2018版高中數學第二章平面解析幾何初步2.3.4圓與圓的位置關系學案含解析新人教B版.docx

2.3.4圓與圓的位置關系1掌握圓與圓的位置關系及判定方法(重點)2了解兩圓相交或相切時一些簡單的幾何性質的應用(重點)3利用圓的對稱性靈活解決問題的方法(難點)基礎初探教材整理圓與圓的位置關系及其判定閱讀教材P101P103“練習”以上內容，完成下列問題1圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系有五種，分別為外離、外切、相交、內切、內含2判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：位置關系外離外切相交內切內含圖示d與r1、r2的關系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|0d|r1r2|(2)代數法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數進行判斷一元二次方程兩圓x2y29和x2y28x6y90的位置關系是()A外離B相交C內切D外切【解析】兩圓x2y29和x2y28x6y90的圓心分別為(0,0)和(4，3)，半徑分別為3和4.所以兩圓的圓心距d5.又43534，故兩圓相交【答案】B小組合作型圓與圓位置關系的判定當實數k為何值時，兩圓C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切、相離？ 【導學號：45722113】【精彩點撥】【自主解答】將兩圓的一般方程化為標準方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圓C1的圓心為C1(2,3)，半徑r11；圓C2的圓心為C2(1,7)，半徑r2(k50)從而|C1C2|5.當15，k34時，兩圓外切當|1|5，6，k14時，兩圓內切當|r2r1|C1C2|r2r1，即14k34時，兩圓相交當15或|1|5，即0k14或34k50時，兩圓相離1判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數的取值范圍問題有以下幾個步驟：(1)化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑；(2)計算兩圓圓心的距離d；(3)通過d，r1r2，|r1r2|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數的范圍，必要時可借助于圖形，數形結合2應用幾何法判定兩圓的位置關系或求字母參數的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關系再練一題1已知圓C1：x2y22ax2ya2150，圓C2：x2y24ax2y4a20(a0)試求a為何值時，兩圓C1，C2的位置關系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內含【解】圓C1，C2的方程，經配方后可得C1：(xa)2(y1)216，C2：(x2a)2(y1)21，圓心C1(a,1)，C2(2a,1)，半徑r14，r21.|C1C2|a.(1)當|C1C2|r1r25，即a5時，兩圓外切；當|C1C2|r1r23，即a3時，兩圓內切(2)當3|C1C2|5，即3a5時，兩圓相交(3)當|C1C2|5，即a5時，兩圓外離(4)當|C1C2|3，即0a3時，兩圓內含兩圓相交有關問題求圓C1：x2y21與圓C2：x2y22x2y10的公共弦所在直線被圓C3：(x1)2(y1)2所截得的弦長【精彩點撥】【自主解答】設兩圓的交點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B的坐標是方程組的解，兩式相減得xy10.因為A，B兩點的坐標滿足 xy10，所以AB所在直線方程為xy10，即C1，C2的公共弦所在直線方程為xy10，圓C3的圓心為(1,1)，其到直線AB的距離d，由條件知r2d2，所以直線AB被圓C3截得弦長為2.1求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數相同時，才能如此求解，否則應先調整系數2求兩圓公共弦長的方法：一是聯立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解3已知圓C1：x2y2D1xE1yF10與圓C2：x2y2D2xE2yF20相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)再練一題2已知圓C1：x2y22x6y10，與圓C2：x2y24x2y110相交于A，B兩點，求AB所在的直線方程和公共弦AB的長【解】由圓C1的方程減去圓C2的方程，整理得方程3x4y60，又由于方程3x4y60是由兩圓相減得到的，即兩圓交點的坐標一定是方程3x4y60的解因為兩點確定一條直線，故3x4y60是兩圓公共弦AB所在的直線方程圓C1：x2y22x6y10，圓心為C1(1,3)，半徑r3，圓心C1到直線AB的距離d，|AB|22.AB所在的直線方程為3x4y60，公共弦AB的長為.探究共研型直線與圓的方程的應用探究1設村莊外圍所在曲線的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，你能求出從村莊外圍到小路的最短距離嗎？【提示】從村莊外圍到小路的最短距離為圓心(2，3)到直線xy20的距離減去圓的半徑2，即22.探究2已知臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，請建立適當的坐標系，用坐標法求B城市處于危險區(qū)內的時間【提示】如圖，以A為原點，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系射線AC為xAy的平分線，則臺風中心在射線AC上移動則點B到AC的距離為20千米，則射線AC被以B為圓心，以30千米為半徑的圓截得的弦長為220(千米)所以B城市處于危險區(qū)內的時間為t1(小時)如圖231所示，在圓O上任取C點為圓心作圓C，與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓O交于點E，F，且EF與CD相交于H.求證：EF平分CD.圖231【精彩點撥】建立適當坐標系，設出圓O和圓C的方程，利用兩圓相交求公共弦方程，證明CD中點在公共弦EF上【自主解答】以AB所在直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系如圖所示，設|AB|2r，D(a,0)，則|CD|，C(a，)，圓O：x2y2r2，圓C：(xa)2(y)2r2a2.兩方程作差得直線EF的方程為2ax2yr2a2.令xa，得y，H，即H為CD中點，EF平分CD.1坐標法解決幾何問題，要先建立適當的平面直角坐標系，建系時要堅持如下原則：(1)若有兩條互相垂直的直線，一般以它們分別為x軸和y軸；(2)充分利用圖形的對稱性；(3)讓盡可能多的點落到坐標軸上，或關于坐標軸對稱；(4)關鍵點的坐標易于求得2解決直線與圓的方程的實際應用題時應注意以下幾個方面：再練一題3一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報，臺風中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑為30 km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？ 【導學號：45722114】【解】以臺風中心為坐標原點，以東西方向為x軸建立直角坐標系(如圖)，其中取10 km為單位長度，則受臺風影響的圓形區(qū)域所對應的圓的方程為x2y29，港口所對應的點的坐標為(0,4)，輪船的初始位置所對應的點的坐標為(7,0)，則輪船航線所在直線l的方程為1，即4x7y280.圓心(0,0)到航線4x7y280的距離d，而半徑r3，dr，直線與圓外離，所以輪船不會受到臺風的影響1圓O1：x2y22x0和圓O2：x2y24y0的位置關系為()A外離B相交C外切D內切【解析】圓O1的圓心坐標為(1,0)，半徑長r11；圓O2的圓心坐標為(0,2)，半徑長r22；1r2r1|O1O2|r1r23，即兩圓相交【答案】B2圓x2y22x50和圓x2y22x4y40的交點為A、B，則線段AB的垂直平分線方程為()Axy10 B2xy10Cx2y10Dxy10【解析】所求直線即兩圓圓心(1,0)、(1,2)連線所在直線，故由，得xy10.【答案】A3圓C1：(xm)2(y2)29與圓C2：(x1)2(ym)24外切，則m的值為_【解析】C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22，由題意得|C1C2|5，即(m1)2(m2)225，解得m2或m5.【答案】2或54在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_【解析】圓C：(x4)2y21，如圖，要滿足直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，只需保證圓心C到y(tǒng)kx2的距離小于或等于2，即2，解得0k.kmax.【答案】5已知隧道的截面是半徑為4.0 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2.7 m、高為2.5 m的貨車能不能駛入這個隧道？假設貨車的最大寬