《應用統(tǒng)計學》第6章：置信區(qū)間估計

1,本章教學目標： (1) 單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計。 (2) 總體比例的區(qū)間估計。 (3) 均值和比例置信區(qū)間估計中的樣本容量確定。 (4) 兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的區(qū)間估計。 (5) 單側置信區(qū)間估計。,第6章 置信區(qū)間估計,2,2,由于點估計存在誤差，因此僅對總體參數(shù)作出點估計是不夠的，還需要了解估計的精度及其誤差。 參數(shù)的區(qū)間估計就是在給定的可信度下，估計未知參數(shù)的可能取值范圍。,設 為總體分布的未知參數(shù)，,若由樣本確定的兩,個統(tǒng)計量,和,對給定的概率 (01)，,滿足,則稱隨機區(qū)間,為 的置信度為1- 的,置信區(qū)間。,區(qū)間估計,3,一. 總體方差 2 的區(qū)間估計,1. 2 分布,設總體 XN (0, 1)，,X1, X2, , Xn 為 X 的,一個樣本，,則它們的平方和,為服從自由度為 n 的 2 分布，,記為, 2 2(n),6.1 單個正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計,4,若對于隨機變量 X1, X2, , Xn，,存在一組不全為,零的常數(shù) c1, c2, , cn，,使,c1 X1+ c2 X2 + + cn Xn = 0,則稱變量 X1, X2, , Xn 線性相關，,或稱它們間存在,一個線性約束條件；,若 X1, X2, , Xn 間存在 k 個獨立,的線性約束條件，,則它們中僅有 n-k 個獨立的變量，,并稱平方和,的自由度為 n-k。,“自由度”的含義,5,2 分布密度函數(shù)的圖形,x,f (x),o,n=1,n=4,n=10,6,由給定的概率 和自由度，可查表得到, 2 分布的右側 分位點,為 2分布中滿足下式的的右側 分位點：,f (x),x,o,7,語法規(guī)則如下： 格式：CHIINV ( , n ) 功能：返回,可用 Excel 的統(tǒng)計函數(shù) CHIINV 返回,用 Excel 求,的值。,8,2. 總體方差 2 的區(qū)間估計,設總體 XN( , 2 )，,/2,/2,1-,從而 2 的置信度為1-的置信區(qū)間為：,由,和 S2 分別為樣本均值和樣本方差。,可得,X1, X2, , Xn 為 X 的容量為n的樣本，,可以證明，,9,【例2】求例1中元件壽命方差 2 的 95% 置信區(qū)間。,解：由例1，S2 =196.52，n =10，/2=0.025， 1-/2=0.975,故所求 2的置信區(qū)間為 (135.22，358.82),(n-1)S2/,(n-1)S2/,= 9196.52/19.023,= 9196.52/2.7,= 135.22,= 358.82,10,課堂練習1,某車床加工的缸套外徑尺寸 X N(, 2)，現(xiàn)隨機測得的 10 個加工后的某種缸套外徑尺寸(mm) 如下： 90.01，90.01，90.02，90.03，89.99 89.98，89.97，90.00，90.01，89.99 ( ) 求 2 的置信度為 95% 的置信區(qū)間。,11,1. 標準正態(tài)分布的右側 分位點 Z Z 是標準正態(tài)分布中滿足下式的右側分位點： P Z Z = ,z,1- ,二. 總體均值的區(qū)間估計,如圖所示，, ( Z )=1- ，,因此，,可由正態(tài)分布表,得到 Z 。,如：要查 Z0.025，,由正態(tài)分布表可查得：, (1.96) = 0.975 = 1-0.025，,故 Z0.025 =1.96,12,由正態(tài)分布的性質可得,對給定的置信度1-，,z/2,/2,-z/2,/2,1- ,N(0,1),由此可得,從而的置信度為 1- 的置信區(qū)間為,為便于記憶和理解，將 的置信區(qū)間表示為如下形式：,2. 2 已知時總體均值的區(qū)間估計,有,其中 d 稱為估計的允許誤差。,13,可用 Excel 的統(tǒng)計函數(shù) NORMSINV 返回 Z 。 語法規(guī)則如下： 格式：NORMSINV(1-) 功能： 返回 Z 的值。 說明： NORMSINV() 返回的是 Z1- 的值。,用 Excel 求 Z,14,3. t 分布,設 XN(0, 1)，,Y 2(n)，,且 X 與 Y 相互,獨立，,則隨機變量,服從自由度為 n 的 t 分布，,記為 tt(n)。,15,t 分布密度函數(shù)的圖形,標準正態(tài)分布分布是 t 分布的極限分布。 當 n 很大時，t 分布近似于標準正態(tài)分布。,x,f (x),0,n = 1,n = 4,n = 10,n = ，N (0, 1),16,t 分布的右側 分位點 t(n),t(n)為 t 分布中滿足下式的右側 分位點： P t t ( n ) = 由給定的概率 ，可查表得到 t(n)。 由 t 分布的對稱性，可得：t1-(n)=-t(n)。,t(n),t1-(n),= - t(n),17,可用 Excel 的統(tǒng)計函數(shù) TINV 返回 t (n)。 