2019年春七年級數(shù)學(xué)下冊 第四章 三角形 3 探究三角形全等的條件同步課件（新版）北師大版.ppt

知識點一判定三角形全等的條件邊邊邊,例1如圖4-3-1,AB=DC,AF=DE,BE=CF,B,E,F,C在同一直線上,試說明:ABFDCE.,圖4-3-1,分析要說明ABFDCE,需要得出這兩個三角形的三對對應(yīng)邊相等,題目提供的條件中“AB=DC,AF=DE”恰好是對應(yīng)邊相等,我們只需再得到BF=CE即可,這個可由“BE=CF”運用等式性質(zhì),兩邊同時加上EF獲得.,解析BE=CF,BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在ABF和DCE中,ABFDCE(SSS).,知識點二判定三角形全等的條件角邊角、角角邊,例2(2017四川宜賓中考)如圖4-3-2,已知點B、E、C、F在同一條直線上,AB=DE,A=D,ACDF.試說明:BE=CF.圖4-3-2,分析由ACDF可得ACB=F,又A=D,AB=DE,可以利用AAS得到ABCDEF,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得BC=EF,都減去EC即可得BE=CF.,解析ACDF,ACB=F,在ABC和DEF中,ABCDEF(AAS),BC=EF,BC-CE=EF-CE,即BE=CF.,知識點三判定三角形全等的條件邊角邊,例3(2017四川南充中考)如圖4-3-3,DEAB,CFAB,垂足分別是點E、F,DE=CF,AE=BF,試說明:ACBD.圖4-3-3,分析欲得出ACBD,只要得出A=B,從而只要得出DEBCFA即可.,解析DEAB,CFAB,DEB=AFC=90,AE=BF,AF=BE.在DEB和CFA中,DEBCFA(SAS),B=A,ACDB.,知識點四全等三角形判定方法的靈活運用判定兩個三角形全等時,如果給出的條件不全面,則需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的判定方法進行分析,先找出所缺的條件再說明全等.具體思路如下:,例4如圖4-3-4,在ABC中,點D是BC的中點,作射線AD,在線段AD及其延長線上分別取點E,F,連接CE,BF.添加一個條件,使得BDFCDE,并說明理由.你添加的條件是(不添加輔助線).,圖4-3-4,分析由中點知BD=CD,又由對頂角相等知BDF=CDE,故可添加一個條件用“SAS”或“AAS”或“ASA”判定兩三角形全等.,解析可添加的條件是DE=DF(或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB).理由:(以DE=DF為例)D是BC的中點,BD=CD.在BDF和CDE中,BDFCDE(SAS).,知識點五三角形的穩(wěn)定性只要三角形三條邊的長確定了,這個三角形的大小和形狀就確定了,這就是三角形的穩(wěn)定性.三角形的穩(wěn)定性在實際生活中應(yīng)用很廣,無論什么構(gòu)件,只要做成三角形形狀,放于任何地方都不變形.,例5木匠師傅用4根木條釘成一個四邊形木架,如圖4-3-5,要使這個木架不變形,他至少要再釘上根木條.()圖4-3-5A.0B.1C.2D.3,解析連接AC或BD,構(gòu)成三角形,三角形具有穩(wěn)定性.,答案B,題型一利用三角形全等說明兩直線的位置關(guān)系例1如圖4-3-6,ABC是等邊三角形,D是AB上一點,以CD為邊作等邊三角形CDE,使點E,A在直線CD的同側(cè),連接AE.試說明:AEBC.圖4-3-6,分析根據(jù)等邊三角形的三邊相等,三個角相等,推出AC=BC,CE=CD,B=BCA=ECD=60,進而得出ACE=BCD,從而根據(jù)“SAS”得出ACEBCD,可得EAC=B=60=BCA,進而得出AEBC.,解析因為ABC和DEC是等邊三角形,所以AC=BC,CE=CD,B=BCA=ECD=60.所以ACE=BCD.在ACE和BCD中,所以ACEBCD(SAS),所以EAC=B=60=BCA.所以AEBC.,點撥要得出兩直線平行,一般將問題轉(zhuǎn)化為兩角(同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角)的關(guān)系,可利用三角形全等來完成.,題型二利用三角形全等解決線段的和(差)問題例2如圖4-3-7,在ABC中,AB=AC,BAC=90,分別過點B,C向過點A的直線作垂線,垂足分別為點E,F.圖4-3-7(1)如圖4-3-7,過點A的直線與斜邊BC不相交時,試說明:EF=BE+CF;(2)如圖4-3-7,過點A的直線與斜邊BC相交時,其他條件不變.