2019年中考數(shù)學復習第三章函數(shù)與圖象3.3反比例函數(shù)（講解部分）素材.pdf

反比例函數(shù) 考點一 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 反比例函數(shù)的定義 如果兩個變量 、 之間的關系可以表示為 （，且 為常數(shù)），那么稱 是 的反比例函數(shù)它的圖象叫 雙曲線 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 表達式 （， 為常數(shù)） 圖象 所在象限 第一、三 象限第二、四象限 增減性 在每個象限內(nèi)， 隨 的增 大而 減小 在每個象限內(nèi)， 隨 的增 大而增大 （） 時，圖象的兩個分支分別位于第一、三象限，并且在 每一個象限內(nèi)， 隨 的增大而減?。划?，時，； 當 時， （） 時，圖象的兩個分支分別位于第二、四象限，并且在 每一個象限內(nèi)， 隨 的增大而增大；當 ，時，； 當 時， 反比例函數(shù)解析式的確定用待定系數(shù)法 反比例函數(shù) 的幾何意義 矩形 （為 關 于原點的對稱點） 考點二 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用 求函數(shù)解析式 一般先通過一個已知點求出反比例函數(shù)解析式，再由反比 例函數(shù)的解析式求出另一個交點的坐標，再將這兩點的坐標代 入一次函數(shù)的解析式中，解方程（組）即可 求交點坐標 將一次函數(shù)的解析式與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立成方程組 求解即可；對于正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，其均關于原點對稱， 只要知道一個交點的坐標，就可以求出其關于原點對稱的另一 個交點的坐標 求面積 當有一邊在坐標軸上時，通常將坐標軸上的邊作為底邊， 再利用點的坐標求得底邊上的高，然后利用面積公式求解； 當兩邊均不在坐標軸上時，一般可采用割補法將其轉化 為一邊在坐標軸上的兩個三角形面積的和或差來求解 此外，求面積時要充分利用“數(shù)形結合”的思想，即用“坐 標”求“線段”，用“線段”求“坐標” 比較兩個函數(shù)值的大小，求自變量的取值范圍 分區(qū)：過兩函數(shù)圖象的交點分別作 軸的平行線，連同 軸，將平面分為、四部分，如圖 觀察函數(shù)圖象找答案：根據(jù)函數(shù)圖象上方的值總比函數(shù) 圖象下方的值大，在各區(qū)域內(nèi)找相應的 的取值范圍 、區(qū)域內(nèi)： ，自變量的取值范圍為 或 ； 、區(qū)域內(nèi)： ，自變量的取值范圍為 或 考點三 反比例函數(shù)的實際應用 解決反比例函數(shù)的實際應用問題的關鍵是根據(jù)題意找出成 反比例的兩個量，進而建立數(shù)學模型，解決問題基本步驟如下： （）審題：弄清題意，分清條件和結論，收集數(shù)據(jù)，作出散點 圖，通過觀察圖象判斷問題所適用的函數(shù)模型 （）建模：將文字語言轉化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識建立 相應的數(shù)學模型 （）解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論 （）還原：將用數(shù)學知識和方法得出的結論還原成實際問題 的意義 方法一 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合 這類問題常有以下四種主要題型： （）利用 值與圖象的位置關系，綜合確定系數(shù)符號或圖象 位置解題策略：分 和 兩種情況考慮 （）已知直線與雙曲線的表達式求交點坐標解題策略：聯(lián) 立直線與雙曲線的方程組成方程組求解 （）用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達式解題策略： 待定系數(shù)法 （）應用函數(shù)圖象的性質(zhì)比較一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值 的大小解題策略：看圖象，以兩個圖象的交點為界，圖象在上方 第三章 函數(shù)與圖象 的函數(shù)值比圖象在下方的要大 例 （ 內(nèi)蒙古巴彥淖爾， 分）如圖，四邊形 為正方形，點 