（福建專用）2019年中考數(shù)學復習 第六章 空間與圖形 6.2 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt

第五章空間與圖形6.2圖形的相似,中考數(shù)學(福建專用),A組2014-2018年福建中考題組,五年中考,1.(2015寧德,8,4分)如圖,已知直線abc,直線m,n與a,b,c分別交于點A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,則DF的值是()A.4B.4.5C.5D.5.5,答案B直線abc,AC=4,CE=6,BD=3,=,即=,解得DF=4.5.故選B.,2.(2016三明,13,4分)如圖,在平面直角坐標系中,已知A(1,0),D(3,0),ABC與DEF位似,原點O是位似中心.若AB=1.5,則DE=.,答案4.5,解析ABC與DEF是位似圖形,它們的位似中心恰好為原點,已知A點坐標為(1,0),D點坐標為(3,0),AO=1,DO=3,=,DE=3AB=4.5.,思路分析根據(jù)點的坐標得出AO,DO的長,進而得出=,求出DE的長即可.,點評此題主要考查了位似圖形的性質,根據(jù)已知點的坐標得出=是解題關鍵.,3.(2016廈門,13,4分)如圖,在ABC中,DEBC,且AD=2,DB=3,則=.,答案,解析DEBC,ADEABC,=,又AD=2,DB=3,AB=5,=.,4.(2015漳州,14,4分)如圖,ADBECF,直線l1,l2與這三條平行線分別交于點A,B,C和D,E,F,=,DE=6,則EF=.,答案9,解析ADBECF,=,即=,EF=9.,思路分析根據(jù)平行線分線段成比例定理得到=,即=,然后根據(jù)比例性質求EF.,5.(2018福建,20,8分)求證:相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比.要求:根據(jù)給出的ABC及線段AB,A(A=A),以線段AB為一邊,在給出的圖形上用尺規(guī)作出ABC,使得ABCABC,不寫作法,保留作圖痕跡;在已有的圖形上畫出一組對應中線,并據(jù)此寫出已知,求證和證明過程.,解析如圖,ABC即為所求作的三角形.已知:如圖,ABCABC,=k,AD=DB,AD=DB.求證:=k.證明:AD=DB,AD=DB,AD=AB,AD=AB,=,又=,=,ABCABC,A=A,CADCAD,=k.,解后反思本題考查尺規(guī)作圖、相似三角形的性質與判定等基礎知識,考查推理能力、化歸與轉化思想.,6.(2016南平,21,8分)如圖,RtABC中,C=90,AB=14,AC=7,D是BC上一點,BD=8,DEAB,垂足為E,求線段DE的長.,解析DEAB,BED=90,BED=C,又B=B,BEDBCA,=,DE=4.,7.(2016福州,25,12分)如圖,在ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC邊上截取AD=BC,連接BD.(1)通過計算,判斷AD2與ACCD的大小關系;(2)求ABD的度數(shù).,解析(1)AD=BC=,AD2=.AC=1,CD=1-=,AD2=ACCD.(2)AD2=ACCD,AD=BC,BC2=ACCD,即=.又C=C,ABCBDC.=.又AB=AC,BD=BC=AD.A=ABD,ABC=C=BDC.,設A=ABD=x,則BDC=A+ABD=2x,ABC=C=BDC=2x,A+ABC+C=x+2x+2x=180.解得x=36.ABD=36.,思路分析(1)直接計算即可得結論;(2)由AD2=ACCD,得到BC2=ACCD,即=,從而得到ABCBDC,故有=,從而得到BD=BC=AD,故A=ABD,ABC=C=BDC.設A=ABD=x,則BDC=2x,ABC=C=BDC=2x,由三角形內(nèi)角和等于180可求得x,從而得出結論.,評析本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、等腰三角形的性質、三角形內(nèi)角和定理的應用,證得ABCBDC是解題的關鍵.,8.