現代信號處理復習題.doc

1、已知式中=100HZ,以采樣頻率=400Hz對進行采樣，得到采樣信號和時域離散信號，試完成下面各題：（1）寫出的傅里葉變換表示式；（2）寫出和的表達式；（3）分別求出的傅里葉變換和的傅里葉變換。解：（1） 上式中指數函數和傅里葉變換不存在，引入奇異函數函數，它的傅里葉變換可以表示成：（2）2、用微處理器對實數序列作譜分析，要求譜分辨率，信號最高頻率1KHz,是確定以下各參數：（1）最小記錄時間（2）最大取樣時間（3）最少采樣點數（4）在頻帶寬度不變的情況下將頻率分辨率提高一倍的N值。解：（1）已知（2） （3） （4）頻帶寬度不變就意味著采樣間隔不變，應該使記錄時間擴大一倍為0.04s實頻率分辯率提高1倍（變成原來的）3、在時域對一有限長的模擬信號以4KHZ采樣，然后對采到的N個抽樣做N點DFT，所得離散譜線的間距相當于模擬頻率100HZ。某人想使頻率能被看得清楚些，每50HZ能有一根譜線，于是他用8KHZ采樣，對采到的2N個樣點做2N點DFT。問：他的目的能達到嗎？答：不能，因為他忽略了數字頻率和模擬頻率的區(qū)別。提高采樣頻率 ， 固然大了，數字頻率（單位圓）上的樣點數確實增加了，但從模擬頻率譜看，樣點一點也沒有變得密集，這是因為數字頻率總是對應模擬頻率 。采樣頻率由到2 增加一倍，也增加一倍，但模擬頻率的采樣間隔 一點也沒有變。所以，增大采樣頻率，只能提高數字頻率的分辨率 ，不能提高模擬頻率的分辨率。4、在A/D變換之前和D/A變換之后都要讓信號通過一個低通濾波器，他們分別起什么作用？解：在 變換之前讓信號通過一個低通濾波器，是為了限制信號的最高頻率，使其滿足當采樣頻率一定時，采樣頻率應大于等于信號最高頻率2倍的條件。此濾波器亦稱為“抗折疊”濾波器。在 變換之后都要讓信號通過一個低通濾波器，是為了濾除高頻延拓譜，以便把抽樣保持的階梯形輸出波平滑化，故又稱為“平滑”濾波器。5、已知，分析其因果性和穩(wěn)定性。解： 的極點為，（1） 收斂域，對應的系統是因果系統，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統。單位脈沖響應，這是一個因果序列，但不收斂。（2） 收斂域，對應的系統是非因果且不穩(wěn)定系統。其單位脈沖響應，這是一個非因果且不收斂的序列。（3） 收斂域，對應的系統是一個非因果系統，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統。其單位脈沖響應，這是一個收斂的雙邊序列。9：若序列是因果序列，其傅里葉變換的實部為，求序列的及其傅里葉變換 。解：10、什么是寬平穩(wěn)隨機過程？什么是嚴平穩(wěn)隨機過程？它們之間有什么聯系？答：若一個隨機過程的數學期望與時間無關，而其相關函數僅與有關，則稱這個隨機過程是寬平穩(wěn)的或廣義平穩(wěn)的。所謂嚴平穩(wěn)隨機過程是指它的任何n維分布函數或概率密度函數與時間起點無關。嚴平穩(wěn)的隨機過程一定是寬平穩(wěn)的，反之則不然。取模的平方FFT觀測數據x(n)15、如圖所示： 1/N（1）在描述隨機信號的頻率特性時為什么不用信號的傅里葉變換而改用功率譜估計？（2）觀察上述框圖，說出這是哪一種經典功率譜估計的方法，并寫出描述估計關系式。（3）根據維納-辛欽定理及相關估計方法寫出另一種經典功率譜估計描述估計關系式，結合框圖或關系式說明上述框圖所示方法的優(yōu)點。（4）兩種經典功率譜估計都有一個致命的缺點，請簡要說明并寫出常用的改進方法的名稱。解：1.對于隨機信號，其傅里葉變換并不存在，因此轉向研究其功率譜。2.圖中所示的是周期圖法3. 周期圖法簡單，不用估計自相關函數，且可以用FFT進行計算。4.經典譜估計得致命缺點是頻率分辨率低，其原因是傅里葉變換域是無限大，而用作估計的觀察數據只有有限個，認為剩余的數據為0，造成系統偏差。改進的方法有：1.平均周期法2.窗函數法3.修正的周期圖求平均法。16、如圖所示的RC電路，若輸入電壓的功率譜密度為X（），求輸出電壓的功率譜密度Y（）。RCY()X()解：RC電路系統的頻率響應函數為 H（） = = H（）= 由線性系統的輸出譜密度與輸入譜密度之間的關系可得：Y（） = H（）* X（）= 17、已知LTI系統的傳輸函數為h（t），輸入是實平穩(wěn)隨機過程X（t），輸出是Y（t），求三者間的關系？