的坐標為（，），點 的坐標為（，），反比例 函數(shù) 的圖象經(jīng)過點 ，一次函數(shù) 的圖象經(jīng)過 ， 兩點 （）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的另一個交點 的坐標； （）若點 是反比例函數(shù)圖象上的一點， 的面積恰好 等于正方形 的面積，求 點的坐標 解析 （） 點 的坐標為 （，）， 點 的坐標為 （，）， 四邊形 為正方形， ， （，） 把 （，）代入 ，得 （） ， 反比例函數(shù)的解析式為 把 （，），（，）代入 ，得 ， ， 解得 ， 一次函數(shù)的解析式為 （）解方程組 ， ， 得 ， 或 ， ， 點的坐標為（，） （）設 ， ()， 的面積恰好等于正方形 的面積， ，解得 或 ， 點的坐標為 ， ()或 ， () 思路分析 （）先求出 點坐標，再運用待定系數(shù)法求解 即可（） 聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式，解之即可 （）設 ， ()，則 到 的距離為，則 ，根據(jù) 的面積等于正方形 的面積即可求出 ， 從而求出 的坐標 方法指導 求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，只需 把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解即可 變式訓練 如圖，函數(shù) 的圖象與函數(shù) （ ）的圖象交于 、 兩點，與 軸交于 點，已知 點坐標為（， ）， 點坐標為（，） （）求函數(shù) 的表達式和 點坐標； （）觀察圖象，比較當 時 與 的大小 解析 （）由直線過 、 兩點得 ， ， 解得 ， （ 分） 將 點坐標代入 得 ， ， （ 分） 設 點坐標為（，）， 是函數(shù) 與 圖象的交點， ，解得 或 ， 由題意知 ，此時 ， 點的坐標為（，） （ 分） （）由圖知： 當 或 時，； 當 或 時， ； 當 時，（ 分） 方法二 正確理解反比例函數(shù)的概念，會求 值和反 比例函數(shù)的解析式 求反比例函數(shù)的解析式的方法有兩個： （）根據(jù)圖象特征求出雙曲線上某個點的坐標，然后用待定 系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式 （）由 的幾何意義直接得反比例函數(shù)的解析式 例 如圖，若雙曲線 與邊長為 的等邊 的邊 、 分別相交于 、 兩點，且 ，則實數(shù) 的值為 解析 如圖，過點 作 軸于點 ，過點 作 軸于點 ， 設 ，則 ， 因為 ，所以 ， ， 所以 （， ），（， ） 因為點 、 都在雙曲線上，所以 （）， 解得 ，（舍去），所以 ， ， 年中考 年模擬 故 答案 評析 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解 答本題的關鍵是利用 的值相同建立方程，屬中等偏難題 變式訓練 （ 湖北鄂州鄂城，）如圖， 為菱形， 點 在 軸上，點 在直線 上，點 在 （）的圖象 上，若 菱形 ，則 的值為 答案 解析 直線 經(jīng)過點 ， 可設 （，）， ， ， 四邊形 是菱形， ， 菱形 的面積是 ， ， （負值舍去）， ，（，）， （ ，）， （ ，）在反比例函數(shù) 的圖象上， （ ） ，故答案為 方法三 反比例函數(shù)在幾何中的應用 反比例函數(shù)常和一次函數(shù)、三角形、四邊形等聯(lián)系起來綜合 考查，比如用點的坐標表示線段的長度，結合幾何圖形的特征列 方程，通過解方程求出點的坐標，進而求出函數(shù)解析式，或由點 的坐標求出線段的長度，進而探究幾何圖形的某些特征 例 如圖，已知反比例函數(shù) （， 是常數(shù)）的圖象 經(jīng)過點 （，），點（，），其中 ， 軸，垂足為 ， 軸，垂足為 ， 與 的交點為 （）寫出反比例函數(shù)解析式； （）求證：； （）若 與 的相似比為 ，求出 點的坐標及 所在直線的解析式 解析 （） 反比例函數(shù) 的圖象過（，）點， ， 反比例函數(shù)的解析式為 （ 分） （）證明： （，）（），（，）， ，（ 分） ， （，）在反比例函數(shù) 的圖象上， ， ， 又 ， ， （ 分） 又 ， （ 分） （） 與 的相似比為 ， ， ， 點坐標為 ， () （ 分） 設 所在直線的解析式為 ， ， ， ， ， 所在直線的解析式為 （ 分） 變式訓練 （ 甘