(2016莆田,25,12分)若正方形有兩個相鄰頂點在三角形的同一條邊上,其余兩個頂點分別在三角形的另兩條邊上,則正方形稱為三角形該邊上的內(nèi)接正方形,ABC中,設BC=a,AC=b,AB=c,各邊上的高分別記為ha,hb,hc,各邊上的內(nèi)接正方形的邊長分別記為xa,xb,xc.(1)模擬探究:如圖,正方形EFGH為ABC的BC邊上的內(nèi)接正方形,求證:+=;(2)特殊應用:若BAC=90,xb=xc=2,求+的值;(3)拓展延伸:若ABC為銳角三角形,bxc.理由如下:由(1)得+=,+=,xb=,xc=,SABC=bhb=chc,2SABC=bhb=chc,又hb=csinBAC,hc=bsinBAC,-=,bxc.,9.(2015龍巖,24,13分)如圖,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,點D以每秒1個單位長度的速度由點A向點B勻速運動,到達B點即停止運動,M,N分別是AD,CD的中點,連接MN,設點D運動的時間為t(秒).(1)判斷MN與AC的位置關系;(2)求點D由點A向點B勻速運動的過程中,線段MN所掃過區(qū)域的面積;(3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析(1)在ABC中,M是AD的中點,N是DC的中點,MNAC.(2)如圖1,分別取ABC三邊AC,AB,BC的中點E,F,G,并連接EG,FG,圖1根據(jù)題意可得線段MN掃過區(qū)域的面積就是四邊形AFGE的面積,AC=6,BC=8,AE=3,GC=4,ACB=90,S四邊形AFGE=AEGC=34=12,線段MN所掃過區(qū)域的面積為12.,(3)由題意可知MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.當MD=MN=3時,DMN為等腰三角形,此時AD=AC=6,t=6.當MD=DN時,AD=DC,如圖2,過點D作DHAC交AC于H,則AH=AC=3,圖2cosA=,=,解得AD=5,t=5.如圖3,當DN=MN=3時,AC=DC,連接MC,則CMAD,圖3cosA=,即=,AM=,AD=t=2AM=.綜上所述,當t=5或6或時,DMN為等腰三角形.,思路分析(1)利用三角形中位線的性質解答即可;(2)分別取ABC三邊AC,AB,BC的中點E,F,G,并連接EG,FG,根據(jù)題意可得線段MN掃過區(qū)域的面積就是四邊形AFGE的面積,求解即可;(3)分三種情況:MD=MN,MD=DN,DN=MN,分別求t的值即可.,10.(2014南平,21,8分)如圖,已知ABC中,點D在AC上且ABD=C,求證:AB2=ADAC.,證明ABD=C,A是公共角,ABDACB,=,AB2=ADAC.,思路分析利用兩個角對應相等的兩個三角形相似證得ABDACB,進一步得出=,整理得出答案即可.,點評此題考查相似三角形的判定與性質:如果兩個三角形的三組邊的比對應相等,那么這兩個三角形相似;如果兩個三角形的兩條邊的比對應相等,且夾角相等,那么這兩個三角形相似;如果兩個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似;平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似;相似三角形的對應邊成比例,對應角相等.,B組20142018年全國中考題組考點一相似的性質與判定,1.(2018重慶,5,4分)要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形的三邊長分別為5cm,6cm和9cm,另一個三角形的最短邊長為2.5cm,則它的最長邊為()A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm,答案C設所求最長邊為xcm,由題意知兩個三角形相似,根據(jù)相似三角形的三邊對應成比例,可列等式=,解得x=4.5,故選C.,2.(2018湖北黃岡,5,3分)如圖,在RtABC中,ACB=90,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2,CE=5,則CD=()A.2B.3C.4D.2,答案C在RtABC中,因為CE為AB邊上的中線,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易證ACDCBD,則CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故選C.,3.