2020版高中數(shù)學(xué)第一講不等式和絕對(duì)值不等式1.1.2基本不等式練習(xí)（含解析）新人教A版.docx

2.基本不等式基礎(chǔ)鞏固1函數(shù)y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：y=3x2+6x2+1=3x2+3+6x2+1-3.3x2+30,6x2+10,y2(3x2+3)6x2+1-3=62-3,當(dāng)且僅當(dāng)3x2+3=6x2+1時(shí),y取得最小值62-3.答案：D2已知a0,b0,則1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：1a+1b+2ab21ab+2ab4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b,ab=1時(shí),等號(hào)成立,即a=b=1時(shí),1a+1b+2ab取最小值4.答案：C3若x,yR,且滿足x+3y=2,則3x+27y+1的最小值是()A.339B.1+22C.6D.7解析：3x+27y+1=3x+33y+123x33y+1=23x+3y+1=23+1=7,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y時(shí),等號(hào)成立.故所求最小值為7.答案：D4設(shè)a,b是正實(shí)數(shù),以下不等式恒成立的序號(hào)為()ab2aba+b;a|a-b|-b;a2+b24ab-3b2;ab+2ab2.A.B.C.D.解析：對(duì)于,ab-2aba+b=ab(a+b)-2aba+b=ab(a+b-2ab)a+b=ab(a-b)2a+b0,不合題意,則應(yīng)排除A,B;正確,故選D.答案：D5設(shè)a0,b0,若3是3a與3b的等比中項(xiàng),則1a+1b的最小值為()A.8B.4C.1D.14解析：3是3a與3b的等比中項(xiàng),(3)2=3a3b,即3=3a+b.a+b=1.此時(shí)1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí),等號(hào)成立.故1a+1b的最小值為4.答案：B6已知0a1,0b2ab,a2+b22ab.a2a,b2a2+b2.四個(gè)數(shù)中最大的是a+b.答案：a+b7已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,則x+8yxy的最小值為.解析：由于正數(shù)x,y滿足x+2y=1,則x+8yxy=1y+8x(x+2y)=10+xy+16yx10+2xy16yx=18,當(dāng)且僅當(dāng)x+2y=1,xy=16yx,即x=23,y=16時(shí),等號(hào)成立.所以x+8yxy的最小值為18.答案：188已知a,b,c0,且a+b+c=1,求證:1a+1b+1c9.分析：(1)注意“1”的代換.(2)a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc3+ba+ab+ca+ac+cb+bc.這一步為使用基本不等式創(chuàng)造了條件.證明：1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc3+2+2+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時(shí),等號(hào)成立.9若a0,b0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由.解: (1)由ab=1a+1b2ab,得ab2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立.故a3+b32a3b342,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí),等號(hào)成立.所以a3+b3的最小值為42.(2)由(1)知2a+3b26ab43,由于436,因此不存在a,b,使得2a+3b=6.10某種汽車購(gòu)車時(shí)費(fèi)用為10萬(wàn)元,每年的保險(xiǎn)、加油費(fèi)用共9千元,汽車的年維修費(fèi)用逐年以等差數(shù)列遞增,第一年為2千元,第2年為4千元,第三年為6千元,問(wèn)這種汽車使用幾年后報(bào)廢最合算(即汽車的年平均費(fèi)用為最低)?解:設(shè)這種汽車使用n年后報(bào)廢最合算,這n年中汽車每年的平均費(fèi)用為y萬(wàn)元,則y=10+0.9n+0.2n+n(n-1)20.2n=10n+n10+13,當(dāng)且僅當(dāng)10n=n10,即n=10時(shí),等號(hào)成立.故這種汽車使用10年后報(bào)廢最合算.能力提升1已知不等式(x+y)1x+ay9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A.2B.4C.6D.8解析：(x+y)1x+ay=1+a+axy+yx1+a+2a=(a+1)2,當(dāng)且僅當(dāng)yx=a時(shí),等號(hào)成立.(x+y)1x+ay9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,需(a+1)29.a4.故選B.答案：B2某公司租地建倉(cāng)庫(kù),每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比,而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成正比,如果在距離車站10 km處建倉(cāng)庫(kù),這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元,那么,要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站()A.5 km處B.4 km處C.3 km處D.2 km處解析：設(shè)倉(cāng)庫(kù)到車站的距離為xkm,由已知得y1=20x,y2=0.8x.費(fèi)用之和y=y1+y2=0.8x+20x20.8x20x=8,當(dāng)且僅當(dāng)0.8x=20x,即x=5時(shí),等號(hào)成立.