解：平穩(wěn)隨機過程經過LTI系統輸出還是平穩(wěn)隨機過程，所以其中是卷積運算。18、常用的自適應濾波理論與算法有哪些？從理論上講，自適應濾波問題沒有惟一的解。為了得到自適應濾波器及其應用系統，可以采用各種不同的遞推算法，這些自適應算法都有各自的特點，適用于不同場合。常用的自適應濾波理論與算法有：（1）、基于維納濾波理論的方法。（2）、基于卡爾曼濾波理論的方法。（3）、基于最小均方誤差準則的方法。（4）、基于最小二乘準則的方法。22、從最速下降法出發(fā)： 其中，是第j+1個抽樣時刻的濾波器權矢量， 控制收斂穩(wěn)定性和速率， 是誤差-性能曲面的真實梯度，推導自適應噪聲消除的 Widrow-Hopf 的LMS算法。解答： 梯度矢量，初級輸入與刺激輸入的互相關P以及初級輸入的自相關R之間的關系為： =在LMS算法中，使用的瞬時估計，則有 =-2+2=-2+2 (1) =- 其中 用（1）式替換最速下降法的梯度，我們得到基本的Widrow-Hopf 的LMS算法： 其中 =23、自適應濾波器的特點及應用范圍答案：由于濾波器的參數可以按照某種準則自動地調整到滿足最佳濾波的要求；實現時不需要任何關于信號和噪聲的自相關特性，尤其當輸入統計特性變化時，自適應濾波器都能調整自身的參數來滿足最佳濾波的需要，即具有學習和跟蹤的性能。當符合下面幾個情況時都可以應用自適應濾波(1)需要濾波器特性變化以自適應改變的情況時（2）當信號和噪聲存在頻譜重疊時（3）噪聲占據的頻譜是時變或未知。例如電話回聲對消，雷達信號處理，導航系統，通信信道均衡和生物醫(yī)學信號增強。25、怎樣判斷隨機過程是寬平穩(wěn)隨機過程？并證明隨機過程是寬平穩(wěn)過程，其中，Y , Z是相互獨立的隨機變量，且。答：（1）如果滿足，如下條件：（a）是二階矩過程；（b）對任意，常數；（c）對任意，。則判定是寬平穩(wěn)隨機過程。（2）證明：因為Y,Z是相互獨立的隨機過程，且，所以=常數，只與時間間隔有關，與時間起點無關。所以，是寬平穩(wěn)隨機過程。26、若為均方連續(xù)的實平穩(wěn)隨機過程，則其自相關函數具有那些常用性質？在計算其功率譜時有什么作用？答：（1）具有如下常用性質：（a）（b）=，是實偶函數；（c）|；（d）若是周期為T的周期函數，即=，則；（e）若是不含周期分量的非周期過程，當時，與相互獨立，則。（2）若，根據辛欽維納定理 = 自相關函數和功率譜是一對傅里葉變換對。27、從隨機過程的平穩(wěn)性上考慮，卡爾曼濾波的適用范圍？答案：卡爾曼濾波不僅適用于平穩(wěn)隨機過程，同樣也適用于非平穩(wěn)隨機過程。29、設有兩個線性時不變系統如圖所示，它們的頻率響應函數分別為和。若兩個系統輸入同一個均值為零的平穩(wěn)過程，它們的輸出分別為、。問如何設計和才能使、互不相關。解答：其中，上式表明與的互相關函數只是時間函數的函數。由故當設計兩個系統的頻率響應函數的振幅頻率特性沒有重疊時，則=0，從而有=0=，即與互不相關。30、什么叫白噪聲?答: 白噪聲是指功率譜密度在整個頻域內均勻分布的噪聲。 所有頻率具有相同能量的隨機噪聲稱為白噪聲。理想的白噪聲具有無限帶寬，因而其能量是無限大33、簡述經典功率譜估計與現代功率譜估計的差別。信號的頻譜分析是研究信號特性的重要手段之一，通常是求其功率譜來進行頻譜分析。功率譜反映了隨機信號各頻率成份功率能量的分布情況，可以揭示信號中隱含的周期性及靠得很近的譜峰等有用信息，在許多領域都發(fā)揮了重要作用。然而，實際應用中的平穩(wěn)隨機信號通常是有限長的，只能根據有限長信號估計原信號的真實功率譜，這就是功率譜估計。 功率譜估計分為經典譜估計和現代譜估計。經典譜估計是將數據工作區(qū)外的未知數據假設為零，相當于數據加窗，主要方法有相關法和周期圖法；現代譜估計是通過觀測數據估計參數模型再按照求參數模型輸出功率的方法估計信號功率譜，主要是針對經典譜估計的分辨率低和方差性能不好等問題提出的。34、兩個聯合平穩(wěn)信號和的互相關函數為：其中為單位階躍函數。求互功率譜密度和。解：直接查傅氏變換表，得利用互譜密度的性質有 = =35、觀測信號為,其中有信號是為恒量平穩(wěn)序列，其統計特征已求得為 噪聲是零均值白噪聲，且與有用信號不相關，即 求維納濾波器？