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一、區(qū)域連通性的分類,設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域.,復(fù)連通區(qū)域,單連通區(qū)域,二、格林公式,定理,邊界曲線L的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.,證明(1),同理可證,證明(2),兩式相加得,G,F,證明(3),由(2)知,L,1. 簡(jiǎn)化曲線積分,三、簡(jiǎn)單應(yīng)用,2. 簡(jiǎn)化二重積分,解,(注意格林公式的條件),3. 計(jì)算平面面積,解,其中L是曲線|x|+|y|=1圍成的區(qū)域D的正向邊界。,格林公式的應(yīng)用,（格林公式）,從,證明了：,練習(xí)1,計(jì)算積分,解,練習(xí)2,求星形線,所界圖形的面積。,解,D,L,1,1,-1,-1,重要意義：,1.它建立了二重積分與曲線積分的一種等式關(guān)系,2.它揭示了函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部與邊界之間的內(nèi)在聯(lián)系,4.它的應(yīng)用范圍可以突破右手系的限制，使它的應(yīng)用,3.從它出發(fā)，可以導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理中的許多重要公式,更加廣泛，而這只需要改變邊界的正向定義即可。,二 高斯公式,設(shè)空間區(qū)域G, 如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G, 則稱G是空間二維單連通域;,如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面, 則稱G為空間一維單連通區(qū)域.,一維單連通 二維單連通,一維單連通 二維不連通,一維不連通 二維單連通,高斯公式,證明,根據(jù)三重積分的計(jì)算法,根據(jù)曲面積分的計(jì)算法,同理,-高斯公式,和并以上三式得：,Gauss公式的實(shí)質(zhì),表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.,由兩類曲面積分之間的關(guān)系知,解,2. 簡(jiǎn)單應(yīng)用:,(利用柱面坐標(biāo)得),使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意:,解,空間曲面在 面上的投影域?yàn)?曲面不是封閉曲面, 為利用高斯公式,故所求積分為,三、斯托克斯(stokes)公式,- 斯托克斯公式,是有向曲面 的 正向邊界曲線,右手法則,證明,如圖,思路,曲面積分,二重積分,曲線積分,1,2,1,根椐格林公式,平面有向曲線,2,空間有向曲線,同理可證,故有結(jié)論成立.,另一種形式,便于記憶形式,Stokes公式的實(shí)質(zhì):,表達(dá)了有向曲面上的曲面積分

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