故選A.答案：A3若a,b,c0,且a(a+b+c)+bc=4-23,則2a+b+c的最小值為()A.3-1B.3+1C.23+2D.23-2解析：因?yàn)閍,b,c0,且a(a+b+c)+bc=4-23,所以4-23=a2+ab+ac+bc=14(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)14(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2),當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號(hào)成立.所以(23-2)2(2a+b+c)2,則2a+b+c23-2.故選D.答案：D4函數(shù)y=loga(x+3)-1(a0,a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上,其中mn0,則1m+2n的最小值為.解析：函數(shù)y=loga(x+3)-1(a0,a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A(-2,-1).點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上,-2m-n+1=0,即2m+n=1.又mn0,m0,n0.則1m+2n(2m+n)=2m+nm+4m+2nn=2+nm+4mn+24+2nm4mn=4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)m=14,n=12時(shí),等號(hào)成立.答案：85(2017天津,理12)若a,bR,ab0,則a4+4b4+1ab的最小值為.解析：a,bR,且ab0,a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab4當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24時(shí)取等號(hào).答案：46若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是.解析：令ab=t(t0),則由ab=a+b+32ab+3(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立),得t22t+3,即t2-2t-30.解得t3或t-1(不合題意,舍去).ab3.ab9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí),等號(hào)成立.答案：9,+)7已知a,b,x,y0,x,y為變量,a,b為常數(shù),且a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值為18,求a,b的值.解:x+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayxa+b+2ab=(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)bxy=ayx時(shí),等號(hào)成立.故(x+y)min=(a+b)2=18,即a+b+2ab=18.又a+b=10,由可得a=2,b=8或a=8,b=2.8已知ab,ab=1,求證:a2+b222(a-b).證明：ab,a-b0.又ab=1,a2+b2a-b=a2+b2-2ab+2aba-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b2(a-b)2a-b=22.a2+b2a-b22,即a2+b222(a-b),當(dāng)且僅當(dāng)a-b=2a-b,即a-b=2(a-b=-2舍去)時(shí),等號(hào)成立.9如圖,為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一個(gè)底面寬為2 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱,污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出,設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a m,高度為b m,已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a,b的乘積ab成反比,現(xiàn)有制箱材料60 m2,問(wèn)當(dāng)a,b各為多少時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小?(A,B孔的面積忽略不計(jì))分析：題意中的“雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”可按“雜質(zhì)的含量”理解,設(shè)為y.由題意y與ab成反比,又設(shè)比例系數(shù)為k,則y=kab.由于受箱體材料多少的限制,a,b之間應(yīng)有一定的關(guān)系式,即22b+2ab+2a=60,因此該題的數(shù)學(xué)模型是已知ab+a+2b=30,a0,b0,求a,b為何值時(shí),y=kab最小.解法一設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y,由題意知y=kab,其中k為比例系數(shù)(k0).據(jù)題設(shè)有22b+2ab+2a=60(a0,b0),b=30-a2+a(由a0,b0可得a0),則a=t-2.從而30a-a22+a=30(t-2)-(t-2)2t=34t-t2-64t=34-t+64t,y=kabk34-2t64t=k18,當(dāng)且僅當(dāng)t=64t,即a+2=64a+2時(shí)取等號(hào).a=6.由a=6可得b=3.綜上所述,當(dāng)a=6,b=3時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.解法二設(shè)流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y,依題意y=kab,其中k為比例