2020版高考數(shù)學復習第八章立體幾何與空間向量8.2空間幾何體的表面積與體積教案理（含解析）新人教A版.docx

8.2空間幾何體的表面積與體積最新考綱考情考向分析了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.主要考查涉及空間幾何體的表面積與體積.常以選擇題與填空題為主，涉及空間幾何體的結構特征、三視圖等內容，要求考生要有較強的空間想象能力和計算能力，難度為中低檔.1.多面體的表面積、側面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和.2.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側2rlS圓錐側rlS圓臺側(r1r2)l3.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側S底VSh臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3概念方法微思考1.如何求旋轉體的表面積？提示求旋轉體的側面積時需要將曲面展開為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面積之和.2.如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示求不規(guī)則幾何體的體積要注意分割與補形，將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉化為規(guī)則的幾何體求解.題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和.()(2)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差.()(3)錐體的體積等于底面積與高之積.()(4)已知球O的半徑為R，其內接正方體的邊長為a，則Ra.()(5)圓柱的一個底面積為S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是2S.()題組二教材改編2.已知圓錐的表面積等于12cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A.1cmB.2cmC.3cmD.cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3.如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_.答案147解析設長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出棱錐的體積V1abcabc，剩下的幾何體的體積V2abcabcabc，所以V1V2147.題組三易錯自糾4.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A.12B.C.8D.4答案A解析由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線為2即為球的直徑，所以球的表面積為4R2(2R)212，故選A.5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_.答案解析由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱挖去了一個同底等高的圓錐，其體積為222222.題型一求空間幾何體的表面積1.(2018全國)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A.12B.12C.8D.10答案B解析設圓柱的軸截面的邊長為x，則由x28，得x2，S圓柱表2S底S側2()22212.故選B.2.(2019撫順模擬)下圖是某幾何體的三視圖，則此幾何體的表面積為()A.422B.44C.242D.84答案A解析該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，為三棱錐B1ACD，則其表面積為四個面面積之和S222(2)2422.思維升華空間幾何體表面積的求法(1)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(3)以三視圖為載體的需確定幾何體中各元素之間的位置關系及數(shù)量.題型二求空間幾何體的體積命題點1求以三視圖為背景的幾何體的體積例1(2017全國)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A.90B.63C.42D.36答案B解析方法一(割補法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示.將圓柱補全，并將圓柱從點A處水平分成上下兩部分.由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V32432663.故選B.方法二(估值法)由題意知，V圓柱V幾何體V圓柱，又V圓柱321090，45V幾何體90.觀察選項可知只有63符合.故選B.命題點2求簡單幾何體的體積例2如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2，側棱長為，D為BC的中點，則三棱錐AB1DC1的體積為()A.3B.C.1D.答案C解析如題圖，因為ABC是正三角形，且D為BC中點，則ADBC.又因為BB1平面ABC，AD平面ABC，故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，所以AD是三棱錐AB1DC1的高.所以AD1.思維升華空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)直接利用公式進行求解.(2)用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解.(3)以三視圖的形式給出的應先得到幾何體的直觀圖.跟蹤訓練1(1)(2018蘭州模擬)九章算術是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高1丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為()A.5000立方尺B.5500立方尺C.6000立方尺D.6500立方尺答案A解析(分割法)該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點G，CD的中點H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐FGBCH與三棱柱ADEGHF的體積之和.又可以將三棱柱ADEGHF割補成高為EF，底面積為S31(平方丈)的一個直棱柱，故該楔體的體積V22315(立方丈)5000(立方尺).(2)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長均為2，D為棱B1C1上任意一點，則三棱錐DA1BC的體積是_.答案解析題型三與球有關的切、接問題例3已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A.B.2C.D.3答案C解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半徑ROA.引申探究1.本例若將直三棱柱改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球和內切球的體積各是多少？解由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內切球的直徑.設該正方體外接球的半徑為R，內切球的半徑為r.