（江蘇專用）2020版高考數學復習第七章不等式、推理與證明、數學歸納法7.4基本不等式及其應用教案.docx

7.4基本不等式及其應用考情考向分析主要考查利用基本不等式求最值常與函數、解析幾何、不等式相結合考查，作為求最值的方法，常在函數、解析幾何、不等式的解答題中考查，難度為中檔1基本不等式：(a0，b0)(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號2幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同號)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等號成立的條件均為ab.3算術平均數與幾何平均數設a0，b0，則a，b的算術平均數為，幾何平均數為，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數4利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最大值.(簡記：和定積最大)概念方法微思考1若兩個正數的和為定值，則這兩個正數的積一定有最大值嗎？提示不一定若這兩個正數能相等，則這兩個數的積一定有最大值；若這兩個正數不相等，則這兩個正數的積無最大值2函數yx的最小值是2嗎？提示不是因為函數yx的定義域是x|x0，當x0時，y0且y0”是“2”的充要條件()(3)若a0，則a3的最小值為2.()(4)不等式a2b22ab與有相同的成立條件()(5)兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項()題組二教材改編2P88T4設x0，y0，且xy18，則xy的最大值為_答案81解析x0，y0，即xy281，當且僅當xy9時，(xy)max81.3P89例1若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2.答案25解析設矩形的一邊為xm，則另一邊為(202x)(10x)m，yx(10x)225，當且僅當x10x，即x5時，ymax25.題組三易錯自糾4“x0”是“x2成立”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析當x0時，x22(當且僅當x1時等號成立)因為x，同號，所以若x2，則x0，0，所以“x0”是“x2成立”的充要條件5若函數f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a_.答案3解析當x2時，x20，f(x)(x2)2224，當且僅當x2(x2)，即x3時取等號，即當f(x)取得最小值時，x3，即a3.6若正數x，y滿足3xy5xy，則4x3y的最小值是_答案5解析由3xy5xy，得5，所以4x3y(4x3y)(492)5，當且僅當，即y2x1時，“”成立，故4x3y的最小值為5.題型一利用基本不等式求最值命題點1配湊法例1(1)已知0x1)的最小值為_答案22解析x1，x10，y(x1)222.當且僅當x1，即x1時，等號成立(3)函數y的最大值為_答案解析y，當x10時，y0，當x10時，y，當且僅當等號成立，即x5時，ymax.命題點2常數代換法例2(1)(2018江蘇省鹽城市東臺中學質檢)已知x0，y0，且1，則xy的最小值為_答案32解析由x0，y0，得(xy)332，當且僅當yx時等號成立，又1，則xy32，所以xy的最小值為32.(2)已知正數x，y滿足xy1，則的最小值為_答案解析正數x，y滿足(x2)(y1)4，(x2)(y1)，當且僅當x2y時，min.命題點3消元法例3已知正實數a，b滿足a2b40，則u的最小值為_答案解析a2b40，ba24，aba2a4.又a，b0，u3333，當且僅當a2，b8時，兩等號同時成立，即取得最小值思維升華 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”(2)要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式(3)條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法跟蹤訓練1(1)若a，b，c都是正數，且abc2，則的最小值是_答案3解析a，b，c都是正數，且abc2，abc13，且a10，bc0.(a1bc)(54)3.當且僅當a12(bc)，即a1，bc1時，等號成立(2)(2018蘇北四市考試)已知實數x，y滿足x2y23，|x|y|，則的最小值是_答案解析由已知可得1，(54)，當且僅當|x2y|2xy|時取等號(3)若實數x，y滿足xy3x3，則的最小值為_答案8解析由已知得，x，又0x3，y3y36268，當且僅當y4時，min8.題型二基本不等式的實際應用例4某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本為C(x)，當年產量不足80千件時，C(x)x210x(萬元)當年產量不小于80千件時，C(x)51x1450(萬元)每件商品售價為0.05萬元通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式；(2)當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？解(1)因為每件商品售價為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.051000x萬元，依題意得當0x80時，L(x)1000x0.05250x240x250；當x80時，L(x)1000x0.052501200.L(x)(2)當0x0，n0)，則m2n的最小值為_答案3解析，M，P，N三點共線，1，m2n(m2n)23，當且僅當mn1時等號成立命題點2求參數值或取值范圍例6已知不等式(xy)9對任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為_答案4解析已知不等式(xy)9對任意正實數x，y恒成立，只要求(xy)的最小值大于或等于9，1aa21，當且僅當yx時，等號成立，a219，2或4(舍去)，a4，即正實數a的最小值為4.思維升華求參數的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數的值或范圍跟蹤訓練3(1)在ABC中，A，ABC的面積為2，則的最小值為_答案解析由ABC的面積為2，所以SbcsinAbcsin2，得bc8，在ABC中，由正弦定理得22，當且僅當b2，c4時，等號成立(2)已知函數f(x)ax2bx(a0，b0)的圖象在點(1，f(1)處的切線的斜率為2，則的最小值是_答案9解析由函數f(x)ax2bx，得f(x)2axb，因為函數f(x)的圖象在點(1，f(1)處的切線斜率為2，所以f(1)2ab2，所以(2ab)(108)9，當且僅當，即a，b時等號成立，所以的最小值為9.