若BE=10,CF=3,求EF的長.,分析(1)首先根據(jù)已知條件得出ABECAF,然后利用對應(yīng)邊相等就可以得出EF=BE+CF.(2)與(1)同理可知ABECAF仍成立,再根據(jù)對應(yīng)邊相等求出EF的長.,解析(1)因為BEEF,CFEF,所以BEA=AFC=90.因為BAC=BEA=90,所以EAB+FAC=90,EBA+EAB=90.所以EBA=FAC.在ABE和CAF中,所以ABECAF(AAS).所以AE=CF,BE=AF.所以EF=BE+CF.,(2)與(1)同理可得到ABECAF.所以AE=CF=3,AF=BE=10.所以EF=AF-AE=10-3=7.,點撥解決線段的和(差)問題,通常把各線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上,可用全等三角形進行轉(zhuǎn)化.,易錯點錯用“SAS”例如圖4-3-8,DAC=CBD,CAB=DBA,AD=BC,試說明:ABDBAC.圖4-3-8,錯解在ABD和BAC中,因為所以ABDBAC(SAS).,錯因分析CAB和DBA并不是AD與AB和BC與AB的夾角.,正解因為DAC=CBD,CAB=DBA,所以DAC+CAB=CBD+DBA,即DAB=ABC.在ABD和BAC中,因為所以ABDBAC(SAS).,知識點一判定三角形全等的條件邊邊邊1.如圖4-3-1,在ABC和FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”來判定ABC和FED全等,下面的4個條件中:AE=FB;AB=FE;AE=BE;BF=BE,可利用的是()圖4-3-1,A.或B.或C.或D.或,答案A由題意可得,要用“SSS”進行ABC和FED全等的判定,只需AB=FE,若添加AE=FB,則可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故可以;顯然可以;若添加AE=BE或BF=BE,均不能得出AB=FE,故不可以,故選A.,2.如圖4-3-2,已知AD=CB,若利用“SSS”來判定ABCCDA,則添加的條件是.圖4-3-2,答案AB=CD,3.如圖4-3-3,AB=AE,AC=AD,BD=CE,試說明:ABCAED.圖4-3-3,解析因為BD=CE,所以BD-CD=CE-CD,即BC=ED.在ABC和AED中,所以ABCAED.,知識點二判定三角形全等的條件角邊角、角角邊4.如圖4-3-4,小紅同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是()A.帶去B.帶去C.帶去D.帶和去,圖4-3-4,答案C中有完整的B,C和BC邊,由“ASA”可配出完全一樣的玻璃.,5.已知在ABC和A1B1C1中,AB=A1B1,A=A1,要使ABCA1B1C1,還需添加一個條件,這個條件可以是.,答案C=C1或B=B1,6.如圖4-3-5,在ABC中,D是BC邊上的點(不與B,C重合),F,E分別是AD及其延長線上的點,CFBE.請你添加一個條件,使BDECDF.(不再添加其他線段,不再標(biāo)注或使用其他字母)圖4-3-5(1)你添加的條件是;(2)試說明:BDECDF.,解析(1)BD=DC(或點D是線段BC的中點或ED=FD或CF=BE).(2)以BD=DC為例進行說明:因為CFBE,所以EBD=FCD.又因為BD=DC,EDB=FDC,所以BDECDF.,知識點三判定三角形全等的條件邊角邊7.如圖4-3-6,ABCD,AB=CD,BE=DF,則圖中的全等三角形有()圖4-3-6A.3對B.4對C.5對D.6對,答案AABCD,ABD=CDB.由“SAS”可判定ABDCDB,ABECDF,進而可證得AEDCFB.,8.(2018廣東中山期末)如圖4-3-7,點E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,B=C.試說明:A=D.圖4-3-7,解析BE=FC,BE+EF=FC+EF,即BF=EC,在ABF和DCE中,ABFDCE(SAS),A=D.,知識點四全等三角形判定方法的靈活運用9.已知ABC的六個元素,則圖4-3-8中的甲、乙、丙三個三角形和圖4-3-8中的ABC全等的是()圖4-3-8A.甲、乙B.丙C.乙、丙D.乙,答案C由SAS可判定乙三角形與ABC全等,由AAS可判定丙三角形與ABC全等.,10.(2016江蘇連云港灌云西片月考)如圖4-3-9,已知:點B、F、C、E在一條直線上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知條件得出ABED?如果能,請說明理由;如果不能,請從下列四個條件中選擇一個合適的條件,添加到已知條件中,使ABED成立,并說明理由.