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初二數(shù)學(xué)經(jīng)典題型1已知:如圖,P是正方形ABCD內(nèi)點,PADPDA150求證:PBC是正三角形 證明如下。APCDB首先,PA=PD,PAD=PDA=(180-150)2=15,PAB=90-15=75。在正方形ABCD之外以AD為底邊作正三角形ADQ, 連接PQ, 則PDQ=60+15=75,同樣PAQ=75,又AQ=DQ,,PA=PD,所以PAQPDQ, 那么PQA=PQD=602=30,在PQA中,APQ=180-30-75=75=PAQ=PAB,于是PQ=AQ=AB,顯然PAQPAB,得PBA=PQA=30,PB=PQ=AB=BC,PBC=90-30=60,所以ABC是正三角形。ANFECDMB2.已知:如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,M、N分別是AB、CD的中點,AD、BC的延長線交MN于E、F求證:DENF證明:連接AC,并取AC的中點G,連接GF,GM.又點N為CD的中點,則GN=AD/2;GNAD,GNM=DEM;(1)同理:GM=BC/2;GMBC,GMN=CFN;(2)又AD=BC,則:GN=GM,GNM=GMN.故:DEM=CFN.3、如圖,分別以ABC的AC和BC為一邊,在ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG,點P是EF的中點求證:點P到邊AB的距離等于AB的一半證明:分別過E、C、F作直線AB的垂線,垂足分別為M、O、N,在梯形MEFN中,WE平行NF因為P為EF中點,PQ平行于兩底PCGFBQADE所以PQ為梯形MEFN中位線,所以PQ(MENF)/2又因為,角0CB角OBC90角NBF角CBO所以角OCB=角NBF而角C0B角Rt角BNFCB=BF所以O(shè)CB全等于NBFMEA全等于OAC(同理)所以EMAO,0BNF所以PQ=AB/2.4、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點,且PBAPDA求證:PABPCB過點P作DA的平行線,過點A作DP的平行線,兩者相交于點E;連接BE 因為DP/AE,AD/PE PADCB所以,四邊形AEPD為平行四邊形 所以,PDA=AEP 已知,PDA=PBA 所以,PBA=AEP 所以,A、E、B、P四點共圓 所以,PAB=PEB 因為四邊形AEPD為平行四邊形,所以:PE/AD,且PE=AD 而,四邊形ABCD為平行四邊形,所以:AD/BC,且AD=BC 所以,PE/BC,且PE=BC 即,四邊形EBCP也是平行四邊形 所以,PEB=PCB 所以,PAB=PCB5.P為正方形ABCD內(nèi)的一點,并且PAa,PB2a,PC=3a正方形的邊長解:將BAP繞B點旋轉(zhuǎn)90使BA與BC重合,P點旋轉(zhuǎn)后到Q點,連接PQ因為BAPBCQ所以APCQ,BPBQ,ABPCBQ,BPABQCACBPD因為四邊形DCBA是正方形所以CBA90,所以ABPCBP90,所以CBQCBP90即PBQ90,所以BPQ是等腰直角三角形所以PQ2*BP,BQP45因為PA=a,PB=2a,PC=3a所以PQ22a,CQa,所以CP29a2,PQ2CQ28a2a29a2所以CP2PQ2CQ2,所以CPQ是直角三角形且CQA90所以BQC9045135,所以BPABQC135作BMPQ則BPM是等腰直角三角形所以PMBMPB/22a/22a所以根據(jù)勾股定理得:AB2AM2BM2(2aa)2(2a)2522a2所以AB(522)a6.一個圓柱形容器的容積為V立方米,開始用一根小水管向容器內(nèi)注水,水面高度達到容器高度一半后,改用一根口徑為小水管倍的大水管注水。向容器中注滿水的全過程共用時間t分。求兩根水管各自注水的速度。解:設(shè)小水管進水速度為x,則大水管進水速度為4x。由題意得:解之得:經(jīng)檢驗得:是原方程解。小口徑水管速度為,大口徑水管速度為。7如圖11,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點M(2,),且P(,2)為雙曲線上的一點,Q為坐標(biāo)平面上一動點,PA垂直于x軸,QB垂直于y軸,垂足分別是A、B (1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式;(2)當(dāng)點Q在直線MO上運動時,直線MO上是否存在這樣的點Q,使得OBQ與OAP面積相等?如果存在,請求出點的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由; (3)如圖12,當(dāng)點Q在第一象限中的雙曲線上運動時,作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ,求平行四邊形OPCQ周長的最小值圖12圖11解:(1)設(shè)正比例函數(shù)解析式為,將點M(,)坐標(biāo)代入得,所以正比例函數(shù)解析式為 同樣可得,反比例函數(shù)解析式為 (2)當(dāng)點Q在直線DO上運動時,設(shè)點Q的坐標(biāo)為, 于是,而,所以有,解得 所以點Q的坐標(biāo)為和 (3)因為四邊形OPCQ是平行四邊形,所以O(shè)PCQ,OQPC,而點P(,)是定點,所以O(shè)P的長也是定長,所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值因為點Q在第一象限中雙曲線上,所以可設(shè)點Q的坐標(biāo)為,由勾股定理可得,所以當(dāng)即時,有最小值4,又因為OQ為正值,所以O(shè)Q與同時取得最小值,所以O(shè)Q有最小值2 由勾股定理得OP,所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是8.如圖,P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點(P與A、C不重合),點E在射線BC上,且PE=PB.(1)求證: PE=PD ; PEPD;(2)設(shè)AP=x, PBE的面積為y. 求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍; 當(dāng)x取何值時,y取得最大值,并求出這個最大值. 解:(1)證法一: 四邊形ABCD是正方形,AC為對角線, BC=DC, BCP=DCP=45. PC=PC,ABCDPE12H PBCPDC (SAS). PB= PD, PBC=PDC. 又 PB= PE , PE=PD. (i)當(dāng)點E在線段BC上(E與B、C不重合)時, PB=PE, PBE=PEB, PEB=PDC, PEB+PEC=PDC+PEC=180, DPE=360-(BCD+PDC+PEC)=90, PEPD. )(ii)當(dāng)點E與點C重合時,點P恰好在AC中點處,此時,PEPD.(iii)當(dāng)點E在BC的延長線上時,如圖. PEC=PDC,1=2, DPE=DCE=90, PEPD.綜合(i)(ii)(iii), PEPD. ABCPDEF(2) 過點P作PFBC,垂足為F,則BF=FE. AP=x,AC=, PC=- x,PF=FC=. BF=FE=1-FC=1-()=. SPBE=BFPF=(). 即 (0x). . 0, 當(dāng)時,y最大值. (1)證法二: 過點P作GFAB,分別交AD、BC于G、F. 如圖所示. 四邊形ABCD是正方形,ABCPDEFG123 四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形,AGP和PFC都是等腰直角三角形. GD=FC=FP,GP=AG=BF,PGD=PFE=90. 又 PB=PE, BF=FE, GP=FE, EFPPGD (SAS). PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90. DPE=90. PEPD. (2) AP=x, BF=PG=,PF=1-. SPBE=BFPF=(). 即 (0x). . 0, 當(dāng)時,y最大值. 9、如圖,直線y=k1x+b與反比例函數(shù) y=k2x的圖象交于A(1,6),B(a,3)兩點(1)求k1、k2的值(2)直接寫出 k1x+b-k2x0時x的取值范圍;(3)如圖,等腰梯形OBCD中,BCOD,OB=CD,OD邊在x軸上,過點C作CEOD于點

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