(2017黑龍江哈爾濱,9,3分)如圖,在ABC中,D、E分別為AB、AC邊上的點,DEBC,點F為BC邊上一點,連接AF交DE于點G.則下列結論中一定正確的是()A.=B.=C.=D.=,答案C根據(jù)平行線分線段成比例定理可知=,=,=,=,所以選項A、B、D錯誤,選項C正確.故選C.,4.(2017陜西,8,3分)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若點E是邊CD的中點,連接AE,過點B作BFAE交AE于點F,則BF的長為()A.B.C.D.,答案B由題意得AFB=D=BAD=90,FAB+DAE=90,FAB+ABF=90,ABF=DAE,ADEBFA,則=,即=3,設AF=x(x0),則BF=3x,在RtABF中,由勾股定理得AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得x=(負值舍去),所以3x=,即BF=.故選B.,思路分析先通過證明ADEBFA得到AF與BF的數(shù)量關系,再在RtABF中,由勾股定理建立方程求解.,5.(2016河北,15,2分)如圖,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.將ABC沿圖示中的虛線剪下,剪下的陰影三角形與原三角形的是(),答案C選項A與B中剪下的陰影三角形分別與原三角形有兩組角對應相等,可得陰影三角形與原三角形相似;選項D中剪下的陰影三角形與原三角形有兩邊之比都是23,且兩邊的夾角相等,所以兩個三角形也是相似的,故選C.,評析本題考查相似三角形的判定,熟練掌握三角形相似的判定方法是解決問題的關鍵.,6.(2015江蘇南京,3,2分)如圖,在ABC中,DEBC,=,則下列結論中正確的是()A.=B.=C.=D.=E2,答案C=,=,DEBC,ADEABC,=,故選項A、B錯誤;根據(jù)“相似三角形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方”可知選項C正確,選項D錯誤.故選C.,答案B設等邊ABC的邊長為3,則AD=1,BD=2,由折疊的性質可知C=EDF=60,EDA+FDB=120,在AED中,A=60,AED+ADE=120,AED=BDF,又A=B,AEDBDF,=,又CE=DE,CF=DF,=,=,可得2CE=3CF-CECF,CF=3CE-CECF,2CE-3CF=CF-3CE,=.故選B.,8.(2018吉林,12,3分)如圖是測量河寬的示意圖,AE與BC相交于點D,B=C=90.測得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河寬AB=m.,答案100,解析易知ABDECD,=,又BD=120m,DC=60m,EC=50m,AB=100m.,9.(2018北京,13,2分)如圖,在矩形ABCD中,E是邊AB的中點,連接DE交對角線AC于點F,若AB=4,AD=3,則CF的長為.,答案,解析四邊形ABCD是矩形,ABCD,CD=AB=4,BC=AD=3,DCA=CAB,又DFC=AFE,CDFAEF,=.E是邊AB的中點,AB=4,AE=2.BC=3,AB=4,ABC=90,AC=5.=,CF=.,10.(2016江蘇南京,15,2分)如圖,AB、CD相交于點O,OC=2,OD=3,ACBD.EF是ODB的中位線,且EF=2,則AC的長為.,答案,解析EF是ODB的中位線,OE=OD=,EFBD,ACBD,EFBD,ACEF,=,=,AC=.,11.(2014黑龍江哈爾濱,20,3分)如圖,在ABC中,4AB=5AC,AD為ABC的角平分線,點E在BC的延長線上,EFAD于點F,點G在AF上,FG=FD,連接EG交AC于點H,若點H是AC的中點,則的值為.,答案,解析EFAD,FG=FD,EF垂直平分GD,EG=ED,EGD=EDG,AGH=ADB,又BAD=HAG,ABDAHG,=.4AB=5AC,AH=AC,=,=,=.