河北省定州市2018-2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析）.docVIP

定州市2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題5分，共60分）1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故選C.2.下列選項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)的是（ ）A. 與 B. 與C. 與 D. 與【答案】B【解析】【分析】逐一分析所給的選項(xiàng)是否符合題意即可.【詳解】逐一分析所給的選項(xiàng)：A.與，函數(shù)的解析式不一致，不是同一個(gè)函數(shù)；B.與的定義域和解析式一致，是同一個(gè)函數(shù)；C.的定義域?yàn)?，與的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域不一致，不是同一個(gè)函數(shù)；D.的定義域?yàn)?，與的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域不一致，不是同一個(gè)函數(shù).本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的定義及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.下表是某次測(cè)量中兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù),若將表示為關(guān)于的函數(shù),則最可能的函數(shù)模型是( )234567890.631.011.261.461.631.771.891.99A. 一次函數(shù)模型 B. 二次函數(shù)模型 C. 指數(shù)函數(shù)模型 D. 對(duì)數(shù)函數(shù)模型【答案】D【解析】對(duì)于，由于均勻增加，而值不是均勻遞增，不是一次函數(shù)模型；對(duì)于，由于該函數(shù)是單調(diào)遞增，不是二次函數(shù)模型；對(duì)于，過不是指數(shù)函數(shù)模型，故選D.4.已知函數(shù)，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：，故選D考點(diǎn)：分段函數(shù)求值5.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：由題可知，函數(shù)的圖像恒過點(diǎn)A（-2，-1），將A（-2，-1）代入到函數(shù)中，得到，因此，所以；考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算6.設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較a,b,c的大小即可.【詳解】由題意可知：，據(jù)此可得：.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較這就必須掌握一些特殊方法在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確7.設(shè)奇函數(shù)在(0，)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且，則不等式的解集為 ( )A. (，1(0,1 B. 1,01，)C. (，11，) D. 1,0)(0,1【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求解不等式即可.【詳解】由奇函數(shù)的定義可知不等式即，則，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)繪制函數(shù)的大致圖象如圖所示，原不等式等價(jià)于：或，結(jié)合函數(shù)圖象可得不等式的解集分別為：和，綜上可得，不等式的解集為(，11，).本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖像的應(yīng)用，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8.函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，所以y 當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，其底數(shù)0a1，所以函數(shù)遞減；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)圖象與指數(shù)函數(shù)yax(x0)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)遞增故選:D.點(diǎn)睛：識(shí)圖常用的方法(1)定性分析法：通過對(duì)問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題9.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如-3.5=-4，2.1=2，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?）A. 0,1 B. 0 C. -1,0 D. -1,0,1【答案】C【解析】【分析】由題意首先確定函數(shù)的值域，然后求解函數(shù)的值域即可.【詳解】函數(shù)的解析式，由于，故，結(jié)合函數(shù)的定義可得函數(shù)的值域?yàn)?1,0.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.10.已知函數(shù),滿足,則的值為( )A. B. 2 C. 7 D. 8【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)解析中中部分奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【詳解】令，則，由題意可知，據(jù)此可得，由于函數(shù)是奇函數(shù)，故，.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，函數(shù)值的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11.已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】當(dāng)x1x2時(shí)，0，f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，f（x）=，0a，故選：A12.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有 個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】畫出的圖象，如圖，設(shè)，原方程化為，由圖知，要使方程 個(gè)不等的實(shí)數(shù)根方程，只需在有上有兩個(gè)不等的根，則，解得，故選C.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決選擇題、填空題是發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象以及熟練掌握函數(shù)圖象的幾種變換，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡(jiǎn)，并迎刃而解.二、填空題（每題5分，共20分）13.設(shè)函數(shù)，則關(guān)于的不等式解集為_【答案】【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的解析式分類討論求解不等式的解集即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式即，不等式的解集為，據(jù)此可得；當(dāng)時(shí)，不等式即，不等式的解集為，據(jù)此可得；綜上可得，不等式的解集為.【點(diǎn)睛】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍14.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.