂直于直線8C,垂足分別

為E,F.

由已知可得

B/A后質(zhì),CF=2垃,DF=2y/6,

于是J5F=4+\/6.

過點(diǎn)力作力如；垂足為G.在Rt△力的中，依據(jù)勾股定理得

AD=J(4+府+(府=J(2+扃y=2+276.

勾股定理、涉及雙重二次根式的化簡，補(bǔ)全圖形法

4.在一列數(shù)石，X],x3,..中，已知/=1,且當(dāng)AN2時(shí)，xk=xk_1+1-4-^―jj

(取整符號(hào)同表示不超過實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)，例如[2.6]=2,[0.2]=0),則%刈。等于().

(A)1(B)2(C)3(D)4

解：B

k-1k-2

由$=1和4=+1-4可得

X]=1,%2=2,元3=3,X4=4,

%5=1,%6=2,Xj=3,Xg—4,

因?yàn)?024=4X502+2,所以％01()=2.

高斯函數(shù)；找規(guī)律。

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x分中，等腰梯形4靦的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(1,1),8(2,-

1),。(-2,-1),〃(-1,1).y軸上一點(diǎn)夕(0,2)繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)R,點(diǎn)月繞點(diǎn)

8旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)2點(diǎn)￡繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)心點(diǎn)R繞點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)％……，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)%…，F(xiàn)則點(diǎn)為%的

坐標(biāo)是().；

(A)(2024,2)(B)(2024,-2)

(C)(2024,-2)(D)(0,2)…小

(第5題)

解：B由已知可以得到，點(diǎn)4，鳥的坐標(biāo)分別為(2,0),(2,-2).

記P2(a2,b2),其中%=2,仇=-2.

依據(jù)對(duì)稱關(guān)系，依次可以求得：

G(—4-6?2,—2一人2)，4(2+，4+4),g(―4，-2-4)，穌(4+。2，“2)?

令《(4，d)，同樣可以求得，點(diǎn)兒的坐標(biāo)為(4+4也)，即幾(4x2+4也)，

由于2024=4x502+2,所以點(diǎn)鳥。]。的坐標(biāo)為(2024,-2).

二、填空題

6.已知&=君一1,則2a之十7才一2a—12的值等于.

解：0

由已知得(a+l)2=5,所以a?+2a=4,于是

2a'+71—2a—12=2才+4才+34—2a—12=3/+6a—12=0.

7.一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的馬路上朝同一方向勻速行駛.在某一時(shí)刻,

客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間.過了10分鐘，小轎車追上了貨車;

又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過1分鐘，貨車追上了客車，則t=.

解：15

設(shè)在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分

別為a,b,c(千米/分)，并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得

10(?-/?)=5,①

15(a-c)=2S,②x(b-c)=S.③

由①②，得300-c）=S,所以，尸30.故Z=30-10-5=15（分）.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系也"中，多邊形如閱物的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是0(0,0),A(0,6),

8(4,6),。(4,4),D(6,4),￡(6,0).若直線1經(jīng)過點(diǎn)〃(2,3),且將多邊形物比我

解:(第8題)

如圖，延長a1交x軸于點(diǎn)a連接如，AF-,連接陽DF,且相交于點(diǎn)兒

由已知得點(diǎn)〃(2,3)是OB,力廠的中點(diǎn)，即點(diǎn)〃為矩形力加9的中心，所以直線/把矩形

分成面積相等的兩部分.又因?yàn)辄c(diǎn)N(5,2)是矩形功露的中心，所以，

過點(diǎn)N(5,2)的直線把矩形切罰分成面積相等的兩部分.

于是，直線即為所求的直線/.

設(shè)直線/的函數(shù)表達(dá)式為y=H+8,則

解得，故所求直線/的函數(shù)表達(dá)式為.

9.如圖，射線血/；腳都垂直于線段48點(diǎn)￡為加上一點(diǎn)，過點(diǎn)4作座的垂線4c分別交

BE,BN于點(diǎn)、F,C,過點(diǎn)。作加的垂線切，垂足為〃.若CD=CF,則

解：

見題圖，^FC=m,AF=n.