供選擇的四個條件:AB=DE;A=D=90;ACB=DFE;A=D.,圖4-3-9,解析不能;選擇條件AB=DE(還可選擇條件或,但不能選擇條件).理由:FB=CE,FB+FC=CE+FC,即BC=EF,在ABC和DEF中,ABCDEF(SSS),B=E,ABED.,知識點五三角形的穩(wěn)定性11.下面圖形中具有穩(wěn)定性的是(),答案A三角形具有穩(wěn)定性.故選A.,12.如圖4-3-10是一個由四根木條釘成的框架,拉動其中兩根木條后,它的形狀將會改變,若想固定其形狀,下列有四種加固木條的方法,不能固定形狀的是釘在兩點上的木條.()圖4-3-10A.A,FB.B,EC.C,AD.E,F,答案D,1.如圖,已知AB=AC,BD=DC,那么下列結(jié)論中不正確的是()A.ABDACDB.ADB=90C.BAD是B的一半D.AD平分BAC,答案C由“SSS”可判定ABDACD,ADB=ADC=90,BAD=CAD.A、B、D選項均正確.,2.如圖,在ABC和ADE中,AB=AD;AC=AE;BC=DE;C=E;B=ADE.下列四個選項分別以其中三個為條件,剩下兩個為結(jié)論,則錯誤的是()A.若成立,則成立B.若成立,則成立C.若成立,則成立D.若成立,則成立,答案DSSA不能判定三角形全等.,3.教室的門松動了,老師用一根木條斜著釘上去,門就不松動了,這是什么道理?,解析因為教室的門是四邊形,四邊形具有不穩(wěn)定性,易松動.斜釘一根木條就變成了三角形,而三角形具有穩(wěn)定性,所以門就不再松動了.,4.如圖,AB=CD,ABCD,CE=AF.試說明:E=F.,解析CE=AF,AE=CF.ABCD,DCA=CAB.在ABE與CDF中,ABECDF(SAS),E=F.,1.(2015湖北宜昌中考)兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”,如圖4-3-11,四邊形ABCD是一個箏形,其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時,得到如下結(jié)論:ACBD;AO=CO=AC;ABDCBD.其中正確的結(jié)論有()圖4-3-11A.0個B.1個C.2個D.3個,答案D在ABD與CBD中,ABDCBD(SSS),ADB=CDB,在AOD與COD中,AODCOD(SAS),AOD=COD=90,AO=OC,ACDB,AO=CO=AC.綜上,正確,故選D.,2.(2015四川宜賓中考)如圖4-3-12,AC=DC,BC=EC,ACD=BCE.試說明:A=D.圖4-3-12,解析ACD=BCE,ACD+ACE=BCE+ACE,即DCE=ACB.在ACB和DCE中,ACBDCE,A=D.,3.如圖4-3-13,已知A,D,E三點共線,C,B,F三點共線,AB=CD,AD=CB,DE=BF,那么BE與DF之間有什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由.圖4-3-13,解析BE=DF.理由如下:如圖,連接BD.在ABD和CDB中,所以ABDCDB(SSS).所以A=C.因為AD=CB,DE=BF,所以AD+DE=CB+BF,即AE=CF,在ABE和CDF中,所以ABECDF(SAS),所以BE=DF.,1.(2016河北唐山樂亭期中)如圖,在長方形ABCD中,AB=4,AD=6.延長BC到點E,使CE=2,連接DE,動點P從點B出發(fā),以每秒2個單位的速度沿BCCDDA向終點A運動,設(shè)點P的運動時間為t秒,當(dāng)t的值為時,ABP和DCE全等.()A.1B.1或3C.1或7D.3或7,答案CAB=CD,DCE=90,若ABP=DCE=90,BP=CE=2,則根據(jù)SAS可證得ABPDCE,此時BP=2t=2,所以t=1;若BAP=DCE=90,AP=CE=2,則根據(jù)SAS可證得BAPDCE,此時AP=16-2t=2,解得t=7.綜上,當(dāng)t的值為1或7時,ABP和DCE全等.故選C.,2.如圖,已知點D是ABC的邊AB上一點,ABFC,DF交AC于點E,DE=EF.試說明:ADECFE.,解析解法一:ABFC,F=ADE.在ADE和CFE中,有ADECFE(ASA).解法二:ABFC,A=ECF,在ADE和CFE中,有ADECFE(AAS).,3.如圖,在ABC與ABD中,BC=BD,點E為BC的中點,點F為BD的中點,連接AE,AF,AE=AF.試說明:C=D.,解析點E、點F分別為BC、BD的中點,BE=BC,BF=BD,又BC=BD,BE=BF.在ABE和ABF中,ABEABF(SSS),ABE=ABF(全等三角形的對應(yīng)角相等).