[推薦學(xué)習(xí)]2018-2019學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊-第一章-特殊平行四邊形全章復(fù)習(xí)與鞏固知識講解及例題.doc

生活的色彩就是學(xué)習(xí)特殊平行四邊形全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它們之間的關(guān)系.2. 探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法, 并能運(yùn)用這些知識進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行四邊形1定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2性質(zhì)：（1）對邊平行且相等； （2）對角相等；鄰角互補(bǔ)； （3）對角線互相平分； （4）中心對稱圖形.3面積：4判定：邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形； （2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； （3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形； （5）任意兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形 邊與角：（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形； 對角線：（7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點(diǎn)詮釋：平行線的性質(zhì)：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.要點(diǎn)二、菱形1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)； （2）四條邊相等； （3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角； （4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：4判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)三、矩形1定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對角線互相平分且相等； （4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：判定：（1) 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形. （2）對角線相等的平行四邊形是矩形. （3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)詮釋：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半要點(diǎn)四、正方形1. 定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2性質(zhì)：（1）對邊平行； （2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；（5) 兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：邊長邊長對角線對角線4判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對角線相等的菱形是正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.【典型例題】類型一、平行四邊形1、已知，ABC中，BAC=45，以AB為腰以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在ABC外部作等腰直角三角形ABD，以AC為斜邊在ABC外部作等腰直角三角形ACE，連結(jié)BE、DC，兩條線段相交于點(diǎn)F，試猜想EFC的度數(shù)并說明理由【答案與解析】解法一：作DH/BE交EA延長線于H，連接CH 易證四邊形BEHD為平行四邊形 解法二：作CG/BE交AB的延長線于G，連接DG， ABC與ACE都是等腰直角三角形， EAB=CAE+CAB=90. 又AEC=90， ABCE.四邊形BECG為平行四邊形， CE=GB，又AE=EC，GB=AE. 在BGD與AEB中， DB=AB，DBG=BAE=90，GB=AE， GDB=ABE，BE=DG. 平行四邊形BGCE,ABE=AGC，BE=GC, GDB =AGC, GC= DG.DGC=DGA+AGC=DGA+GDB=90.于是是等腰直角三角形， 所以.【總結(jié)升華】通過做平行線，構(gòu)造平行四邊形，再證明全等，使問題得解類型二、菱形2、如圖，平行四邊形ABCD中，ABAC，AB1，BC對角線AC，BD 相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn).（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90時(shí)，AOF=90，由ABAC，可得ABEF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形；（2）證明AOFCOE即可；（3）當(dāng)EFBD時(shí)，四邊形BEDF為菱形，又由ABAC，AB=1，BC=，易求得OA=AB，即可得AOB=45，求得AOF=45，則可得此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的最小度數(shù)為45【答案與解析】（1）證明：當(dāng)AOF90時(shí)，ABEF，又AFBE，四邊形ABEF為平行四邊形 （2）證明：四邊形ABCD為平行四邊形，AOCO，F(xiàn)AOECO，AOFCOE.AOFCOEAFCE（3）四邊形BEDF可以是菱形 理由：如圖，連接BF，DE， 由（2）知AOFCOE，得OEOF，EF與BD互相平分當(dāng)EFBD時(shí)，四邊形BEDF為菱形 在RtABC中，OA1AB，又ABAC，AOB45， AOF45，AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45時(shí)，四邊形BEDF為菱形【總結(jié)升華】要證明四邊形是菱形，先證明這個(gè)四邊形是平行四邊形，再利用對角線互相垂直的特征證明該平行四邊形是菱形.舉一反三：【變式】已知:如圖所示，BD是ABC的角平分線，EF是BD的垂直平分線，且交AB于E，交BC于點(diǎn)F.求證:四邊形BFDE是菱形. 【答案】證明：EF是BD的垂直平分線，EB=ED，EBD=EDB.又EBD= FBD，F(xiàn)BD=EDB，EDBF. 同理，DFBE， 四邊形BFDE是平行四邊形.