因?yàn)檫鳌?sRtZ^49C,所以AB2=AFAC.

又因?yàn)镕C=DC=AB,所以加2=〃（〃+根），即（第9題）

解得，或（舍去）.

AE

又RMAFEsRSCFB,所以"=出="='=,即

ADBCFCm~AD

10.對(duì)于7=2,3,k,正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為7-1.若“的最小值〃。滿意

2000<%<3000,則正整數(shù)k的最小值為

解：9因?yàn)椤?1為2,3,,左的倍數(shù)，所以”的最小值”。滿意

%+1=[2,3,,左],

其中[2,3,,同表示2,3,,左的最小公倍數(shù).

由于[2,3,,8]=840,[2,3,,9]=2520,

[2,3,,10]=2520,[2,3,,11]=27720,

因此滿意2000<n0<3000的正整數(shù)k的最小值為9.

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11.如圖，比為等腰三角形，"是底邊比'上的高，點(diǎn)。是線段尸C上的一點(diǎn)，龍和

少分別是切和切的外接圓直徑，連接酬求證：.

（第11題）

證明：如圖，連接被FD.因?yàn)閼?yīng)'和CF都是直徑,

所以

EDLBC,FDLBC,

因此〃E,b三點(diǎn)共線........（5分）

連接AF,則

ZAEF=ZABC=ZACB^ZAFD,

所以，AABCs4AEF.....（10分）（第11題）

作/〃，露垂足為〃則力廬陽由△力即可得

從而

PF)FF

所以tanZPAD=——=—（20分）

APBC

12.如圖，拋物線>=以2+法生>0）與雙曲線相交于點(diǎn)4B.已知點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,4）,

點(diǎn)8在第三象限內(nèi)，且加的面積為3（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求實(shí)數(shù)a,b,4的值；

（2）過拋物線上點(diǎn)A作直線ZC〃x軸，交拋物線于另

一點(diǎn)C,求全部滿意△608加的點(diǎn)￡的坐標(biāo).

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)/（1,4）在雙曲線上，

所以AN.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.

4

設(shè)點(diǎn)8（3-）,t<Q,N8所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=〃四+〃，則有

t

解得，.

于是，直線N8與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故

=x

SM0B—————(1—?)=3,整理得2『+3f—2=0,

解得/=-2,或1=工(舍去).所以點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-2,-2).

2

因?yàn)辄c(diǎn)46都在拋物線丁=以2+法（a>0）上，所以解得.......（10分）

（2）如圖，因?yàn)榱〃x軸，所以。（T,4）,

=4-\/2.又832^/^,所以.

設(shè)拋物線丁二依之+法（a>0）與x軸負(fù)半軸相交

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-3,0）.

因?yàn)镹6W=N6如=45。，所以NC吩90。.

（i）將△及M繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△B'OA,.這

時(shí)，點(diǎn)9（-2,2）是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)&的坐標(biāo)為（4,-1）.

延長。4到點(diǎn)耳，使得。4=2。4，這時(shí)點(diǎn)4（8,-2）是符合條件的點(diǎn).

（ii）作△BQ4關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形得到點(diǎn)4（1,-4）；延長到點(diǎn)后2,

使得。62=2。4,這時(shí)點(diǎn)反（2,-8）是符合條件的點(diǎn).

所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（8,-2）,或（2,-8）........（20分）

13.求滿意2/+°+8=根2一2根的全部素?cái)?shù)p和正整數(shù)m.

.解：由題設(shè)得°(20+1)=(〃Z-4)(7W,+2),

所以p|(加一4)(m+2),由于0是素?cái)?shù)，故p[(加一4),或p|(?i+2)....(5分)

(1)若夕|(加一4),令m-4=kp,N是正整數(shù)，于是m+2>切，

3P2>p(2p+V)=(m-4)(m+2)>k2p2,

故左2<3,從而k=1.

所以解得.......(10分)

(2)若p|(?i+2),令m+2=切，N是正整數(shù).