在ABC和ABD中,ABCABD(SAS),C=D(全等三角形的對應(yīng)角相等).,一、選擇題1.(2018甘肅臨澤二中月考,6,)如圖4-3-14所示,在下列條件中,不能判斷ABDBAC的條件是()圖4-3-14A.D=C,BAD=ABCB.BAD=ABC,ABD=BACC.BD=AC,BAD=ABCD.AD=BC,BD=AC,答案C對于C,BAD與ABC不是BD和AB與AC和AB的夾角,所以不能判斷ABDBAC.,二、填空題2.(2018廣東佛山順德江義初中期中,11,)如圖4-3-15所示,建高樓常需要用塔吊來吊建筑材料,而塔吊的上部是三角形結(jié)構(gòu),這是因為三角形具有.圖4-3-15,答案穩(wěn)定性,3.(2018江蘇無錫宜興月考,14,)如圖4-3-16,DAB=EAC=65,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于點O,AB和CD相交于P,AC和BE相交于F,則DOE的度數(shù)是.圖4-3-16,答案115,解析DAB=EAC=65,DAB+BAC=BAC+EAC,DAC=EAB.在ADC和ABE中,ADCABE(SAS),E=ACD,又AFE=OFC,EAF=COF=65,DOE=180-COF=115.,三、解答題4.(2018廣東河源正德中學(xué)段考,22,)如圖4-3-17,已知AB=AC,B=C,試說明:BD=CE.圖4-3-17,解析在ABD和ACE中,B=C,A=A,AB=AC,ABDACE(ASA),BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).,5.(2017陜西西安七十中月考,21,)如圖4-3-18,AB=AC,AD=AE,BE=CD,試說明:ABDACE.圖4-3-18,解析BE=CD,BE+ED=CD+ED,即BD=CE.又AB=AC,AD=AE,ABDACE(SSS).,1.(2018四川成都成華月考,11,)如圖,A、B、C、D四點在一條直線上,AB=CD,ECAD于C,FBAD于B,若要使ACEDBF,則還需補充條件.(寫出一種即可),答案A=D(或E=F或CE=BF或AE=DF等),解析A、B、C、D四點在一條直線上,AB=CD,AC=BD.又ECAD于C,FBAD于B,ACE=DBF=90,當(dāng)根據(jù)ASA判定ACEDBF時,需要添加A=D.當(dāng)根據(jù)AAS判定ACEDBF時,需要添加E=F.當(dāng)根據(jù)SAS判定ACEDBF時,需要添加CE=BF.當(dāng)根據(jù)HL判定RtACERtDBF時,需要添加AE=DF.故答案是A=D(或E=F或CE=BF或AE=DF等).,2.(2018江蘇揚州廣陵月考,15,)如圖,RtABC中,BAC=90,AB=AC,分別過點B、C作過點A的直線的垂線BD、CE,垂足分別為D、E,若BD=3,CE=2,則DE=.,答案5,解析BAC=90,BAD+CAE=90,BDDE,BDA=90,BAD+DBA=90,DBA=CAE.CEDE,E=90.在BDA和AEC中,BDAAEC(AAS),DA=CE=2,DB=AE=3,ED=5.,3.(2018江蘇泰州高港月考,20,)長方形具有四個內(nèi)角均為直角,并且兩組對邊分別平行且相等的特征.如圖,把一張長方形紙片ABCD折疊,使點C與點A重合,折痕為EF.(1)如果DEF=110,求BAF的度數(shù);(2)判斷ABF和AGE是否全等,請說明理由.,解析(1)四邊形ABCD是長方形,ADBC,AB=CD,CFE=180-DEF=70,由折疊知AFE=CFE=70,AFB=180-AFE-CFE=40,B=90,BAF=90-AFB=50.(2)ABFAGE.理由如下:由折疊知AG=CD,G=D=90,DEF=GEF.B=G.AB=CD,AB=AG.,AEF=180-DEF,AEG=GEF-AEF=2DEF-180,又AFB=180-2CFE=180-2(180-DEF)=2DEF-180,AFB=AEG.在ABF和AGE中,ABFAGE(AAS).,一、選擇題1.(2018河北中考,1,)下列圖形具有穩(wěn)定性的是(),答案A三角形具有穩(wěn)定性.故選A.,2.(2018江蘇南京中考,5,)如圖4-3-19,ABCD,且AB=CD,E、F是AD上兩點,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為()圖4-3-19A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c,答案DABCD,CEAD,BFAD,AFB=CED=90,A+D=90,C+D=90,A=C,又AB=CD,ABFCDE,AF=CE=a,BF=DE=b.EF=c,AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故選D.,3.