=.,評析本題主要考查了線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、三角形相似的判定等知識,屬中等偏難題.,12.(2018陜西,20,7分)周末,小華和小亮想用所學的數(shù)學知識測量家門前小河的寬.測量時,他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹,將其底部作為點A,在他們所在的岸邊選擇了點B,使得AB與河岸垂直,并在B點豎起標桿BC,再在AB的延長線上選擇點D,豎起標桿DE,使得點E與點C、A共線.已知:CBAD,EDAD,測得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.測量示意圖如圖所示.請根據(jù)相關測量信息,求河寬AB.,解析CBAD,EDAD,ABC=ADE=90.BAC=DAE,ABCADE,(3分)=.(5分)BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.=,AB=17m.河寬AB為17m.(7分),思路分析首先根據(jù)ABC=ADE,BAC=DAE判定ABCADE,再根據(jù)相似三角形的性質得出=,進而可求得AB的值.,方法指導解與三角形有關的實際應用題時應注意的事項.審題:結合圖形通讀題干,第一時間鎖定采用的知識點,如:觀察題圖是否含有已知度數(shù)的角,如果含有,考慮利用銳角三角函數(shù)解題.如果僅涉及三角形的邊長,則采用相似三角形的性質解題.篩選信息:由于實際問題文字閱讀量較大,因此篩選有效信息尤為關鍵.構造圖形:只要是與三角形有關的實際問題都會涉及圖形的構造,如果題干中給出了相應的圖形,則可直接利用所給圖形進行計算,必要時可添加輔助線;若未給出圖形,則需要通過中獲取的信息構造幾何圖形進行解題.,13.(2018湖北武漢,23,10分)在ABC中,ABC=90.(1)如圖1,分別過A、C兩點作經(jīng)過點B的直線的垂線,垂足分別為M、N,求證:ABMBCN;(2)如圖2,P是邊BC上一點,BAP=C,tanPAC=,求tanC的值;(3)如圖3,D是邊CA延長線上一點,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,=,直接寫出tanCEB的值.,解析(1)證明:M=N=ABC=90,MAB+MBA=NBC+MBA=90,MAB=NBC,ABMBCN.(2)過點P作PMAP交AC于點M,過點M作MNPC交BC于點N,則PMNAPB.=tanPAC=,設PN=2t,則AB=t.BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C,MPC=C,CN=PN=2t.易得ABPCBA,AB2=BPBC,(t)2=BP(BP+4t),BP=t,BC=5t,tanC=.,(3)在RtABC中,sinBAC=,tanBAC=.過點A作AGBE于點G,過點C作CHBE交EB的延長線于點H,DEB=90,CHAGDE,=,同(1)的方法得,ABGBCH,=,設BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n,AB=AE,AGBE,EG=BG=4m,=,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在RtCEH中,tanCEB=.,思路分析(1)利用同角的余角相等判斷出MAB=NBC,即可得出結論;(2)作PMAP,MNPC,先判斷出PMNAPB,得出=,設PN=2t,則AB=t,再判斷出ABPCBA,設PN=2t,根據(jù)相似三角形的性質可求得BP=t,則BC=5t,即可得出結論;(3)作AGBE,CHBE,先判斷出=,同(1)的方法得,ABGBCH,所以=,設BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,進一步得出關于m,n的等式,解得n=2m,最后得出結論.,方法指導幾何中的類比探究關鍵在于找到解決每一問的通法,本題涉及的相似三角形,要尋找的比例關系或添加的輔助線均類似.同時要注意挖掘題干中不變的幾何特征,根據(jù)特征尋方法.,14.