周第一次課分塊矩陣.ppt

,幾何與代數(shù),主講:王小六,東南大學線性代數(shù)課程,第二章矩陣,第三節(jié)分塊矩陣,回顧,行列式的乘法定理定理2.1假設(shè)A,B都是n階方陣，則|AB|=|A|B|,1.定義2.6:設(shè)A為方陣,若存在方陣B,使得,AB=BA=E,則稱A可逆(invertible),并稱B為A的,逆矩陣(inversematrix).A的逆矩陣記為A1.,2.逆矩陣的唯一性,3.設(shè)A是n階方陣。則(1)A可逆的充分必要條件是|A|0.,(2)當|A|0且n2時,有,可逆矩陣,定義2.7.設(shè)A=aijnn為方陣(n2),元素aij的代數(shù)余子式為Aij,則稱如下矩陣,為方陣A的伴隨矩陣.,可逆矩陣的等價定義：假設(shè)A是n階方陣。若存在n階方陣B,使得AB=E(或者BA=E),則稱A是可逆的，B是A的逆矩陣。,回顧結(jié)束,第二章矩陣,2.2逆矩陣,二.逆矩陣的運算性質(zhì),設(shè)A,B為同階可逆方陣,數(shù)k0.則,(1)(A1)1=A；,(2)(AT)1=(A1)T.,(3)(kA)1=k1A1；,(4)AB可逆A和B可逆;當AB可逆時，(AB)1=B1A1.,例.設(shè)A與EA都可逆,G=(EA)1E,求證G也可逆,并求G1.,證明:G=(EA)1(EA)1(EA),=(EA)1(E(EA)=(EA)1A,G1=A1(EA)=A1E.,第二章矩陣,2.2逆矩陣,可以表示為Ax=b.,則線性方程組,三.應用,下面討論A為n階方陣的情形.,第二章矩陣,2.2逆矩陣,Cramer法則.若系數(shù)行列式D=|A|0(等價地,A可逆),則線性方程組Ax=b有唯一的解x=A1b.,比較第一章的結(jié)果,思考：更一般地，如果n階矩陣A是可逆陣，B是nt矩陣，則矩陣方程AX=B有唯一解嗎？或者當C是sn矩陣，矩陣方程YA=C有唯一解嗎？,X=A1B,Y=CA1,參見教材63頁的例2.11.,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,一.基本概念,2.3分塊矩陣,1001201045001763210065400,分塊矩陣,二.基本運算,分塊加法,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,2.分塊數(shù)乘,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,設(shè)矩陣A=,A11A12A1rA21A22A2rAs1As2Asr,3.分塊轉(zhuǎn)置,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,3.分塊乘法,設(shè)A為ml矩陣,B為ln矩陣,將它們分塊如下,其中Ai1,Ai2,Aiq的列數(shù)分別與B1j,B2j,Bqj的行數(shù)相等.,(i=1,2,p;j=1,2,r.),第二章矩陣,2.3分塊矩陣,k1k2kq,k1k2kq,求AB.,解:,于是AB=,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,二.常用的分塊法,1.將給定矩陣分為22的分塊矩陣,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,稱為分塊對角矩陣(或準對角矩陣),其中A1,A2,As都是方陣.,2.分塊對角矩陣,例如,.,若A1,A2,，As都可逆，則A是否可逆？,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,A=A1,A2,An.,3.,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,1=a11,a12,a1n,4.,2=a21,a22,a2n,m=am1,am2,amn,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,例假設(shè)A,B分別是sn和nt矩陣。利用下列分法寫出乘積AB。(1)將A的每一行視作一塊，將B視作一塊；(2)將A的每個元素視作一塊，將B的每一行視作一塊；(3)將A視作一塊，將B的每一列視作一塊；(4)將A的每一列視作一塊，將B的每個元素視作一塊；,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,例假設(shè)A是二階方陣，x是二維非零列向量，若A2x+3Ax=6x,B=(x,Ax),求一矩陣C，使得AB=BC.,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,例假設(shè)A=(aij)45,B=.求一對矩陣C,D,使得B=CAD.,第二章矩陣,2.3分塊矩陣,2.4矩陣的秩,一.基本概念,這樣的子式共有個.,k階子式,第二章矩陣,2.4矩陣的秩,例如:A=,2,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.,的1階子式有34個:,A的2階子式有36個:,第二章矩陣,2.4矩陣的秩,的3階子式有14個:,第二章矩陣,2.4矩陣的秩,2.矩陣A的秩(rank),記為r(A)或秩(A),r(A)=r,A中至少有一個r階子式D不為零,A的所有r+1階子式都等于零,而3階子式全為0,因此它的秩為2.,例如,有一個2階子式,第二章矩陣,2.4矩陣的秩,第二章矩陣,2.4矩陣的秩,(4)r(AT)=r(A).,注:(1)零矩陣的秩規(guī)定為0.,第二章矩陣,2.4矩陣的秩,(3)如果矩陣的秩等于它的行數(shù)，則稱是行滿秩的；類似有列滿秩的概念.,(5)如果A的每一個k階子式都等于零，則,(6)如果A的有一個k階子式不等于零，則,可逆矩陣也稱為滿秩矩陣或非退化矩陣,r(A)k.,r(A)k.,問題:假若一個56的矩陣中所有3階子式都等于零,那么它的4階子式中會出現(xiàn)非零的嗎?,答:絕對不會!因為每個4階子式都可以按行展開,通過一些3階子式的組合得到.),第二章矩陣,2.4矩陣的秩,命題2.1r(A)=r當且僅當A中存在非零的r階子式，但A中所有r+1階子式（如果存在的話）都等于零.,第二章矩陣,2.4矩陣的秩,第二章矩陣,2.4矩陣的秩,注:對于一個階數(shù)很高且比較復雜的矩陣來說,按照定義去求它的秩是一件很麻煩的事.,第二章矩陣,2.4矩陣的秩,3,注:可以證明命題2.2階梯形矩陣的秩等于其非零行的數(shù)目.而任何一個矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形矩陣.,初等行變換是否改變矩陣的