解：觀測的自相關函數為觀測有與有用信號之間的互相關函數為：則維納-霍甫方程式為： 由此得維納濾波器為：故濾波輸出為：38、設觀測量由有用信號和與不相關的零均值白噪聲相加而成，即且已估計出它們的相關函數分別為（，-1，0，1）求非因果維納濾波器的頻率特性。解：又有故有最后可得，非因果維納濾波器的頻率特性為43、卡爾曼濾波的特點卡爾曼濾波具有以下的特點： 答：(1) 算法是遞推的狀態(tài)空間法采用在時域內設計濾波器的方法，因而適用于多維隨機過程的估計；離散型卡爾曼算法適用于計算機處理。(2) 用遞推法計算，不需要知道全部過去的值，用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動態(tài)變化規(guī)律，因此信號可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的， 即卡爾曼濾波適用于非平穩(wěn)過程。(3) 卡爾曼濾波采取的誤差準則仍為估計誤差的均方值最小。47、關于維納濾波器的兩個主要結論：維納濾波器最優(yōu)抽頭權向量的計算需要已經以下統計量：（1）輸入向量的自相關矩陣；（2）輸入向量與期望響應的互相關向量。維納濾波器實際上是無約束優(yōu)化最優(yōu)濾波問題的解。48、已經信號的四個觀察數據為分別用自相關法和協方差法估計AR（1）模型參數。解：自相關法： 協方差法：49、假定是一個滿足差分方程式的AR（）過程，且該過程是在一與獨立的加性觀測白噪聲中觀測的，即，其中的方差為，求的功率譜。解：由已知差分方程式可得的譜密度當與互相獨立時，故的功率譜所以50、分別解釋“濾波”和“預測”。解：用當前的和過去的觀測值來估計當前的信號y(n)=（n）稱為濾波；用過去的觀測值來估計當前的或將來的信號 ,N0,稱為預測。51、介紹維納濾波和卡爾曼濾波解決問題的方法。解：維納濾波是根據全部過去觀測值和當前觀測值來估計信號的當前值，因此它的解形式是系統的傳遞函數H(Z)或單位脈沖響應h(n)；卡爾曼濾波是用當前一個估計值和最近一個觀測值來估計信號的當前值，它的解形式是狀態(tài)變量值。 維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機過程，卡爾曼濾波就沒有這個限制。設計維納濾波器要求已知信號與噪聲的相關函數，設計卡爾曼濾波要求已知狀態(tài)方程和量測方程。1.某獨立觀測序列其均值為m，方差為。現有兩種估計算法：算法A：均值估計為，算法B：均值估計為請對這兩種估計算法的無偏性和有效性進行討論。（12分）答：算法A：均值估計為，則，均值估計是無偏估計6、BT譜估計的理論根據是什么？請寫出此方法的具體步驟。答：（1）相關圖法又稱BT法，BT譜估計的理論根據是：通過改善對相關函數的估計方法，來對周期圖進行平滑處理以改善周期圖譜估計的方差性能。（2）此方法的具體步驟是：給出觀察序列，估計出自相關函數：對自相關函數在（-M，M）內作Fourier變換，得到功率譜：式中，一般取，為一個窗函數，通?？扇【匦未啊？梢?，該窗函數的選擇會影響到譜估計的分辨率。7、對于連續(xù)時間信號和離散時間信號，試寫出相應的維納辛欣定理的主要內容。答：(1)連續(xù)時間信號相應的維納辛欣定理主要內容：連續(xù)時間信號的功率譜密度與其自相關函數滿足如下關系： (2)離散時間信號相應的維納辛欣定理主要內容：離散時間信號的功率譜密度與其自相關函數滿足如下關系： 12、AR譜估計的基本原理是什么？與經典譜估計方法相比，其有什么特點？答：（1）AR譜估計的基本原理是：階的AR模型表示為： 其自相關函數滿足以下YW方程： 取，可得到如下矩陣方程： 在實際計算中，已知長度為N的序列，可以估計其自相關函數，再利用以上矩陣方程，直接求出參數及，于是可求出的功率譜的估計值。13、已知信號模型為s（n）=s(n-1)+w(n),測量模型為x(n)=s(n)+v(n),這里w(n)和v(n)都是均值為零的白噪聲，其方差分別為0.5和1，v(n)與s(n)和w(n)都不相關?，F設計一因果IIR維納濾波器處理x(n)，以得到對s(n)的最佳估計。求該濾波器的傳輸函數和差分方程。解：根據信號模型和測量模型方程可看出下列參數值：a=1，c=1，Q=0.5，R=1。