(2018貴州安順中考,5,)如圖4-3-20,點D,E分別在線段AB,AC上,CD與BE相交于O點,已知AB=AC,現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定ABEACD()圖4-3-20A.B=CB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD,答案D已知AB=AC,A為公共角,選項A,添加B=C,利用ASA即可說明ABEACD;選項B,添加AD=AE,利用SAS即可說明ABEACD;選項C,添加BD=CE,易得AD=AE,然后利用SAS即可說明ABEACD;選項D,添加BE=CD,因為SSA不能判定兩三角形全等.故選D.,二、解答題4.(2018四川瀘州中考,18,)如圖4-3-21,EF=BC,DF=AC,DA=EB.試說明:F=C.圖4-3-21,解析DA=BE,DE=AB,在ABC和DEF中,ABCDEF(SSS),C=F.,5.(2018陜西中考,18,)如圖4-3-22,ABCD,E、F分別為AB、CD上的點,且ECBF,連接AD,分別與EC、BF相交于點G、H.若AB=CD,試說明:AG=DH.圖4-3-22,解析ABCD,A=D.ECBF,BHA=CGD.在ABH和DCG中,ABHDCG(AAS),AH=DG,AH=AG+GH,DG=DH+GH,AG=DH.,1.(2018山東菏澤中考,17,)如圖,ABCD,AB=CD,CE=BF.請寫出DF與AE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.,解析DF=AE.理由:ABCD,C=B.CE=BF,CE-EF=BF-FE,CF=BE.又CD=AB,DCFABE(SAS),DF=AE.,2.(2018四川南充中考,18,)如圖,已知AB=AD,AC=AE,BAE=DAC.試說明:C=E.,解析BAE=DAC,BAE-CAE=DAC-CAE,即BAC=DAE,在ABC和ADE中,ABCADE(SAS),C=E.,3.(2018浙江溫州中考,18節(jié)選,)如圖,在四邊形ABCD中,E是AB的中點,ADEC,AED=B.試說明:AEDEBC.,解析ADEC,A=BEC.E是AB的中點,AE=EB.AED=B,AEDEBC(ASA).,1.如圖4-3-23,已知AB=AC,D為BAC的平分線上一點.連接BD,CD,全等三角形的對數(shù)是;如圖4-3-23,已知AB=AC,D,E為BAC的平分線上的兩點.連接BD,CD,BE,CE,全等三角形的對數(shù)是多少?如圖4-3-23,已知AB=AC,D,E,F為BAC的平分線上的三點,連接BD,CD,BE,CE,BF,CF,全等三角形的對數(shù)是多少?依此規(guī)律,第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是多少?,圖4-3-23,解析題圖中,AD是BAC的平分線,BAD=CAD.在ABD與ACD中,ABDACD(SAS).題圖中有1對全等三角形.同理,題圖中,ABEACE,BE=EC,ABDACD,BD=CD.在BDE和CDE中,BDECDE(SSS),題圖中有3對全等三角形.同理,題圖中有6對全等三角形.由此發(fā)現(xiàn):第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是.,2.(2018山西期中)問題情境:如圖4-3-24,在直角三角形ABC中,BAC=90,ADBC于點D,可知:BAD=C;特例探究:如圖4-3-24,MAN=90,射線AE在這個角的內(nèi)部,點B、C分別在MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CFAE于點F,BDAE于點D.試說明:ABDCAF;歸納證明:如圖4-3-24,點B、C分別在MAN的邊AM、AN上,點E,F在MAN內(nèi)部的射線AD上,1、2分別是ABE、CAF的外角.已知AB=AC,1=2=BAC.試說明:ABECAF;拓展應(yīng)用:如圖4-3-24,在ABC中,AB=AC,ABBC.點D在邊BC上,CD=2BD,點E、F在線段AD上,1=2=BAC.若ABC的面積為15,則ACF與BDE的面積之和為.,圖4-3-24,解析特例探究:理由:CFAE,BDAE,BDA=AFC=90,ABD+BAD=90,又MAN=90,BAD+CAF=90,ABD=CAF.在ABD和CAF中,ABDCAF(AAS).歸納證明:,理由:1=2=BAC,1=BAE+ABE