概論綜合習(xí)題課件綜合習(xí)題2

綜合習(xí)題二,1.一袋裝有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5。在袋中同時(shí)取3只球，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的概率分布。,解：,2.已知一批產(chǎn)品共20個(gè)，其中有4個(gè)次品，按兩種方式抽樣：（1）不放回抽樣，抽取6個(gè)產(chǎn)品，求抽得的次品數(shù)X的概率分布；（2）放回抽樣，抽取6個(gè)產(chǎn)品，求抽得的次品數(shù)Y的概率分布。,解：,（1）不放回抽樣 (服從超幾何分布H(n,M,N),其中n=6 ,N=20,M=4.,其中，,（2）放回抽樣（服從二項(xiàng)分布B(n,p)）,其中n=6, p=M/N=0.2.,其中，,3.對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中為止，若每次射擊命中率為p，求射擊次數(shù)的概率分布。,解：,X表示射擊次數(shù)，顯然，X的可能的取值是1,2,3。,這屬于幾何分布,4.某射手由5發(fā)子彈，連續(xù)射擊直到擊中或子彈用盡為止，每次射擊擊中率為0.9，求耗用的子彈數(shù)X的概率分布。（與3題類似，但也有不同）,解：,第5次射擊有兩種情況：子彈用完但未擊中，子彈用完并擊中。,解：,6.一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備。調(diào)查表明在任一時(shí)刻t，每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1，且各個(gè)設(shè)備的使用是相互獨(dú)立的。求在同一時(shí)刻被使用的設(shè)備數(shù)的概率分布，并求在同一時(shí)刻：（1）恰有兩個(gè)設(shè)備被使用的概率；（2）至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率； （3）最多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率；（4）至少有1個(gè)設(shè)備被使用的概率。,解：設(shè)X表示被使用的設(shè)備數(shù)，XB(5,0.1)，則X的概率函數(shù)：,解1：,解2：,8.在一繁忙的汽車站，有大量汽車通過(guò)，設(shè)每輛車在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001，在某天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛車通過(guò)，問(wèn)出事故的次數(shù)不少于2的概率。(此題可用二項(xiàng)分布計(jì)算，由于n很大p很小(p0.1)，二項(xiàng)分布B(n,p)的概率函數(shù)近似等于泊松分布的概率函數(shù)P().,解： 設(shè)X為出事故的次數(shù)，由題意，由于n很大，p很小(p0.1),故XP()。 因?yàn)閚=1000，p=0.0001，則=np=0.1.,解：設(shè)X為出事故的次數(shù)，由題意，由于n很大，p很小(p0.1),故XP()。 因?yàn)閚=1000，p=0.0001，則=np=0.1.,9.電話站為300個(gè)電話用戶服務(wù)。在1小時(shí)內(nèi)每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，求在1小時(shí)內(nèi)恰有4個(gè)用戶使用電話的概率：先用二項(xiàng)分布計(jì)算，再用泊松分布近似計(jì)算。并求相對(duì)誤差。,解：,故f(x)不是連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)。,解：因?yàn)?解：,解：,解：,（1）由隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)可知其概率密度為：,（2）隨機(jī)變量X的概率密度為：,或,14.公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過(guò)，乘客到達(dá)汽車站的任一時(shí)刻是等可能的，求乘客候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率。,解：設(shè)上一輛公共汽車于t1時(shí)刻開(kāi)出，而下一輛公共車在t2時(shí)刻到達(dá)且t2-t1=5 。t是t1t2上一點(diǎn)，且tt2長(zhǎng)等于3。顯然，乘客只有在時(shí)刻t以后到達(dá)，乘客候車時(shí)間不會(huì)超過(guò)3分鐘,設(shè)隨機(jī)變量X表示乘客到汽車站的時(shí)間，由題意知，XU(t1 , t2) ，則X的概率密度為：,解：設(shè)上一輛公共汽車于t1時(shí)刻開(kāi)出，而下一輛公共車在t2時(shí)刻到達(dá)且t2-t1=5 。t是t1t2上一點(diǎn)，且tt2長(zhǎng)等于3。顯然，乘客只有在時(shí)刻t以后到達(dá)，乘客候車時(shí)間不會(huì)超過(guò)3分鐘,設(shè)隨機(jī)變量X表示乘客到汽車站的時(shí)間，由題意知，XU(t1 , t2) ，則X的概率密度為：,15.盒子里裝有3個(gè)黑球、2個(gè)紅球、2個(gè)白球，從其中任取4個(gè)球，設(shè)X表示取得黑球的個(gè)數(shù)，Y表示取得紅球的個(gè)數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合概率分布。,解：,16.把一顆均勻的骰子隨機(jī)地拋兩次，設(shè)隨機(jī)變量X表示第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，隨機(jī)變量Y表示兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的最大值，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布及Y的邊緣分布。,解：,Y的邊緣分布如表所示：,解：,18.某種晶體管的使用壽命X（單位：h）的概率密度為： 求在150h內(nèi)： （1）3只晶體管中沒(méi)有1只損壞的概率；（2）3只晶體管中只有1只損壞的概率；（3）3只晶體管全壞的概率。,解：,設(shè)晶體管在150h內(nèi)損壞的概率為p，隨機(jī)變量Y表示晶體管損壞的個(gè)數(shù)，由于晶體管之間損壞與否是相 互獨(dú)立的，對(duì)3只晶體管的觀察就是3次獨(dú)立試驗(yàn)，因 此YB(3,p).,設(shè)晶體管在150h內(nèi)損壞的概率為p，隨機(jī)變量Y表示晶體管損壞的個(gè)數(shù)，由于晶體管之間損壞與否是相互獨(dú)立的，對(duì)3只晶體管的觀察就是3次獨(dú)立試驗(yàn)，因此YB(3,p).,19.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形區(qū)域：axb,cyd 上服從均勻分布，求(X,Y)的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度。隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立？,解：,20.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，XU(0，2)，Ye(2)，求： （1）二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度；（2）概率P(XY)。,解：,由于 XU(0，2)，Ye(2)，且X與Y相互獨(dú)立，所以它們的概率密度分別為：,21.在某一分鐘內(nèi)的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可能的，若收到兩個(gè)獨(dú)立的時(shí)間間隔小于0.5S，則信號(hào)將產(chǎn)生互相干擾，求兩個(gè)信號(hào)互相干擾的概率。,解：,解：,因?yàn)殡S機(jī)變量X的概率函數(shù)如下表：,解：,解：,25.設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為： 求隨機(jī)