關(guān)于函數(shù)恒成立問題的解題.doc

_恒成立問題二、恒成立問題解決的基本策略A、兩個基本思想解決“恒成立問題”思路1：在上恒成立；思路2：在上恒成立如何在區(qū)間上求函數(shù)的最大值或者最小值問題，可以通過題目的實際情況，采取合理有效的方法進行求解，通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)，等等方法求函數(shù)的最值此類問題涉及的知識比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，希望大家多多注意積累C、分清基本類型，運用相關(guān)基本知識，把握基本的解題策略1、一次函數(shù)型若原題可化為一次函數(shù)型，則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識求解，十分簡捷給定一次函數(shù)，若在內(nèi)恒有，則等價于：；同理，若在內(nèi)恒有，則等價于：例3對于滿足的所有實數(shù)，求使不等式恒成立的的取值范圍解：原不等式轉(zhuǎn)化為：在時恒成立，設(shè)，則在上恒大于0，故有：即，解得：；或，即(,1)(3,+)2、二次函數(shù)型例4若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍解：由題意可知，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)且時，；此時，適合；當(dāng)時，有即有；綜上所述，的定義域為時，例5已知函數(shù)，在上恒成立，求的取值范圍分析：的函數(shù)圖像都在軸及其上方，如右圖所示：略解：，變式1：若時，恒成立，求的取值范圍分析：要使時，恒成立，只需的最小值即可解：，令在上的最小值為；當(dāng)，即時，；，而，不存在；當(dāng)，即時，；又，；當(dāng)，即時，；又，；綜上所述，變式2：若時，恒成立，求的取值范圍22法一：分析：題目中要證明在上恒成立，若把2移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間時恒大于等于0的問題略解：，即在上成立；，；3、變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解運用不等式的相關(guān)知識不難推出如下結(jié)論：若對于取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)都有：恒成立，則；若對于取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)，都有：恒成立，則例6已知三個不等式：，要使同時滿足的所有的值滿足，求的取值范圍略解：由得，要使同時滿足的所有的值滿足，即不等式在上恒成立，即在上恒成立，又在上大于9；所以：例7函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，若對所有的都成立，求的取值范圍解：據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，；又因為在是單調(diào)遞增，所以；對所有的都成立；因此，只需大于或等于在上的最大值1，；又對所有的都成立，即關(guān)于的一次函數(shù)在上大于或等于0恒成立，即：利用變量分離解決恒成立問題，主要是要把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題4、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，則對一切定義域中的：（）恒成立；若函數(shù)的周期為，則對一切定義域中的：恒成立5、直接根據(jù)圖像判斷若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖像，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果尤其對于填空題這種方法更顯方便、快捷例8對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍分析：轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，畫出此函數(shù)的圖像即可求得的取值范圍解：令；在直角坐標(biāo)系中畫出圖像如圖所示，由圖象可看出，要使對任意實數(shù)，不等式恒成立，只需；故實數(shù)的取值范圍是本題中若將“”改為“”；同樣由圖象可得利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍三、在恒成立問題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問題，是一種熱點題型，介紹一些基本的解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué)會把問題分類、歸類，熟練基本方法（一）換元引參，顯露問題實質(zhì)例9對于所有實數(shù)，不等式：恒成立，求的取值范圍解：因為的值隨著參數(shù)的變化而變化，若設(shè)，則上述問題實質(zhì)是“當(dāng)t為何值時，不等式恒成立”；這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價于：求解關(guān)于的不等式組：；解得，即有，易得（二）分離參數(shù)，化歸值域問題例10若對于任意角總有成立，求的范圍解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價變形為恒成立故必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值由；即時，有最小值為0，故（三）變更主元，簡化解題過程例11若對于，方程都有實根，求實根的范圍解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)的根，再由的范圍來確定根的范圍，但這樣會遇到很多麻煩，若以為主元，則，由原方程知，得；又，即；解之得或（四）圖象解題，用好數(shù)形結(jié)合例12設(shè)，若不等式恒成立，求的取值范圍解：若設(shè)，則表示為上半圓設(shè)，為過原點，為斜率的直線在同一坐標(biāo)系內(nèi) 作出函數(shù)圖像；依題意，半圓恒在直線上方時，只有時成立，即的取值范圍為例13當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍解：設(shè)，則的圖像為右圖是拋物線；要使對一切，恒成立，顯然，并且必須也只需當(dāng)時，的函數(shù)值大于等于的函數(shù)值；故，（五）合理聯(lián)想，運用平幾性質(zhì)例14不論為何實數(shù)，直線與曲線恒有交點，求的范圍解：，C（a，0），當(dāng)時，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點A（0，1）必在圓上或圓內(nèi)，即點A（0，1）到圓心距離不大于半徑，則有，得評析：因為題設(shè)中有兩個參數(shù)，用解析幾何中有交點的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來解題是比較困難的。若考慮到直線過定點A（0，1），曲線為圓（六）分類討論，避免重復(fù)遺漏例15當(dāng)時，不等式恒成立，求的范圍解：使用的條件，必須將分離出來，此時應(yīng)對進行討論當(dāng)時，要使不等式恒成立，只要，解得；當(dāng)時，要使不等式恒成立，只要，解得；當(dāng)時，要使恒成立，只有；綜上得解法2：可設(shè)，用一次函數(shù)知識來解，則較為簡單（七）構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想例16設(shè)，其中為實數(shù)，為任意給定的自然數(shù)，且，如果當(dāng)時有意義，求的取值范圍解：本題即為對于，有恒成立這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手；若考慮到求的范圍，可先將分離出來，得，對于恒成立構(gòu)造函數(shù)：，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)；于是有的最大值為：，從而可得四、鞏固練習(xí)1對任意的實數(shù)，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍2已知函數(shù)，對任意都有意義，求實數(shù)的取值范圍3已知是定義在的單調(diào)減函數(shù)，且對一切實數(shù)成立，求實數(shù)的取值范圍4當(dāng)、滿足什么條件時，關(guān)于的不等式對一切實數(shù)恒成立？5已知，在與時，都取得極值；（1）求、的值；（2）若都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍答案：（1），；（2）或6定義在定義域內(nèi)的函數(shù)，若任意的，都有，則稱函數(shù)為“接近函數(shù)”，否則稱“非接近函數(shù)”，函數(shù),是否為“接近函數(shù)”？如