當(dāng)°〉5時(shí)，m-4—kp-6>kp-p—p(k-l),

3p2>p(2p+1)-(m-4)(/n+2)>k(k-1)/72,

故左（左—1）＜3,從而％=1,或2.

由于p（2p+l）=（〃?-4）（〃7+2）是奇數(shù)，所以左w2,從而左=1.

于是

這不行能.

當(dāng)p=5時(shí)，m2-2m-63,m=9；當(dāng)p=3,nr-2m=29,無正整數(shù)解；當(dāng)p=2時(shí),

nr-2m-IS,無正整數(shù)解.

綜上所述，所求素?cái)?shù)尸5,正整數(shù)歷9........（20分）

14.從1,2,2024這2024個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中隨

意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？

解：首先，如下61個(gè)數(shù)：H,11+33,11+2x33,…，11+60x33（即1991）滿意題設(shè)條

件........（5分）

另一方面，設(shè)。1＜的＜是從1，2,…，2024中取出的滿意題設(shè)條件的數(shù)，對(duì)于這

〃個(gè)數(shù)中的隨意4個(gè)數(shù)a,,%,ak,am,因?yàn)?/p>

33\（ai+ak+am）,33回+4+%”），

所以331（?y

因此，所取的數(shù)中隨意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù)........（10分）

設(shè)4=41+334，7=1,2,3,…，/?.

由33|（4+4+4），得33|（3%+33d2+334）,

所以33|3%,11|%,即%211........（15分）

W,

故d“W60.所以，AW61.

綜上所述，〃的最大值為61.（20分）

2024年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

二三

題號(hào)總分

1~56-1011121314

得分

評(píng)卷人

復(fù)查人

答題時(shí)留意：

1.用圓珠筆或鋼筆作答；

2.解答書寫時(shí)不要超過裝訂線；

3.草稿紙不上交.

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D

的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不

填、多填或錯(cuò)填都得0分）

1.設(shè)。=占-1,則代數(shù)式。2+2o-12的值為（）.

(A)-6(B)24(C)477+10(D)4近+12

2.在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)（左W0）與丁=-+左（左W0）的圖象大致是

（A）（B）（C）（D）

3、在等邊三角形ABC所在的平面內(nèi)存在點(diǎn)P,使力PAB、/PBC、/PAC都是等腰三角形.請(qǐng)

指出具有這種性質(zhì)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)（）

(A)1(B)7(C)10(D)15

4.若x>l,y>0,且滿意，則x+y的值為().

9

(A)1(B)2(C)-(D)—

22

5.設(shè)S=』+3+[+.+上，則4s的整數(shù)部分等于（）.

I32333993

（A）4（B）5（C）6（D）7

二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）

6.若a是一個(gè)完全平方數(shù)，則比a大的最小完全平方數(shù)是.

7.若關(guān)于x的方程（了-2）（爐-4%+相）=0有三個(gè)根，且這三個(gè)根恰好可

以作為一個(gè)三角形的三條邊的長，則加的取值范圍是.

8.一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,2,2,3,3,4；另一枚質(zhì)地勻

稱的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,3,4,5,6,8.同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上

的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率是.

9.如圖，點(diǎn)48為直線y=x上的兩點(diǎn)，過48兩點(diǎn)分別作y軸的平行線交雙曲線y

X

（x>0）于C,。兩點(diǎn).若BD=2AC,則40c2—o02的值為.

（第9題）

（第10題）

10.如圖，在Rt△力8C中，斜邊N8的長為35,正方形切切內(nèi)接于△N8C,且其邊長為

12,則△力8。的周長為.

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11.已知：不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的根總是x=l,試求a、b

的值。

12.已知關(guān)于x的一元二次方程/+5+。=0的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程無2+依+匕=0的

兩個(gè)根都大1,求a+5+c的值.

13.如圖，點(diǎn)A為y軸正半軸上一點(diǎn)，45兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過點(diǎn)A任作直線交拋物

線于P，Q兩點(diǎn).