將它們代入Ricatti方程Q=Pa2RP/(R+c2P)得 0.5=PP/(1+P)解此方程得P=1或P=-0.5，取正解P=1。再計算維納增益G和參數f:G=cp/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 f=Ra/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5故得因果IIR維納濾波器的傳輸函數和差分方程分別如下：Hc(z)=G/(1fz-1)=0.5/(10.5z-1)（n）=0.5(n-1)+0.5x(n)14、簡述AR模型功率譜估計步驟。步驟1：根據N點的觀測數據uN（n）估計自相關函數，得，m=0,1,2,p, 即 步驟2：用p+1個自相關函數的估計值，通過直接矩陣求逆或者按階數遞推的方法（如Levinson-Durbin算法），求解Yule-Walker方程式，得到p階AR模型參數的估計值 和 步驟3：將上述參數代入AR（p）的功率表達式中，得到功率譜估計 ，即 3、已知輸入信號向量u(n)的相關矩陣及數學期望響應信號d(n)的互相關向量分別為且已知期望相應d(n)的平均功率為Ed2(n)=30。（1）計算維納濾波器的權向量。（2）計算誤差性能面的表達式和最小均方誤差。解：（1）根據維納霍夫方程R0=p得 0=R-1p （2）誤差性能面的表達式為J（）=2d-pH-Hp+HR最小均方誤差值為將0代入上面的誤差性能面表達式得 Jmin=2d-pH-Hp+HR=2d-pH0 =30-14=16。10用觀測數據（y(n),y(n-1)）自適應估計隨機變量x(n).已知Ryy=1 0.4;0.4 1,為保證收斂，的值應限制在什么范圍？若Ryy=1 0.8;0.8 1,則自適應濾波器的收斂速度將會更快還是更慢？解：11、已知滿足AR(2)模型，即滿足如下差分方程：其中是均值為零、方差為的白噪聲。試用自相關函數來表示系數、。答案：AR模型的正則方程式可以表示為和將帶入上面兩式為：和可以解得30、白噪聲是現代信號處理中常用的一種隨機信號，請從時域和頻域兩個角度對其加以闡述。答：設為實值平穩(wěn)過程，若它的均值為零，在時域中，其自相關函數僅在0點有一個沖擊函數，在其他點均為0；在頻域中，譜函數在所有頻率范圍內為非零的常數，則稱X(t)為白噪聲過程。33、 一個差分濾波器的輸出為：y(n)=x(n)+x(n-1), n=1,2令x(n)的功率譜為1/(1+f2)，試求差分濾波器輸出y(n)的功率譜密度。解：由題意知，系統的傳遞函數H(z)=1+z-1,故所以系統輸出y(t)的功率譜密度為：39、已知輸入信號向量的相關矩陣及與期望響應信號的互相關向量分別為，且已知期望響應的平均功率為。（1） 計算維納濾波器的權向量。（2） 計算誤差性能面的表達式和最小均方誤差。解： 45、設隨機序列，其中是兩兩互不相關的隨機變量且 ，序列被稱作白噪聲。驗證白噪聲序列是平穩(wěn)序列。解：顯然均值函數為常數，當時，因為不相關，所以 當所以，只是時間差的函數，序列是平穩(wěn)的46、若序列x(n)為實因果序列，h(0)=1，其傅氏變換的虛部為H1(ej)=sin，求序列h(n)及其傅氏變換H(ej)。解：因為H1(ej)=sin=( eje-j)=0(n) e-jh0(n)= =-(n+1)+(n-1),h(n)= =所以 h(n)=(n)+(n-1); H(ej)=1+ e-j49、簡述AR模型功率譜估計的方法答：（1）根據N點的觀測數據估計自相關函數，得，即（2）用個自相關函數的估計值，通過直接矩陣求逆或者按階數遞推的方法（如Levinson-Durbin算法），求解Yule-Walker方程 得到p階AR模型的參數估計值和。 （3）將上述參數帶入AR（p）的功率譜表達式中，得到功率譜估計式，即50、簡述LMS算法 答：（1）初始化， 權向量： 估計誤差： 輸入向量： （2）對 權向量的更新：期望信號的估計：估計誤差： （3）令，轉到（2）63、請寫出ARMA的數學模型表達式，并畫出該模型的電路框圖。答：（1）ARMA的數學模型表達式：式中，為常數，（2）該模型的電路框圖如下所示：100、AR譜估計中的虛假譜峰是怎樣產生的？怎樣避免產生虛假譜峰？譜線分裂的原因是什么？