(2016四川南充,24,10分)已知正方形ABCD的邊長為1,點P為正方形內(nèi)一動點,若點M在AB上,且滿足PBCPAM,延長BP交AD于點N,連接CM.(1)如圖一,若點M在線段AB上,求證:APBN,AM=AN;(2)如圖二,在點P運動過程中,滿足PBCPAM的點M在AB的延長線上時,APBN和AM=AN是否成立(不需說明理由)?是否存在滿足條件的點P,使得PC=?請說明理由.,解析(1)證明:PBCPAM,PBC=PAM.(1分)四邊形ABCD是正方形,ADBC,PBC=ANP.PAM=ANP.(2分)PAM+PAN=90,ANP+PAN=90.APN=90,即APBN.(3分)BAN=90,APBN,BPA=BAN=90.ABP=NBA,ABPNBA,=.(4分)又PBCPAM,=.(5分)故=.,又AB=BC,AM=AN.(6分)(2)點M在AB的延長線上時,APBN和AM=AN仍然成立.(7分)不存在.理由如下:如圖,以AB為直徑,作半圓O,連接OC,OP.BC=1,OB=,OC=.(8分)APBN,點P一定在以點O為圓心、為半徑的半圓上(A,B兩點除外).如果存在點P,那么OP+PCOC,則PC.(9分),故不存在滿足條件的點P,使得PC=.(10分),評析本題是以考查相似三角形為主的綜合題,涉及正方形的性質、圓的性質等知識,有一定難度.,考點二圖形的位似1.(2015甘肅蘭州,5,4分)如圖,線段CD兩個端點的坐標分別為C(1,2)、D(2,0),以原點為位似中心,將線段CD放大得到線段AB,若點B的坐標為(5,0),則點A的坐標為()A.(2,5)B.(2.5,5)C.(3,5)D.(3,6),答案B設點A的坐標為(x,y),由位似圖形的性質知,=,得x=2.5,y=5,則點A的坐標為(2.5,5).故選B.,2.(2015江蘇鎮(zhèn)江,17,3分)如圖,坐標原點O為矩形ABCD的對稱中心,頂點A的坐標為(1,t),ABx軸,矩形ABCD與矩形ABCD是位似圖形,點O為位似中心,點A、B分別是點A、B的對應點,=k.已知關于x,y的二元一次方程組(m,n是實數(shù))無解.在以m,n為坐標(記為(m,n)的所有的點中,若有且只有一個點落在矩形ABCD的邊上,則kt的值等于()A.B.1C.D.,答案D因為方程組無解,所以mn=3,且n,那么以實數(shù)m,n為坐標的點在反比例函數(shù)y=的圖象上,且y.矩形ABCD與矩形ABCD的位似比為k,因為A(1,t),所以A點的坐標為(k,kt),C點的坐標為(-k,-kt),當矩形ABCD與函數(shù)y=的圖象有交點時,則交點至少有兩個,分別是A(k,kt),C(-k,-kt),當kt=時,A,C,又n,所以A不在函數(shù)y=的圖象上,有且只有C在函數(shù)y=的圖象上,即當kt=時,有且只有一個點在矩形ABCD的邊上.,評析本題以平面直角坐標系中的位似和方程組的解的存在性為背景,考查了反比例函數(shù)的圖象與性質,解題關鍵是運用中心對稱的性質.本題屬難題.,3.(2017甘肅蘭州,17,4分)如圖,四邊形ABCD與四邊形EFGH位似,位似中心是點O,=,則=.,答案,解析四邊形ABCD與四邊形EFGH位似,OEFOAB,OFGOBC,=,=.,4.(2018安徽,17,8分)如圖,在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的1010網(wǎng)格中,已知點O,A,B均為網(wǎng)格線的交點.(1)在給定的網(wǎng)格中,以點O為位似中心,將線段AB放大為原來的2倍,得到線段A1B1(點A,B的對應點分別為A1,B1).畫出線段A1B1;(2)將線段A1B1繞點B1逆時針旋轉90得到線段A2B1.畫出線段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2為頂點的四邊形AA1B1A2的面積是個平方單位.,解析(1)線段A1B1如圖所示.(3分)(2)線段A2B1如圖所示.(6分)(3)20.(8分)提示:根據(jù)(1)(2)可知四邊形AA1B1A2是正方形,邊長為=2,以A,A1,B1,A2為頂點的四邊形AA1B1A2的面積為(2)2=20(個平方單位).,5.