2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步2.3.4圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案含解析新人教B版.docx

2.3.4圓與圓的位置關(guān)系1掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系及判定方法(重點(diǎn))2了解兩圓相交或相切時(shí)一些簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用(重點(diǎn))3利用圓的對(duì)稱性靈活解決問題的方法(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理圓與圓的位置關(guān)系及其判定閱讀教材P101P103“練習(xí)”以上內(nèi)容，完成下列問題1圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含2判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1、r2的關(guān)系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|0d|r1r2|(2)代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷一元二次方程兩圓x2y29和x2y28x6y90的位置關(guān)系是()A外離B相交C內(nèi)切D外切【解析】兩圓x2y29和x2y28x6y90的圓心分別為(0,0)和(4，3)，半徑分別為3和4.所以兩圓的圓心距d5.又43534，故兩圓相交【答案】B小組合作型圓與圓位置關(guān)系的判定當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，兩圓C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切、相離？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：45722113】【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圓C1的圓心為C1(2,3)，半徑r11；圓C2的圓心為C2(1,7)，半徑r2(k50)從而|C1C2|5.當(dāng)15，k34時(shí)，兩圓外切當(dāng)|1|5，6，k14時(shí)，兩圓內(nèi)切當(dāng)|r2r1|C1C2|r2r1，即14k34時(shí)，兩圓相交當(dāng)15或|1|5，即0k14或34k50時(shí)，兩圓相離1判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍問題有以下幾個(gè)步驟：(1)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心和半徑；(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d；(3)通過d，r1r2，|r1r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合2應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求字母參數(shù)的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系再練一題1已知圓C1：x2y22ax2ya2150，圓C2：x2y24ax2y4a20(a0)試求a為何值時(shí)，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含【解】圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后可得C1：(xa)2(y1)216，C2：(x2a)2(y1)21，圓心C1(a,1)，C2(2a,1)，半徑r14，r21.|C1C2|a.(1)當(dāng)|C1C2|r1r25，即a5時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|C1C2|r1r23，即a3時(shí)，兩圓內(nèi)切(2)當(dāng)3|C1C2|5，即3a5時(shí)，兩圓相交(3)當(dāng)|C1C2|5，即a5時(shí)，兩圓外離(4)當(dāng)|C1C2|3，即0a3時(shí)，兩圓內(nèi)含兩圓相交有關(guān)問題求圓C1：x2y21與圓C2：x2y22x2y10的公共弦所在直線被圓C3：(x1)2(y1)2所截得的弦長【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】設(shè)兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B的坐標(biāo)是方程組的解，兩式相減得xy10.因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 xy10，所以AB所在直線方程為xy10，即C1，C2的公共弦所在直線方程為xy10，圓C3的圓心為(1,1)，其到直線AB的距離d，由條件知r2d2，所以直線AB被圓C3截得弦長為2.1求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項(xiàng)系數(shù)相同時(shí)，才能如此求解，否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù)2求兩圓公共弦長的方法：一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解3已知圓C1：x2y2D1xE1yF10與圓C2：x2y2D2xE2yF20相交，則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)再練一題2已知圓C1：x2y22x6y10，與圓C2：x2y24x2y110相交于A，B兩點(diǎn)，求AB所在的直線方程和公共弦AB的長【解】由圓C1的方程減去圓C2的方程，整理得方程3x4y60，又由于方程3x4y60是由兩圓相減得到的，即兩圓交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是方程3x4y60的解因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，故3x4y60是兩圓公共弦AB所在的直線方程圓C1：x2y22x6y10，圓心為C1(1,3)，半徑r3，圓心C1到直線AB的距離d，|AB|22.AB所在的直線方程為3x4y60，公共弦AB的長為.探究共研型直線與圓的方程的應(yīng)用探究1設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，你能求出從村莊外圍到小路的最短距離嗎？【提示】從村莊外圍到小路的最短距離為圓心(2，3)到直線xy20的距離減去圓的半徑2，即22.探究2已知臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法求B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間【提示】如圖，以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系射線AC為xAy的平分線，則臺(tái)風(fēng)中心在射線AC上移動(dòng)則點(diǎn)B到AC的距離為20千米，則射線AC被以B為圓心，以30千米為半徑的圓截得的弦長為220(千米)所以B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為t1(小時(shí))如圖231所示，在圓O上任取C點(diǎn)為圓心作圓C，與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF與CD相交于H.求證：EF平分CD.圖231【精彩點(diǎn)撥】建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出圓O和圓C的方程，利用兩圓相交求公共弦方程，證明CD中點(diǎn)在公共弦EF上【自主解答】以AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|2r，D(a,0)，則|CD|，C(a，)，圓O：x2y2r2，圓C：(xa)2(y)2r2a2.兩方程作差得直線EF的方程為2ax2yr2a2.令xa，得y，H，即H為CD中點(diǎn)，EF平分CD.1坐標(biāo)法解決幾何問題，要先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，建系時(shí)要堅(jiān)持如下原則：(1)若有兩條互相垂直的直線，一般以它們分別為x軸和y軸；(2)充分利用圖形的對(duì)稱性；(3)讓盡可能多的點(diǎn)落到坐標(biāo)軸上，或關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱；(4)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)易于求得2解決直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：再練一題3一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑為30 km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：45722114】【解】以臺(tái)風(fēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以東西方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)，其中取10 km為單位長度，則受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓的方程為x2y29，港口所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,4)，輪船的初始位置所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,0)，則輪船航線所在直線l的方程為1，即4x7y280.圓心(0,0)到航線4x7y280的距離d，而半徑r3，dr，直線與圓外離，所以輪船不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響1圓O1：x2y22x0和圓O2：x2y24y0的位置關(guān)系為()A外離B相交C外切D內(nèi)切【解析】圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑長r11；圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑長r22；1r2r1|O1O2|r1r23，即兩圓相交【答案】B2圓x2y22x50和圓x2y22x4y40的交點(diǎn)為A、B，則線段AB的垂直平分線方程為()Axy10 B2xy10Cx2y10Dxy10【解析】所求直線即兩圓圓心(1,0)、(1,2)連線所在直線，故由，得xy10.【答案】A3圓C1：(xm)2(y2)29與圓C2：(x1)2(ym)24外切，則m的值為_【解析】C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22，由題意得|C1C2|5，即(m1)2(m2)225，解得m2或m5.【答案】2或54在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是_【解析】圓C：(x4)2y21，如圖，要滿足直線ykx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，只需保證圓心C到y(tǒng)kx2的距離小于或等于2，即2，解得0k.kmax.【答案】5已知隧道的截面是半徑為4.0 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為2.7 m、高為2.5 m的貨車能不能駛?cè)脒@個(gè)隧道？假設(shè)貨車的最大寬