拋物線的幾何性質(zhì)

,拋物線的幾何性質(zhì),1、拋物線定義,在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.,2、 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,(1)開口向右,y2 = 2px (p0),(2)開口向左,y2 = -2px (p0),(3)開口向上,x2 = 2py (p0),(4)開口向下,x2 = -2py (p0),焦點(diǎn),準(zhǔn)線,由拋物線y2 =2px（p0）,所以拋物線的范圍為,如何研究拋物線y2 =2px（p0）的幾何性質(zhì)?,類比橢圓和雙曲線可以從幾個(gè)方面來研究？,1、范圍,即點(diǎn)(x,-y) 也在拋物線上,故拋物線y2 = 2px(p0)關(guān)于x軸對稱.,則 (-y)2 = 2px,若點(diǎn)(x,y)在拋物線上, 即滿足y2 = 2px，,2、對稱性,定義：拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)稱為拋物線的頂點(diǎn)。,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,則x=0.,即：拋物線y2 = 2px (p0) 的頂點(diǎn)是（0，0）.,3、頂點(diǎn),拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。,由定義知， 拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為e=1.,4 、離心率,F,A,B,y2=2px,2p,過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑，,利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖.,|AB|=2p,2p越大，拋物線張口越大.,5、通徑,連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。,焦半徑公式：,F,6、焦半徑,1、當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，,2、當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,關(guān)于x軸對稱,關(guān)于x軸對稱,關(guān)于y軸對稱,關(guān)于y軸對稱,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,2p,2p,2p,2p,1,1,1,1,歸納: (1)、拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線； (2)、拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心; (3)、拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線； (4)、拋物線的離心率e是確定的為, 、拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大.,例：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（， ），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形。,所以設(shè)方程為：,因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：,例題講解：,作圖：,(1)列表（在第一象限內(nèi)列表）,(2)描點(diǎn)：,(3)連線：,對應(yīng)訓(xùn)練：,求適合下列條件的拋物線的方程：,（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F為（0，5）; （2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對稱,并且 經(jīng)過點(diǎn)M(5,-4).,探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面都是拋物鏡面。,拋物鏡面：拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。,燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置上，通過鏡面反射就變 成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的 設(shè)計(jì)原理。,平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都 經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能 的理論依據(jù)。,光學(xué)性質(zhì)：,例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源 位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深 40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。,(40,30),解:,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px,由條件可得A (40,30),代入方程得:,302=2p40,解之: p=,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: y2= x,焦點(diǎn)為( ,0),1、已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線 的焦點(diǎn)的距離是5，則P = 。,2、拋物線 的弦AB垂直x軸，若|AB|= ， 則焦點(diǎn)到AB的距離為 。,4,2,鞏固提高：,3、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上.,拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；,拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;,拋物線的離心率是確定的，等于；,拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；,拋物線的通徑為2P, 2P越大，拋物線的張口越大.,1、范圍：,2、對稱性：,3、頂點(diǎn)：,4、離心率：,5、通徑：,6、光學(xué)性質(zhì)：,從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，通過拋物線反射就變成了平行光束.,你學(xué)會(huì)了嗎？,過焦點(diǎn)弦長問題,例2：過拋物線y2=4x的 焦點(diǎn)作傾斜角為45度的 直線交拋物線與A，B 兩點(diǎn)，求AB,分析，求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式可得AB 解（法一）由條件可得F（1，0） 則直線的方程為：y=x-1 由 可得 解得 由兩點(diǎn)距離公式可得AB=8 （法二）利用方程，利用弦長公式同樣可得AB=8,分析：利用拋物線性質(zhì)解決問題 解(法三)如圖可知設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2) AB=AF+BF =x1+1+x2+1 =x1+x2+1+1 由上知x1，x2是方程 的兩根，故x1+x2=6，所以 AB=6+2=8,一般地:若過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則 AB有最小值嗎？ 若有又為多少？,想一想？,運(yùn)用2、過拋物線 的焦點(diǎn),作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長為？,運(yùn)用1、過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交于A(x1,y1), B(x2,y2)兩點(diǎn),如果x1+x2=6,求|AB|的值,練習(xí)、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸， 焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，求拋物線通徑長.,1、相離；2、相切； 3、相交（一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)）,考點(diǎn)三、直線與拋物線位置關(guān)系,1、直線與拋物線的對稱軸平行,例：計(jì)算直線y = 6與拋物線y2 =4x的位置關(guān)系,計(jì)算結(jié)果：得到一元一次方程，容易解出交點(diǎn)坐標(biāo),2、直線與拋物線的對稱軸不平行,計(jì)算直線 y = x -1與拋 物線 y2 =4x 的位置關(guān)系,計(jì)算結(jié)果：得到一元二次方程，需計(jì)算判別式。相交。,例3、已知拋物線的方程為y2=4x,直線l過定點(diǎn)P（-2，1）,斜率為k,當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與拋物線： （1）兩個(gè)公共點(diǎn)； （2）沒有公共點(diǎn)。 （3）只有一個(gè)公共點(diǎn)；,考點(diǎn)四、與弦長、中點(diǎn)有關(guān)的問題