【答案】【解析】【分析】由題意首先求得實(shí)數(shù)a的值，然后確定其單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】?jī)绾瘮?shù)為偶函數(shù)，則：，且為偶數(shù)，據(jù)此可得：，函數(shù)的定義域滿足：，解得：或，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)的定義，函數(shù)的奇偶性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15.設(shè)是兩個(gè)非空集合，定義運(yùn)算已知，則_.【答案】【解析】【分析】分別確定集合A,B，然后求解即可.【詳解】求解函數(shù)的定義域可得：,求解函數(shù)的值域可得，則，結(jié)合新定義的運(yùn)算可知： ，表示為區(qū)間形式即.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示及其應(yīng)用，新定義知識(shí)的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16.對(duì)于函數(shù)，設(shè)，若存在，使得，則稱互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】首先確定函數(shù)的零點(diǎn)，然后結(jié)合新定義的知識(shí)得到關(guān)于a的等式，分離參數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】很明顯函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，據(jù)此可知，結(jié)合“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”的定義可得，則，據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)根，整理可得：，很明顯函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)的值域?yàn)?，?jù)此可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.三、解答題（本大題共6小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知不等式的解集為，函數(shù)的值域?yàn)椋?）求；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)首先求得集合A和集合B，然后進(jìn)行集合的混合運(yùn)算即可；（2）由題意可知，據(jù)此分類討論和兩種情況確定實(shí)數(shù)a的取值范圍即可.【詳解】(1)由題意， .（2）由得，（i）當(dāng)時(shí)即時(shí)，解得符合題意，（ii）當(dāng)則.綜上所述.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）求關(guān)于的不等式的解集.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由題意考查與的關(guān)系即可確定函數(shù)的奇偶性；（2）首先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到關(guān)于x的不等式組，求解不等式組即可求得不等式的解集.【詳解】（1）為奇函數(shù).證明：所以為奇函數(shù)（2）由題在（-2,2）上為減函數(shù)因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以等價(jià)于 所以原不等式等價(jià)于所以原不等式的解集為【點(diǎn)睛】對(duì)于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)f(|x|)19.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，（1）試求的值；（2）若不等式在有解，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定a,b的值.（2）原問題等價(jià)于有解，設(shè)，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解的取值范圍即可.【詳解】（1）則，.（2）在有解等價(jià)于在設(shè)由得則，令則，又在上為增函數(shù)，所以所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)解析式的求解，換元的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)一切，都有，當(dāng)時(shí)，有(1) 判斷的單調(diào)性并加以證明；(2) 若，求在上的值域【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）在上為單調(diào)遞增函數(shù).利用增函數(shù)的定義證明結(jié)論即可.（2）由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的定義域確定函數(shù)的值域即可.【詳解】（1）在上為單調(diào)遞增函數(shù).證明如下：任取，則，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，而，所以，所以，所以，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)；（2）令代入得所以，令代入得所以，令代入得，又由（1）知在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù).由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一.抽象性較強(qiáng)，靈活性大,解抽象函數(shù)重要的一點(diǎn)要抓住函數(shù)中的某些性質(zhì)，通過局部性質(zhì)或圖象的局部特征，利用常規(guī)數(shù)學(xué)思想方法（如化歸法、數(shù)形結(jié)合法等），這樣就能突破“抽象”帶來的困難，做到胸有成竹.另外還要通過對(duì)題目的特征進(jìn)行觀察、分析、類比和聯(lián)想，尋找具體的函數(shù)模型，再由具體函數(shù)模型的圖象和性質(zhì)來指導(dǎo)我們解決抽象函數(shù)問題的方法.21.如圖在長(zhǎng)為10千米的河流的一側(cè)有一條觀光帶，觀光帶的前一部分為曲線段，設(shè)曲線段為函數(shù)（單位：千米）的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為；觀光帶的后一部分為線段（1）求函數(shù)為曲線段的函數(shù)的解析式；（2）若計(jì)劃在河流和觀光帶之間新建一個(gè)如圖所示的矩形綠化帶，綠化帶僅由線段構(gòu)成，其中點(diǎn)在線段上當(dāng)長(zhǎng)為多少時(shí)，綠化帶的總長(zhǎng)度最長(zhǎng)？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意首先求得a,b,c的值，然后分段確定函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)，由題意得到關(guān)于t的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定當(dāng)長(zhǎng)為多少時(shí)，綠化帶的總長(zhǎng)度最長(zhǎng)即可.【詳解】（1）因?yàn)榍€段OAB過點(diǎn)O，且最高點(diǎn)為，解得.所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹笠徊糠譃榫€段BC，當(dāng)時(shí)，綜上，.（2）設(shè)，則，由，得，所以點(diǎn)，所以，綠化帶的總長(zhǎng)度：.所以當(dāng)時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求函數(shù)值，要確定好自變量的取值范圍，再代入相應(yīng)的解析式求得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念.22.已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值1和最小值（1）求解析式；（2）對(duì)于定義在上的函數(shù)，若在其定義域內(nèi)，不等式恒成立，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解