彈性力學(xué) 彈性波.ppt

1,第十一章 彈性波,2,概述 1-1 彈性體的運(yùn)動(dòng)微分方程 11-2 無旋波與等容波 11-3 橫波與縱波 11-4 球面波,第十一章 彈性波,3,彈性波,概述,當(dāng)靜力平衡狀態(tài)下的彈性體受到荷載作用時(shí)，并不是在彈性體的所有各部分都立即引起位移、形變和應(yīng)力。在作用開始時(shí)，距荷載作用處較遠(yuǎn)的部分仍保持不受干擾。在作用開始后，荷載所引起的位移、形變和應(yīng)力，就以波動(dòng)的形式用有限大的速度向別處傳播。這種波動(dòng)就稱為彈性波。,本章將首先給出描述彈性體運(yùn)動(dòng)的基本微分方程，然后介紹彈性波的幾個(gè)概念，針對(duì)不同的彈性波，對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行簡化，最后給出波在無限大彈性體中傳播速度公式。,4,11-1 彈性體的運(yùn)動(dòng)微分方程,彈性波,上述兩條假設(shè)，完全等同于討論靜力問題的基本假設(shè)。因此，在靜力問題中給出的物理方程和幾何方程，以及把應(yīng)力分量用位移分量表示的彈性方程，仍然適用于討論動(dòng)力問題的任一瞬時(shí)，所不同的僅僅在于，靜力問題中的平衡微分方程必須用運(yùn)動(dòng)微分方程來代替。,5,彈性波,對(duì)于任取的微元體，運(yùn)用達(dá)朗伯爾原理，除了考慮應(yīng)力和體力以外，還須考慮彈性體由于具有加速度而產(chǎn)生的慣性力。每單位體積上的慣性力在空間直角坐標(biāo)系的x,y,z方向的分量分別為:,其中為彈性體的密度。,6,彈性波,由平衡關(guān)系，并簡化后得：,上式稱為彈性體的運(yùn)動(dòng)微分方程。它同幾何方程和物理方程一起構(gòu)成彈性力學(xué)動(dòng)力問題的基本方程。,7,彈性波,注1：幾何方程,8,彈性波,注2：物理方程,9,彈性波,由于位移分量很難用應(yīng)力及其導(dǎo)數(shù)來表示，所以彈性力學(xué)動(dòng)力問題通常要按位移求解。將應(yīng)力分量用位移分量表示的彈性方程代入運(yùn)動(dòng)微分方程，并令：,得：,10,彈性波,這就是按位移求解動(dòng)力問題的基本微分方程，也稱為拉密（lame)方程。,要求解拉密方程，顯然需要邊界條件。除此之外，由于位移分量還是時(shí)間變量的函數(shù)，因此求解動(dòng)力問題還要給出初始條件。,為求解上的簡便，通常不計(jì)體力，此時(shí)彈性體的運(yùn)動(dòng)微分方程簡化為：,11,彈性波,11-2 無旋波與等容波,一、無旋波,所謂無旋波是指在彈性體中，波動(dòng)所產(chǎn)生的變形不存在旋轉(zhuǎn)，即彈性體在任一點(diǎn)對(duì)三個(gè)垂直坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)量皆為零。,假定彈性體的位移u,v,w可以表示成為：,其中 是位移的勢(shì)函數(shù)。這種位移稱為無旋位移。而相應(yīng)于這種位移狀態(tài)的彈性波就稱無旋波。,12,彈性波,證：在彈性體的任一點(diǎn)處，該點(diǎn)對(duì)z 軸的旋轉(zhuǎn)量,即彈性體的任一點(diǎn)對(duì)三個(gè)坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)量都等于零。,將 代入，可得：,同理,得證,13,彈性波,在無旋位移狀態(tài)下,從而,同理,將上三式代入不計(jì)體力的運(yùn)動(dòng)微分方程，并簡化后得無旋波的波動(dòng)方程,14,彈性波,其中,就是無旋波在無限大彈性體中的傳播速度,15,所謂等容波是指在彈性體內(nèi)，波動(dòng)所產(chǎn)生的變形中體積應(yīng)變?yōu)榱?。即彈性體中任一部分的容積（即體積）保持不變。,二、等容波,彈性波,假定彈性體的位移u,v,w滿足體積應(yīng)變?yōu)榱愕臈l件，即：,這種位移稱為等容位移。而相應(yīng)于這種位移狀態(tài)的彈性 波就是等容波。,16,由于 ，故不計(jì)體力的運(yùn)動(dòng)微分方程，簡化后得等容波的波動(dòng)方程：,其中,就是等容波在無限大彈性體中的傳播速度。,彈性波,17,對(duì)于無旋波和等容波，我們不加證明地給出如下結(jié)論：在彈性體中，形變、應(yīng)力以及質(zhì)點(diǎn)速度，都將和位移以相同的方式與速度進(jìn)行傳播。,彈性波,18,11-3 縱波與橫波,彈性波,19,將x軸取為波的傳播方向，則彈性體內(nèi)任取一點(diǎn)的位移分量都有：,彈性波,20,代入不計(jì)體力的運(yùn)動(dòng)微分方程，可見其第二、第三式成為恒等式，而第一式簡化為：,其中,為縱波在彈性體中的傳播速度。,顯然縱波的傳播速度與無旋波相同。事實(shí)上，縱波就是一種無旋波。,彈性波,21,縱波波動(dòng)方程的通解是：,該通解的物理意義：以其第一項(xiàng)為例，函數(shù) 在某一個(gè)固定時(shí)刻將是x的函數(shù)，可以用圖(a)中的曲線abc表示（假設(shè)是這種形狀），在 時(shí)間之后，函數(shù)變?yōu)椋?彈性波,22,同理 ，表示以同樣速度 向x軸負(fù)向傳播的波。整個(gè)通解表示朝相反兩個(gè)方向傳播的兩個(gè)波（如圖b），其傳播速度為波動(dòng)方程的系數(shù) 。,彈性波,23,二、橫波,定義 彈性體的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向垂直于彈性波的傳播方向。,彈性波,24,仍然將x軸放在波的傳播方向，y軸為質(zhì)點(diǎn)位移方向，則彈性體內(nèi)任取一點(diǎn)的位移分量都有,代入不計(jì)體力的運(yùn)動(dòng)微分方程，可見其第一、第三式成為恒等式，第二式簡化為：,為橫波在彈性體中的傳播速度。由于橫波的體積應(yīng)變,彈性波,25,橫波的波動(dòng)方程的通解為：,，故橫波為等容波。,顯然，整個(gè)通解表示朝相反兩個(gè)方向傳播的兩個(gè)波，它的位移沿著y方向，而傳播方向是沿著x方向，傳播速度等于常量 。,彈性波,26,11-4 球面波,如果彈性體具有圓球形的孔洞或具有圓球形的外表面，則在圓球形孔洞或圓球形外表面上受到球?qū)ΨQ的動(dòng)力作用時(shí)，由孔洞向外傳播或由外表面向內(nèi)傳播的彈性波，稱為球面波。,球面波是球?qū)ΨQ的。利用球?qū)ΨQ的基本微分方程：,彈性波,27,則上式簡寫成,即得：,令：,假定,則 是位移的勢(shì)函數(shù)。代入（a）式得,（a）,彈性波,28,所以（b）式可寫成,由于,（b）,彈性波,29,它的通解是：,對(duì)r積分一次，得：,由于令f(t)=0，并不會(huì)影響位移 ，因此上式可簡寫成為：,彈性波,30,彈性波,習(xí)題11.1 什么是彈性波？研究彈性波有何意義？,答：（略）,習(xí)題1