(2016廣西南寧,21,8分)如圖,在平面直角坐標系中,已知ABC三個頂點的坐標分別是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).(1)請畫出ABC向左平移6個單位長度后得到的A1B1C1;(2)以點O為位似中心,將ABC縮小為原來的,得到A2B2C2,請在y軸右側畫出A2B2C2,并求出A2C2B2的正弦值.,解析(1)A1B1C1為所求作三角形.(2)A2B2C2為所求作三角形.根據(jù)勾股定理得A2C2=,sinA2C2B2=.,C組教師專用題組考點一相似的性質與判定,1.(2018內(nèi)蒙古包頭,12,3分)如圖,在四邊形ABCD中,BD平分ABC,BAD=BDC=90,E為BC的中點,AE與BD相交于點F.若BC=4,CBD=30,則DF的長為()A.B.C.D.,答案D如圖,連接DE.BD平分ABC,CBD=30,1=2=30.在RtBCD中,BD=BCcos30=2.在RtABD中,AB=BDcos30=3.E為BC的中點,ED=BE=2,3=2=1.DEAB,AFBEFD,=,即=,DF=.故選D.,思路分析根據(jù)題意得,在RtABD和RtBCD中,ABD=CBD=30,由BC=4,求得BD=2,進而求得AB=3,由E是BC的中點,得ED=BE,進而可得DEAB,所以AFBEFD,進而求出DF的長.,解題關鍵本題考查了含30角的直角三角形的性質,三角形相似的判定和性質.解答本題的關鍵是作出RtBCD斜邊上的中線.,2.(2016重慶,8,4分)ABC與DEF的相似比為14,則ABC與DEF的周長比為()A.12B.13C.14D.116,答案C因為ABC與DEF的相似比為14,所以由相似三角形周長的比等于相似比,得ABC與DEF的周長比為14,故選C.,3.(2016安徽,8,4分)如圖,ABC中,AD是中線,BC=8,B=DAC,則線段AC的長為()A.4B.4C.6D.4,答案B由AD是中線可得DC=BC=4.B=DAC,C=C,ADCBAC,=,AC2=BCDC=84=32,AC=4,故選B.,評析本題考查了相似三角形的判定與性質及三角形的中線,屬容易題.,4.(2016黑龍江哈爾濱,9,3分)如圖,在ABC中,D、E分別為AB、AC邊上的點,DEBC,BE與CD相交于點F,則下列結論一定正確的是()A.=B.=C.=D.=,答案ADEBC,ADEABC,=,故選項A正確,故選A.,5.(2017重慶A卷,8,4分)若ABCDEF,相似比為32,則對應高的比為()A.32B.35C.94D.49,答案A相似三角形對應高的比等于相似比,所以選A.,6.(2014遼寧沈陽,8,3分)如圖,在ABC中,點D在邊AB上,BD=2AD,DEBC交AC于點E,若線段DE=5,則線段BC的長為()A.7.5B.10C.15D.20,答案C由題意可得ADEABC,相似比為,所以BC=3DE=15,故選C.,評析本題考查相似三角形的判定與性質,屬容易題.,7.(2018云南,5,3分)如圖,已知ABCD,若=,則=.,答案,解析ABCD,A=C,B=D,AOBCOD.=.,8.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內(nèi)部,點E在邊BC上,滿足PBEDBC.若APD是等腰三角形,則PE的長為.,答案3或,解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,ABAD,根據(jù)PBEDBC可知P點在線段BD上,當AD=PD=8時,由相似可得=PE=;當AP=PD時,P點為BD的中點,PE=CD=3,故答案為3或.,思路分析根據(jù)AB0),則BM=2x,在RtABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=(舍負),BM=2x=.,11.(2015山東臨沂,18,3分)如圖,在ABC中,BD,CE分別是邊AC,AB上的中線,BD與CE相交于點O,則=.,答案2,解析連接DE,BD,CE分別是AC,AB邊上的中線,DE為ABC的中位線,DE=BC,DEBC,OBCODE,=2.,12.(2018陜西,17,5分)如圖,已知:在正方形ABCD中,M是BC邊上一定點,連接AM.請用尺規(guī)作圖法,在AM上求作一點P,使DPAABM.