語法規(guī)則如下： 格式：TINV( 2 , n ) 功能:返回 t (n)的值。 說明：TINV(, n )返回的是 t/2(n)的值。,用 Excel 求 t /2(n),18,4. 2 未知時總體均值 的區(qū)間估計, t(n-1),設總體 XN( , 2 )，,和 S2 分別為樣本均值和樣本方差。,由此可得 的置信度為 1- 的置信區(qū)間為,因此，對給定的置信度 1-，有,即,X1, X2, , Xn 為 X 的容量為 n,的樣本，,可以證明：,19,用樣本比例代替總體比例，,設總體比例為 P，,則當 nP 和 n (1-P) 都大于5時，,樣本成數(shù) p 近似服從均值為 P，,方差為 P (1-P)/n 的正態(tài),分布。,從而,對給定的置信度1-，,由,可得總體成數(shù) P 的置信度,為 1- 的置信區(qū)間為,6.2 總體比例的區(qū)間估計,20,【例3】求例1中元件平均壽命 的95%置信區(qū)間。,故所求 的 95% 置信區(qū)間為,解：由例1，, /2=0.025，,=1423.1，,S=196.5，, =1-0.95=0.05，,n=10，,查表得 t0.025(9)=2.2622,可用 Excel 的【工具】“數(shù)據(jù)分析”“描述統(tǒng)計” 求解正態(tài)總體均值 的置信區(qū)間。,21,課堂練習2：,某車床加工的缸套外徑尺寸 XN( , 2 )， 下面是隨機測得的10個加工后的缸套外徑尺寸(mm)， 90.01，90.01，90.02，90.03，89.99 89.98，89.97，90.00，90.01，89.99 （ ， ） 求 的置信度為95%的置信區(qū)間；,22,【例4】某廠為了解產(chǎn)品的質量情況，隨機抽取了300件產(chǎn)品進行檢驗，其中有5件次品，求該廠產(chǎn)品次品率的置信度為95%的置信區(qū)間。 解：產(chǎn)品次品率為比例， =1-0.95=0.05， /2=0.025，n=300,，查表得 Z0.025=1.96， 樣本成數(shù),該廠產(chǎn)品次品率的置信度為95%的置信區(qū)間為,23,案例思考題,國外民意調查機構在進行民意調查時，通常要求在95%的置信度下將調查的允許誤差(即置信區(qū)間的 d 值)控制在3%以內。 問為滿足該調查精度要求，至少需要多大的樣本？ 如果要求置信度達到99%，調查誤差仍為3%，此時至少需要多大的樣本？,24,案例思考題解答(1),本案例中，,故需要的樣本容量至少為,25,案例思考題解答(2),如果要求置信度達到99%，則Z/2=Z0.005=2.575，,26,6.3 樣本容量確定,前面的分析都是在給定的樣本容量和樣本數(shù)據(jù)下求置信區(qū)間。但在實際應用中，應當在隨機抽樣前就確定所需抽取的樣本容量。 抽取的樣本容量過大，雖然可以提高統(tǒng)計推斷的精度，但將增加不必要的人力、物力、費用和時間開支； 如果抽取的樣本容量過小，則又會使統(tǒng)計推斷的誤差過大，推斷結果就達不到必要的精度要求。 確定樣本容量的原則 在滿足所需的置信度和允許誤差條件(置信區(qū)間的 d 值)下，確定所需的最低樣本容量。,27,1.總體均值區(qū)間估計時樣本容量的確定,在給定置信度和允許誤差 d 的條件下，由,可得,其中總體標準差或樣本標準差也是未知的，通常可以先通過小規(guī)模抽樣作出估計。 由于使用的是近似公式，可知實際采用的最低樣本容量應比計算結果稍大。,28,【例6】在例3 元件平均壽命的區(qū)間估計問題中，要求,在95%的置信度下，使估計的允許誤差不超過其平均壽命的10%，并設已得到例1的先期抽樣數(shù)據(jù)。求所需的最低樣本容量。 其他條件不變，在99%的置信度下求所需最低樣本容量。 解：由例1，,S=196.5，,d = 1423/10 =142.3,可知取 n =10 已能滿足所給精度要求。 ,可知此時取 n =20 就能滿足所給精度要求。 在總體均值的區(qū)間估計中，通常 n =30 就稱為大樣本。 在大樣本時，無論總體服從什么分布，都可用前述公式進行區(qū)間估計。,29,2.總體比例區(qū)間估計時樣本容量的確定,其中樣本成數(shù) p 同樣可先通過小規(guī)模抽樣作出估計，也可根據(jù)其他信息估計，或取 0.5。,30,【例7】,某企業(yè)要重新制定產(chǎn)品抽樣檢驗的規(guī)范。已知過去檢驗的次品率在3.6%左右，現(xiàn)要求允許誤差不超過2%，置信度為95%。問每次至少應抽查多少產(chǎn)品？ 解：由題意，要推斷的是總體成數(shù)， p =0.036，1-p = 0.964，d = 0.02， = 0.05， z/2 = z0.025 = 1.96,故每次至少應抽查 334 件產(chǎn)品。 由此可知，在總體比例的區(qū)間估計問題中，要達到一定的精度要求，樣本容量至少要在幾百以上。,31,【例5】(1)求例1中元件平均壽命的95%置信下限。 (2)求元件壽命方差的95%置信上限。,解:(1),從而 的單側 1- 置信下限為,本例中，t 0.05(9)=1.8331，故所求置信下限為,1423.1-1.8331196.5/,該在95%的置信度下，該元件的平均壽命大于1309.2小時。,=1390.2,可得,由,6.4 單側置信限的區(qū)