又EB=ED，四邊形BFDE是菱形.3、在口ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=2AB，點(diǎn)E、F分別是OA、BC的中點(diǎn)連接BE、EF（1）求證：EF=BF；（2）在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點(diǎn)，且BG：GD=3：1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結(jié)論【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出BD=2BO，推出AB=BO，根據(jù)三線合一定理得出BEAC，在BEC中，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出EF=BF=CF即可；（2）根據(jù)矩形性質(zhì)和已知求出G為OD中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線求出EGAD，EG=BC，求出EGBC，EG=BC，求出BF=EG，BFEG，EG=GF，得出平行四邊形，根據(jù)菱形的判定推出即可【答案與解析】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，BD=2BO，BD=2AB，AB=BO，E為OA中點(diǎn)，BEAC，BEC=90，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，EF=BF=CF，即EF=BF；（2）四邊形EBFG是菱形，證明：連接CG，四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，四邊形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD，ADBC，BD=2BO=2OD，BD=2AB=2CD，OC=CD，BG：GD=3：1，OB=OD，G為OD中點(diǎn)，CGOD（三線合一定理），即CGB=90，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，GF=BC=AD，E為OA中點(diǎn)，G為OD中點(diǎn)，EGAD，EG=AD，EGBC，EG=BC，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BF=BC，EG=GF，即EGBF，EG=BF，四邊形EBFG是平行四邊形，EG=GF，平行四邊形EBFG是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形性質(zhì)，菱形性質(zhì)，三角形的中位線，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，注意：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半類型三、矩形4、如圖1，已知ABCD，AB=CD，A=D（1）求證：四邊形ABCD為矩形；（2）E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，DFC=2BCE如圖2，若F為AD中點(diǎn)，DF=1.6，求CF的長度：如圖2，若CE=4，CF=5，則AF+BC= ，AF= 【答案與解析】（1）證明：ABCD，AB=CD，四邊形ABCD為平行四邊形，A=D，A+D=180，A=90，四邊形ABCD為矩形，（2）解：延長DA，CE交于點(diǎn)G，四邊形ABCD是矩形，DAB=B=90，ADBC，GAE=90，G=ECB，E是AB邊的中點(diǎn)，AE=BE，在AGE和BCE中，AGEBCE（AAS），AG=BC，DF=1.6，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，BC=3.2，AG=BC=3.2，F(xiàn)G=3.2+1.6=4.8，ADBC，DFC=BCF，DFC=2BCE，BCE=FCE，ADBC，BCE=G，CF=FG=4.8；若CE=4，CF=5，由得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；故答案為：5；設(shè)DF=x，根據(jù)勾股定理得：CD2=CF2DF2=CG2DG2，即52x2=82（5+x）2，解得：x=，DG=5+=，AD=DG=，AF=ADDF=；故答案為：【總結(jié)升華】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理的運(yùn)用；本題有一定難度.舉一反三：【變式】如圖，O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，把AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFG（1）四邊形DEFG是什么四邊形，請說明理由；（2）若四邊形DEFG是矩形，點(diǎn)0所在位置應(yīng)滿足什么條件？說明理由【答案】解：（1）四邊形DEFG是平行四邊形理由如下：D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，DG是ABC的中位線；DGBC，且DGBC；同理可證：EFBC，且EFBC；DGEF，且DGEF；故四邊形DEFG是平行四邊形；（2）O在BC邊的高上且A和垂足除外理由如下：連接OA；同（1）可證：DEOAFG；四邊形DEFG是矩形，DGDE；OABC；即O點(diǎn)在BC邊的高上且A和垂足除外5、在RtABC中，ACB=90，BC=4過點(diǎn)A作AEAB且AB=AE，過點(diǎn)E分別作EFAC，EDBC，分別交AC和BC的延長線與點(diǎn)F，D若FC=5，求四邊形ABDE的周長【思路點(diǎn)撥】首先證明ABCEAF，即可得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的長，進(jìn)而得出四邊形EFCD是矩形，求出四邊形ABDE的周長即可【答案與解析】解：ACB=90，AEAB，1+B=1+2=90B=2EFAC，4=5=903=4在ABC和EAF中，ABCEAF（AAS）BC=AF，AC=EFBC=4，AF=4FC=5，AC=EF=9在RtABC中，AB=.AE=EDBC，7=6=5=90四邊形EFCD是矩形CD=EF=9，ED=FC=5四邊形ABDE的周長=AB+BD+DE+EA=+4+9+5+=18+2【總結(jié)升華】此題主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出AC=EF=9是解題關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖，平行四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線AC移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線CA移動(dòng)（1）經(jīng)過幾秒，以P，Q，B，D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？（2）若BCAC垂足為C，求（1）中矩形邊BQ的長【答案】解：（1）當(dāng)時(shí)間t=7秒時(shí)，四邊形BPDQ為矩形理由如下：當(dāng)t=7秒時(shí)，PA=QC=7，AC=6，CP=AQ=1PQ=BD=8四邊形ABCD為平行四邊形，BD=8AO=CO=3BO=DO=4OQ=OP=4四邊形BPDQ為平形四邊形，PQ=BD=8四邊形BPDQ為矩形，（2）由（1）得BO=4，CQ=7，BCACBCA=90BC2+CQ2=BQ2BQ=類型四、正方形6、如圖，D是線段AB的中點(diǎn)，C是線段AB的垂直平分線上的一點(diǎn)，DEAC于點(diǎn)E，DFBC于點(diǎn)F（1）求證：DE=DF；（2）當(dāng)CD與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形CEDF為正方形？請說明理由【思路點(diǎn)撥】（1）由CD垂直平分線AB，可得AC=CB，得出ACD=BCD，再由EDC=FDC=90，可證得ACDBCD，得出CE=CF即可；（2）先證明四邊形CEDF是矩形，再證出因此AB=2CD時(shí)，四邊形CEDF為正方形【答案與解析】（1）證明：CD垂直平分線AB，AC=CBABC是等腰三角形，CDAB，ACD=BCDDEAC，DFBC，DEC=DFC=90EDC=FDC，在DEC與DFC中，DECDFC（ASA），DE=DF；（2）解：當(dāng)AB=2CD時(shí)，四邊形CEDF為正方形理由如下：AD=BD，AB=2CD，AD=BD=CDACD=45，DCB=45，ACB=ACD+BCD=90，四邊形DECF是矩形又DE=DF，四邊形CEDF是正方形【總結(jié)升華】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定、矩形的判定等知識點(diǎn)；熟練掌握正方形的判定，證明三角形全等是解決問題（1）的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共頂點(diǎn)C，且B、C、E在一直線上，連接BG、DE（1）請你猜測BG、DE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？并說明理由（2）若正方形CEFG