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如果你遇到不懂的專業(yè)詞匯,請您首先用鼠標選中該詞匯,然后按住鼠標左鍵將該詞匯拖入查詢框中,再點擊“查詢”,就會彈出窗口顯示該詞匯的專業(yè)注釋!關(guān)閉FDTD方法中的吸收邊界條件胡來平,劉占軍 (重慶郵電學院光電工程學院重慶400065)摘要:介紹并分析了時域有限差分中的吸收邊界條件,對各種條件的應(yīng)用進行了討論,對時域差分技術(shù)的吸收邊界條件進行了一定的總結(jié)和展望。 關(guān)鍵詞:時域有限差分方法;吸收邊界條件;電磁散射;完全匹配層 時域有限差分法(FDTD)是一種分析各種電磁問題的全波方法。用FDTD分析電磁輻射、散射等開放或者半開放性質(zhì)問題時,不可能直接對無限的結(jié)構(gòu)進行計算,因此必須在截斷處設(shè)置適當?shù)奈者吔鐥l件,以便用有限網(wǎng)格空間模擬開放的無限空間或無限長的傳輸結(jié)構(gòu)。理想的吸收邊界條件應(yīng)在截斷邊界上只有向外傳輸?shù)牟ǘ鴽]有向內(nèi)的反射波。 自從Yee提出FDTD方法以來,對FDTD方法中的重要組成部分-吸收邊界條件的研究就一直沒有停止過。目前,構(gòu)造吸收邊界條件的思路主要有2種:一種是在邊界上引入吸收材料,電磁波在無反射地進入吸收材料后被衰減掉,如PML。這種方法構(gòu)造復(fù)雜,內(nèi)存需求較大,但在很大的入射角度上吸收效果較好。另一種是從外行波方程出發(fā)構(gòu)造的透射邊界條件,如Mur邊界條件等。這種類型的透射邊界條件具有構(gòu)造簡單,內(nèi)存需求小,基本上不額外消耗內(nèi)存等特點。下面介紹幾種應(yīng)用較為廣泛的吸收邊界條件。1Mur吸收邊界條件1 考察一維波動方程: 他可分解為2個單向波方程:當邊界上電磁場滿足式(2)時,電磁場仍是單向波形式,不產(chǎn)生反射,這就是Mur一階吸收邊界條件。同法對二維情況,有二維波動方程: 把式(4)根號部分進行Taylor展開,然后取其前2項,即令:這就是Mur所建議的具有二階近似的,適用于二維問題的近似吸收邊界條件。他在FDTD中有廣泛地應(yīng)用。Mur吸收邊界條件具有實施方便簡單、吸收邊界條件效果好的特點,然而在使用中注意到,一階近Yee網(wǎng)格劃分,在角區(qū)域存在較大誤差,而二階近似盡管就算精度較高,但編程復(fù)雜,且對三維情況還可能出現(xiàn)結(jié)果發(fā)散的現(xiàn)象2。2廖氏吸收邊界條件廖氏吸收邊界條件比同階的Mur吸收邊界條件反射小約一個數(shù)量級,并且各階吸收邊界條件可用統(tǒng)一的公式表示。由于推導繁瑣,這里直接給出其吸收邊界條件公式:其中:CjN為組合數(shù),N表示廖氏吸收邊界條件的階數(shù)。 N1時,給出了一階吸收邊界條件:其中:Svtx,是一個常數(shù),052。N2時,給出了二階吸收邊界條件:3超吸收邊界條件Fang和Mei于1988年第一次提出了超吸收邊界條件的概念。傳統(tǒng)的吸收邊界條件只在邊界上給電場或磁場進行特殊處理,不同時計算二者,因為只要在邊界知道了電場或磁場,則內(nèi)部區(qū)域的場就能惟一地確定。在超吸收邊界條件中讓磁場也參與計算并用他來減少計算電場時所產(chǎn)生的非物理因素引起的反射,從而改善原始吸收的性能。其具體的理論推導可見文獻1。超吸收邊界條件的具體運用格式為:(1)在自由空間的截斷邊界上采用一種吸收邊界(5)利用得到的,M05,),重新由前面的差分方程中H分量在n05時刻的表達式計算出)4完全匹配層1994年JPBerenger提出了“完全匹配層(PML)”這種新邊界,他是應(yīng)用某種依賴于方向的、滿足匹配條件的地導電和導磁媒質(zhì)來吸收反射波。