（1）求證：ZABP=ZABQ；

（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1）,且NP6Q=60°,試求全部

滿意條件的直線PQ的函數(shù)解析式.

(第13題)

14如圖，中，4L4c=60°,AB=2AC.點(diǎn)戶在△力比'內(nèi)，且PA=G，PB=5,PC=2,

求的面積.

2024年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

一、選擇題

1.A.2.C.3.C.4.C.5.A

二、填空題

6.(a+l)27.3<ffl<4.8.9.6.10.84

9

三、解答題

11.解：把x=l代入原方程并整理得(b+4)k=7-2a

要使等式(b+4)k=7—2a不論k取什么實(shí)數(shù)均成立，只有

解之得，A=-4

12.解：設(shè)方程為2+依+匕=0的兩個(gè)根為/3,其中a,，為整數(shù)，且aWQ,則方程

x?+cx+a=O的兩根為tz+1,/3+\,由題意得

ex+)3=—a,+1)(/7+1)=a>

兩式相加得〃+2a+2尸+1=0,

即(a+2)(，+2)=3,

所以或

解得或

又因?yàn)閍=-(tz+/?),b—a/3,c--[(+1)+(/7+1)],所以

a=0,b=—Lc=—2；或者a=8,b=15;c=6,

故a+Z?+c=—3,或29.

13.解：（1）如圖，分別過點(diǎn)P,Q作y軸的垂線，垂足分別為C,D.

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,7）,則點(diǎn)3的坐標(biāo)為（0,.

設(shè)直線PQ的函數(shù)解析式為了=履+乙并設(shè)產(chǎn)，。的坐

別為（xp,yp）,CxQ,yQ）.由

得，

于是，即.

222..

2XX

~^PQ鏟命廠初X

于是p

=222；

XQ

鏟。一§XpX°-Xe(Xe-Xp)

又因?yàn)椋?

因?yàn)?BCP=NBOQ=90。，所以△BCPS^BDQ,

故NABP=NA3Q.

(2)設(shè)PC=a,DQ=b,不妨設(shè)aNZ?〉0,由(1)可知

ZABP=ZABQ=30°,BC=A,BD=?,

所以ACfa-2,AD=2-y/3b.

因?yàn)槭珻〃DQ,所以△ACPS^ADQ.

于是，即，

所以a+b=y/3ab.

由⑴中,即，所以次4,"b=w，

于是可求得a=2b=百.

將代入，得到點(diǎn)。的坐標(biāo)（3，-）.

22

再將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入了=丘+1,求得

所以直線PQ的函數(shù)解析式為.

依據(jù)對(duì)稱性知，所求直線尸。的函數(shù)解析式為，或.

14.解：如圖，作△/制，使得

NQAB=ZPAC,ZABQ=ZACP,則AACP.

由于AB=2AC,所以相像比為2.

于是

AQ=2AP=2A/3,BQ=2CP=4.（第14題）

ZQAP=ZQAB+NBAP=ZPAC+NBAP=ABAC=60°.

由AQ:AP=2:1知，ZAPQ=90。，于是PQ=0AP=3.

所以BP?=25=BQ~PQ2,從而N3QP=90。.

于是

AB-=PQ2+(AP+BQf=28+8A/3.

26+7

故SAABC--Afi-ACsin60°-—AB=^.

AABC282

2024年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題（正題）

—*二三

題號(hào)總分

1~56-1011121314

得分

評(píng)卷人

復(fù)查人

答題時(shí)留意：

1.用圓珠筆或鋼筆作答；

2.解答書寫時(shí)不要超過裝訂線;

3.草稿紙不上交.

一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D

的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不

填、多填或錯(cuò)填都得0分)

1(甲).假照實(shí)數(shù)a,在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式G-|a+b|+也-a)'+B+c|

可以化簡為().

_____IIII_____>

b_a____0___c

(第1(甲)題)

(A)2ca(B)2a2b(C)a(D)a

1(乙).假如那么的值為().

(A)->{2(B)6(C)2(D)2j2

b_

2(甲).假如正比例函數(shù)y=ax(aW0)與反比例函數(shù)y=(力#0