(不寫作法,保留作圖痕跡),解析如圖所示,點P即為所求.(5分),思路分析過D點作DPAM于點P,進而可利用APD=B,DAP=AMB判斷DPAABM.,13.(2018江西,14,6分)如圖,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分線,BD交AC于點E.求AE的長.,解析BD平分ABC,ABD=CBD.ABCD,ABD=D,ABECDE.CBD=D,=.BC=CD.AB=8,CA=6,CD=BC=4,=,AE=4.,思路分析根據(jù)角平分線性質和平行線的性質求出D=CBD,進而可得BC=CD=4,通過ABECDE,得出含AE的比例式,求出AE的值.,方法總結證明三角形相似的常見方法:平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊或其延長線相交,所構成的三角形與原三角形相似,相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型,如圖所示.在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形.,14.(2018呼和浩特,24,10分)如圖,已知BCAC,圓心O在AC上,點M與點C分別是AC與O的交點,點D是MB與O的交點,點P是AD延長線與BC的交點,且=.(1)求證:PD是O的切線;(2)若AD=12,AM=MC,求的值.,解析(1)證明:連接OD、OP,=,A=A,ADMAPO,ADM=APO,MDPO,1=4,2=3,OD=OM,3=4,1=2,又OP=OP,OD=OC,ODPOCP,ODP=OCP,BCAC,OCP=90,ODP=90,ODAP,又OD為半徑,PD是O的切線.(2)由(1)知PC=PD,連接CD,AM=MC,AM=2MO=2R(R為O的半徑).在RtAOD中,OD2+AD2=OA2,R2+122=9R2,R=3.OD=3,MC=6,=,AP=18,DP=6.又MDPO,O是MC的中點,=,點P是BC的中點,BP=CP=DP=6,又MC是O的直徑,BDC=CDM=90,在RtBCM中,BC=2DP=12,MC=6,BM=6.易知BCMCDM,=,即=.MD=2,=.,思路分析第(1)問需要通過線段的比相等來尋找合適的相似三角形,進而得到角相等;第(2)問需要先求出半徑,進而借助相似三角形的性質和判定解決.,解題關鍵解決本題的關鍵是要尋找合適的相似三角形,并綜合運用相關幾何知識解決問題.,15.(2017安徽,23,14分)已知正方形ABCD,點M為邊AB的中點.(1)如圖1,點G為線段CM上的一點,且AGB=90,延長AG,BG分別與邊BC,CD交于點E,F.求證:BE=CF;求證:BE2=BCCE;(2)如圖2,在邊BC上取一點E,滿足BE2=BCCE,連接AE交CM于點G,連接BG并延長交CD于點F,求tanCBF的值.圖1圖2,解析(1)證明:四邊形ABCD為正方形,AB=BC,ABC=BCF=90.又AGB=90,BAE+ABG=90.又ABG+CBF=90,BAE=CBF.ABEBCF(ASA),BE=CF.(4分)證明:AGB=90,點M為AB的中點,MG=MA=MB,GAM=AGM.又CGE=AGM,從而CGE=CBG.又ECG=GCB,CGECBG.=,即CG2=BCCE.由CFG=GBM=BGM=CGF,得CF=CG.由知,BE=CF,BE=CG.BE2=BCCE.(9分)(2)解法一:延長AE,DC交于點N(如圖1).,圖1四邊形ABCD是正方形,ABCD.N=EAB.又CEN=BEA,CENBEA.故=,即BECN=ABCE.AB=BC,BE2=BCCE,CN=BE.由ABDN知,=.又AM=MB,FC=CN=BE.不妨令正方形的邊長為1.設BE=x,則由BE2=BCCE,得x2=1(1-x).解得x1=,x2=(舍去).,=.于是tanCBF=.(14分)解法二:不妨令正方形的邊長為1.設BE=x,則由BE2=BCCE,得x2=1(1-x).解得x1=,x2=(舍去),即BE=.作GNBC交AB于N(如圖2),圖2則MNGMBC.=.設MN=y,則GN=2y,GM=y.=,即=,解得y=.GM=.從而GM=MA=MB,此時點G在以AB為直徑的圓上.AGB是直角三角形,且AGB=90.