通常在計算域的截斷面之外布置完全匹配層,當波進入PML中時,因波阻抗保持不變而無反射發(fā)生。當外行波到達PML的最外層時,其幅度近似衰減為0。微弱的反射波在此產(chǎn)生,反射波傳播到計算域之前,又要經(jīng)過完全匹配層的再次衰減,這樣進入計算域的反射波是十分微弱的。完全匹配層是一種非物理性的電磁波吸收層,用電導率和磁導率表征,和可分別解為x,y,z和??梢宰C明,當PML滿足以下2個條件時,他對電磁波不反射3:(1)為吸收某一方向的電磁波(如z向),則和在其他方向上的分量均為0。 (2)和與電介常數(shù)和磁導率滿足下列方程:5吸收邊界條件的現(xiàn)狀和一點展望時域有限差分法是最受矚目的電磁場數(shù)值計算方法之一,現(xiàn)在應(yīng)用于包括電磁輻射、散射等在內(nèi)的幾乎所有電磁問題的數(shù)值模擬中。他實質(zhì)上是一種蛙躍法,具有二階精度。對于開域問題,受計算機內(nèi)存和計算時間限制,必須截斷計算空間并設(shè)置邊界條件,國內(nèi)外許多人在這方面做了大量的工作,提出了各種邊界條件,其目的是使有限的計算空間與無限的實際空間等效,如Mur吸收邊界條件、廖氏吸收邊界條件、超吸收邊界條件以及理想匹配層等。其中Mur邊界由于具有較寬的入射角度范圍內(nèi)的吸收效果,而且占內(nèi)存小,因此得到較為廣泛地應(yīng)用。但是他也存在局限性: (1)邊界面上任意點的插值都是在其領(lǐng)域的三維空間上進行,不允許靠近邊界的區(qū)域出現(xiàn)介質(zhì)的不連續(xù)性;(2)在垂直入射情況下的計算精度僅相當于一階吸收邊界條件。在廖氏吸收邊界條件中,邊界點x的場可用x軸內(nèi)部的點和以前時間段上的值來表示,因此廖氏吸收邊界條件可以理解為用Newton后向差分多項式對空間和時間的外推。超吸收技術(shù)對大多數(shù)被廣泛采用的吸收邊界條件都有明顯的改進作用。與Mur邊界條件相比,PML邊界具有更高的計算精度,而且任意方向入射時均無反射。在二維自由空間,Berenger得出結(jié)論:PML吸收邊界的反射系數(shù)可低于70 dB,比其他各種邊界改善約40 dB。這種人工設(shè)計的完全匹配層由有耗導電、導磁媒質(zhì)組成,可吸收任意入射角、任何頻率、任意偏振態(tài)的入射電磁波,其實用性更強,但是他內(nèi)存大,在不連續(xù)介質(zhì)接觸邊界面和三維區(qū)域的6個面不全為吸收邊界時也難以應(yīng)付。人們對各種吸收邊界條件做了比較、校正和優(yōu)化,并陸續(xù)提出了一些新的辦法。諸如對Mur條件的校正,以得到更高的計算精度,簡化行波邊界條件等等。目前各種吸收邊界條件都存在著一些缺點,在某些問題中這些吸收邊界條件的反射過大,或者所適應(yīng)的入射角度的范圍不夠?qū)拸V,另外提高計算精度,允許計算計算網(wǎng)格空間的外邊界能更接近輻射源或散射體表面,從而節(jié)省計算機的存儲空間和計算時間,這些都是我們應(yīng)該努力的方向。參考文獻1王長清,祝西里電磁場計算中的時域有限差分法M北京:北京大學出版社,19942楊軍,張玉勝,傅君眉Mur吸收邊界條件的校正J微波學報,1996,12(1):30-34.3陳彬,方大綱,陳曉明完全匹配層(PML)吸收邊界條件的理論分析J微波學報,1996,4譚懷英,尹家賢,劉克成,等一種新的簡化行波吸收邊界條件在FDTD算法中的實現(xiàn)J微波學報,2001,17(1):32-34.5葛俊祥,李玉星廣義正交坐標系下FDTD算法的吸收邊界條件J電子學報,1998,266邵振海,洪偉幾
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