又正方體的棱長為4，故其體對角線長為4，從而V外接球R3(2)332，V內切球r323.2.本例若將直三棱柱改為“正四面體”，則此正四面體的表面積S1與其內切球的表面積S2的比值為多少？解正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S14a2a2，其內切球半徑r為正四面體高的，即raa，因此內切球表面積為S24r2，則.3.本例中若將直三棱柱改為“側棱和底面邊長都是3的正四棱錐”，則其外接球的半徑是多少？解依題意，得該正四棱錐底面對角線的長為36，高為3，因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.思維升華“切”“接”問題的處理規(guī)律(1)“切”的處理首先要找準切點，通過作截面來解決，截面過球心.(2)“接”的處理抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.跟蹤訓練2(1)(2018全國)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐DABC體積的最大值為()A.12B.18C.24D.54答案B解析由等邊ABC的面積為9，可得AB29，所以AB6，所以等邊ABC的外接圓的半徑為rAB2.設球的半徑為R，球心到等邊ABC的外接圓圓心的距離為d，則d2.所以三棱錐DABC高的最大值為246，所以三棱錐DABC體積的最大值為9618.(2)(2019長春東北師大附中模擬)一個棱錐的三視圖如圖所示，則這個棱錐的外接球的表面積為()A.34B.25C.41D.50答案A解析根據(jù)題中所給的三視圖可以斷定該幾何體應該是由長、寬、高分別是4,3,3的長方體所截成的四棱錐，所以該棱錐的外接球相當于對應的長方體的外接球，所以長方體的體對角線就是其外接球的直徑，所以有R，從而求得其表面積為S4R234，故選A.1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A.168B.164C.488D.484答案C解析根據(jù)三視圖知，該幾何體是底面為等邊三角形，高為4的直三棱柱，畫出幾何體的直觀圖，如圖所示，結合圖中數(shù)據(jù)，計算它的表面積是S224344488.2.(2018鞍山質檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A.38B.28C.244D.344答案D解析由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，左邊是一個半球，球的半徑為1，右邊是一個三棱柱，三棱柱底面是斜邊長為2的等腰直角三角形，高為2，組合體表面積由球表面積的一半，圓面積、棱柱的側面積組成，其值為41212(22)2344，故選D.3.(2018錦州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.18B.24C.32D.36答案B解析由三視圖可知，幾何體是三棱柱削去一個同底的三棱錐，如圖，三棱柱的高為5，削去的三棱錐的高為3，三棱錐與三棱柱的底面為直角邊長分別為3和4的直角三角形，所以幾何體的體積為34534330624.4.算術書竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典著，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術相當于給出圓錐的底面周長l與高h，計算其體積V的近似公式Vl2h，它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取3，那么，近似公式Vl2h相當于將圓錐體積公式中的近似取()A.B.C.D.答案C解析Vr2h2hl2h，由，得，故選C.5.(2018營口模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.B.C.D.答案B解析由給定的三視圖可知，該幾何體表示左側是一個以邊長為2的正方形為底面，高為2的四棱錐，其體積為V1222；右側為一個直三棱柱，其底面如俯視圖所示，高為2，其體積為V22224，所以該幾何體的體積為VV1V24，故選B.6.如圖所示，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則_.答案解析由水面高度升高r，得圓柱體積增加了R2r，恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有r3R2r.故.7.一個六棱錐的體積為2，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為_.答案12解析設六棱錐的高為h，則VSh，所以46h2，解得h1.設六棱錐的斜高為h，則h2()2h2，故h2.所以該六棱錐的側面積為22612.8.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_.答案解析由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，它由半個圓錐與四分之一球體組成，其中，圓錐的底面半徑為1，高為2，體積為122；球半徑為1，體積為13，所以，該幾何體的體積為.9.某組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為_.答案解析如圖所示，該組合體由一個四棱錐和四分之一個球組成，球的半徑為1，四棱錐的高為球的半徑，四棱錐的底面為等腰梯形，上底為2，下底為1，高為，所以該組合體的體積V(21)113.10.(2017全國)長方體的長、寬、高分別為3,2,1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為_.答案14解析長方體的頂點都在球O的球面上，長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑.設球的半徑為R，則2R.球O的表面積為S4R24214.11.(2019呼倫貝爾模擬)已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_.答案解析由三視圖可得該幾何體由左、右兩部分組成，左邊為圓錐，右邊為三棱錐.該幾何體的體積V121121.12.如圖，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，F(xiàn)C4，AE5.求此幾何體的體積.解方法一如圖，取CMANBD，連接DM，MN，DN，用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐.則V幾何體V三棱柱V四棱錐.由題知三棱柱ABCNDM的體積為V186372.四棱錐DMNEF的體積為V2S梯形MNEFDN(12)6824，則幾何體的體積為VV1V2722496.方法二用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AABBCC8，所以V幾何體V三棱柱SABCAA24896.13.某幾何體的三視圖如圖所示，依次為主視圖、左視圖和俯視圖，則這個幾何體的體積為()A.6B.8C.6D.8答案B解析由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的組合體，該組合體由一個三棱錐與四分之三球體組成，其中棱錐的底面是等腰直角三角形，一側面與底面垂直，球半徑為2，所以可得該幾何體的體積為V234228，故選B.14.(2019湛江模擬)已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為_.答案4解析如圖所示，在長、寬、高分別為2，2的長方體中，點E，F(xiàn)分別為對應棱的中點，則三視圖對應的幾何體為三棱錐EABF，將三棱錐補形為三棱柱ABFA1B1E，則三棱錐的外接球即三棱柱的外接球