由(1)知BE=CF,于是tanCBF=.(14分),16.(2015連云港,25,10分)如圖,在ABC中,ABC=90,BC=3,D為AC延長線上一點,AC=3CD.過點D作DHAB,交BC的延長線于點H.(1)求BDcosHBD的值;(2)若CBD=A,求AB的長.,解析(1)DHAB,BHD=ABC=90,ACB=DCH,ABCDHC,=.AC=3CD,BC=3,CH=1.BH=BC+CH=4.在RtBHD中,cosHBD=,BDcosHBD=BH=4.(4分)(2)解法一:A=CBD,ABC=BHD,ABCBHD.(6分)=.ABCDHC,=,AB=3DH.=,DH=2,AB=6.(10分)解法二:CBD=A,BDC=ADB,CDBBDA.=,BD2=CDAD,BD2=CD4CD=4CD2.BD=2CD.(6分)CDBBDA,=,=,AB=6.(10分),考點二圖形的位似1.(2017四川成都,8,3分)如圖,四邊形ABCD和ABCD是以點O為位似中心的位似圖形,若OAOA=23,則四邊形ABCD與四邊形ABCD的面積比為()A.49B.25C.23D.,答案A由位似圖形的性質知=,所以=.故選A.,2.(2015天津,16,3分)如圖,在ABC中,DEBC,分別交AB,AC于點D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,則DE的長為.,答案,解析DEBC,ADEABC,=,=,=,DE=.,3.(2015寧夏,20,6分)在平面直角坐標系中,ABC的三個頂點坐標分別為A(2,-4),B(3,-2),C(6,-3).(1)畫出ABC關于x軸對稱的A1B1C1;(2)以M點為位似中心,在網(wǎng)格中畫出A1B1C1的位似圖形A2B2C2,使A2B2C2與A1B1C1的相似比為21.E2,解析(1)如圖所示.(3分)(2)如圖所示.(6分),A組20162018年模擬基礎題組(時間:10分鐘分值:15分)一、選擇題(共3分)1.(2017三明二檢,8)如圖,大三角形與小三角形是位似圖形.若小三角形一個頂點的坐標為(m,n),則大三角形中與之對應的頂點坐標為()A.(-2m,-2n)B.(2m,2n)C.(-2n,-2m)D.(2n,2m),三年模擬,答案A由題圖知兩三角形的位似中心為原點,且位似比為12,所以大三角形中與之對應的點的坐標為(-2m,-2n),故選A.,方法歸納如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心,這時的相似比又稱位似比,位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.,二、填空題(共3分)2.(2017寧德質檢,14)如圖,已知ABC,點D,E分別是AB,AC的中點,若ABC的面積等于24,則ADE的面積等于.,答案6,解析點D,E分別是AB,AC的中點,DEBC,BC=2DE,ADEABC,=,ABC的面積等于24,ADE的面積等于6.,解題關鍵掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵.,三、解答題(共9分)3.(2016南平質檢,22)已知O的弦CD與直徑AB垂直于F,點E在CD上,且AE=CE.(1)求證:CA2=CECD;(2)已知CA=5,EA=3,求sinEAF.E2,解析(1)證明:弦CD垂直于直徑AB,=,D=C,又AE=EC,CAE=C.CEACAD.=,即CA2=CECD.(2)CA2=CECD,CA=5,CE=EA=3,52=3CD,CD=.又CF=FD,CF=CD=,EF=CF-CE=-3=.在RtAFE中,sinEAF=.,思路分析(1)利用兩組角對應相等證明CEACAD,即可得解;(2)利用(1)的結論求出CD的長,進而求出CF和EF的長,即可得解.,命題立意本題考查了垂徑定理,三角形相似的判定及性質,三角函數(shù)的應用,難度中等.,B組20162018年模擬提升題組(時間:40分鐘分值:50分)解答題(共50分)1.(2018福州二檢,24)已知菱形ABCD,E是BC邊上一點,連接AE交BD于點F.(1)如圖1,當E是BC中點時,求證:AF=2EF;(2)如圖2,連接CF,AB=5,BD=8,當CEF為直角三角形時,