利用基本不等式求解實際問題數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學的語言表達問題，用數學的方法構建模型解決問題過程主要包括：在實際情景中從數學的視角發(fā)現問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數、計算求解、檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題例某廠家擬在2019年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用m萬元(m0)滿足x3(k為常數)，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件已知2019年生產該產品的固定投入為8萬元每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將2019年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；(2)該廠家2019年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？解(1)由題意知，當m0時，x1，13k，即k2，x3，每萬件產品的銷售價格為1.5(萬元)，2019年的利潤y1.5x816xm48xm48m29(m0)(2)m0時，(m1)28，y82921，當且僅當m1，即m3(萬元)時，ymax21(萬元)故該廠家2019年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元素養(yǎng)提升利用基本不等式求解實際問題時根據實際問題抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值1函數f(x)的最小值為_答案4解析f(x)|x|24，當且僅當x2時，等號成立2已知正數a，b滿足ab1，則的最小值為_答案9解析由題意知，正數a，b滿足ab1，則(ab)41529，當且僅當，即a，b時等號成立，所以的最小值為9.3若a0，b0，lgalgblg(ab)，則ab的最小值為_答案4解析由lgalgblg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，則有1，所以ab(ab)2224，當且僅當ab2時等號成立，所以ab的最小值為4.4(2018揚州模擬)已知正實數x，y滿足xyxy，則的最小值為_答案52解析正實數x，y滿足xyxy，即1，111，又，552，等號成立的條件為3222.5(2018江蘇省無錫市第一中學期末)在等差數列an中，an0，a45，則的最小值為_答案解析由題意得a2a62a410，所以(a2a6)(102).當且僅當a63a2時等號成立故的最小值為.6已知函數f(x)ex在點(0，f(0)處的切線為l，動點(a，b)在直線l上，則2a2b的最小值是_答案解析由題意得f(x)ex，f(0)e01，kf(0)e01.所以切線方程為y1x0，即xy10，ab10，ab1，2a2b222.7設x，y均為正數，且xyxy100，則xy的最小值是_答案6解析由xyxy100，得x1，xy1y26，當且僅當1y，即y2時，等號成立8已知ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2b2c2bc，且ABC的面積為，則a的最小值為_答案解析由題意得b2c2a2bc，2bccosAbc，cosA，又A(0，)，A.ABC的面積為，bcsinA，bc3.a2b2c2bc，a22bcbcbc3(當且僅當bc時，等號成立)，a.9(2018揚州模擬)已知正實數x，y滿足5x24xyy21，則12x28xyy2的最小值為_答案解析方法一因為5x24xyy21，所以y25x214xyx24y2(當且僅當x2y時，取“”)，即6x23y21，所以2x2y2，所以12x28xyy212x22(y25x21)y22x2y222.方法二因為5x24xyy21，則12x28xyy2.令t，則t(0，)，設f(t)2，則f(t)，令f(t)0，得t2，則f(t)在(0,2)上單調遞減，在(2，)上單調遞增，所以f(t)minf(2).10已知a，b為正實數，且(ab)24(ab)3，則的最小值為_答案2解析由題意得(ab)2(ab)24ab，代入已知得(ab)24(ab)34ab，兩邊同除以(ab)2得24428，當且僅當ab1時取等號所以2，即的最小值為2.11已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulgxlgy的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，當且僅當2x5y時，等號成立因此有解得此時xy有最大值10.ulgxlgylg(xy)lg101.當x5，y2時，ulgxlgy有最大值1.(2)x0，y0，當且僅當時，等號成立由解得的最小值為.12.某人準備在一塊占地面積為1800平方米的矩形地塊中間建三個矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖所示)，大棚占地面積為S平方米，其中ab12.(1)試用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，則x，y的值各為多少？解(1)由題意可得xy1800，b2a，則yab33a3，所以S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x8)18083xy(x3，y3)(2)方法一S18083x18081808218082401568，當且僅當3x，即x40時等號成立，S取得最大值，此時y45，所以當x40，y45時，S取得最大值方法二設Sf(x)1808(x3)，則f(x)3，令f(x)0，則x40，當0x0；當x40時，f(x)0.所以當x40時，S取得最大值，此時y45.13在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，b4，則ABC面積的最大值為_答案4解析，(2ac)cosBbcosC，由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，2sinAcosBsinCcosBsinBcosCsin(BC)sinA.又sinA0，cosB.0B，B.由余弦定理得b216a2c22accosa2c2ac2acacac，ac16，當且僅當ac時等號成立SABCacsin164.故ABC面積的最大值為4.14已知P為橢圓1上一個動點，過點P作圓(x1)2y21的兩條切線，切點分別是A，B，則的取值范圍為_答案解析如圖，由題意設APB2，則PAPB，|cos2cos2cos2，設cos2t，則t0，(1t)32323，當且僅當1t，即t1時等號成立，此時cos21.又當點P在橢圓的右頂點時，sin，cos212sin2，此時最大，且最大值為.的取值范圍是.15已知曲線C：y22xa在點Pn(n，)(a0，nN)處的切線ln的斜率為kn，直線ln交x軸、y軸分別于點An(xn,0)，Bn(0，yn)，且|x0|y0|.給出以下結論：a1；當nN*時，yn的最小值為；當nN*時，knsin；當nN*時，記數列的前n項和為Sn，則Sn(1)