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1談?wù)勛匀粚?duì)數(shù)李巖(赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院08級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)赤峰024000)摘要：e是數(shù)學(xué)中的重要常數(shù)之一,數(shù)e的起源與對(duì)數(shù)的發(fā)明有一定的聯(lián)系，e也是歷史上第一個(gè)用極限來(lái)定義的數(shù)，通過(guò)對(duì)它的定義進(jìn)行出發(fā)，推導(dǎo)出e的一個(gè)重要性質(zhì)，以及歐拉公式，進(jìn)而描述了三角函數(shù)與雙曲函數(shù)的關(guān)系。關(guān)鍵詞：自然對(duì)數(shù)e引言：圓周率生活中很容易被找到或被發(fā)現(xiàn)，一個(gè)圓的周長(zhǎng)與其直徑的比等于圓周率。可自然對(duì)數(shù)的底e一直困擾著我們。高中數(shù)學(xué)中，有以10為底的對(duì)數(shù)，即常用對(duì)數(shù)。教材中曾指出，如果底數(shù)是以e為底的對(duì)數(shù)，我們稱之為自然對(duì)數(shù)，并且自然對(duì)數(shù)的底e=71828.2是一個(gè)無(wú)理數(shù)。一、自然對(duì)數(shù)的由來(lái)e似乎是來(lái)自純數(shù)學(xué)的一個(gè)問(wèn)題。事實(shí)上，對(duì)于自然對(duì)數(shù)的底e是有其生活原型的。在歷史上，自然對(duì)數(shù)的底e與曾一個(gè)商人借錢(qián)的利息有關(guān)。過(guò)去，有個(gè)商人向財(cái)主借錢(qián)，財(cái)主的條件是每借1元，一年后利息是1元，即連本帶利還2元，年利率10。利息好多喔！財(cái)主好高興。財(cái)主想，半年的利率為%50，利息是5.1元，一年后還25.25.12元。半年結(jié)一次帳，利息比原來(lái)要多。財(cái)主又想，如果一年結(jié)3次，4次，365次，豈不發(fā)財(cái)了？財(cái)主算了算，結(jié)算3次，利率為31，1元錢(qián)一年到期的本利和是：37037.2)311(3元，結(jié)算4次，1元錢(qián)到一年時(shí)還44140.24114元。財(cái)主還想，一年結(jié)算1000次，其利息是：1000100011這么大的數(shù)，年終肯定發(fā)財(cái)了。可是，財(cái)主算了算，一元錢(qián)結(jié)帳1000次，年終還的金額只有：71692.21000111000元這令財(cái)主大失所望。他以為，結(jié)帳次數(shù)越多，利息也就增長(zhǎng)得越快。財(cái)主根本不知道，nn11的值是隨n的增大而增大，但增加的數(shù)額極其緩慢；并且，不管結(jié)算多少次，連本帶利的總和不可能突破一個(gè)上限。數(shù)學(xué)家歐拉把nn11極限記作1000e，17828.2e，即自然對(duì)數(shù)的底。2二、自然對(duì)數(shù)的定義、性質(zhì)、應(yīng)用在代數(shù)里我們知道，除1以外的任何正數(shù)都可以當(dāng)作對(duì)數(shù)的底。通常為了計(jì)算方便起見(jiàn)，我們采用以10為底的對(duì)數(shù)，就是所謂常用對(duì)數(shù)。此外，在高等數(shù)學(xué)、科學(xué)技術(shù)里，我們還常采用以e為底的對(duì)數(shù)。e的近似值是718.2。以e為底的對(duì)數(shù)xelog，叫做自然對(duì)數(shù)。數(shù)e叫做自然對(duì)數(shù)的底。下面我們來(lái)看怎樣確定e。2.1e的一個(gè)定義如果級(jí)數(shù)n!)1(1!51!41!31!21!111)1(收斂，我們就把它的和記做e。我們先來(lái)證明級(jí)數(shù))1(是收斂的。事實(shí)上，級(jí)數(shù))1(的n次部分和是nSn!)1(1!31!21!111容易看出，SSSSn321)2(而且；212221)1(3211；21222143211；212213211；212112)2(32nnn個(gè)所以)3(2121211122Snn應(yīng)用等比數(shù)列求和的公式，得)4(221112112112121112nn把)3(和)4(結(jié)合起來(lái)，就得到33nS)5(從)3(和)5(可以看出，數(shù)列1S，2S，nS，的各項(xiàng)逐次增大，但是它始終少于常量3。根據(jù)現(xiàn)行代數(shù)課本里的定理，可以知道nS存在極限。這就證明了級(jí)數(shù))1(是收斂的。而3limnnS因此，3e。我們?cè)賮?lái)計(jì)算e的近似值.取級(jí)數(shù))1(的第n次部分和作為近似值，那么誤差是nnnnnnnnnnRn)3)(2)(1(1)2)(1(1111!1!)2(1!)1(1!1而32)1(1)3)(2)(1(1)1(1)2)(1(1nnnnnnn所以)6(1!1)1(1111!12nnnnnnRn特別地，取8n，那末)7(0000280.03584018!898R我們只要對(duì)!71!61!51!41!31!21118S進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，就得到)8(7182542.27182537.28S因此，從8Se得到e7182537.2從88RSe，并且應(yīng)用)7(和)8(得到e7182822.20000280.07182542.24因此，e7182.2用上面的方法，只要取充分大的n的值，利用電子計(jì)算機(jī)可以得到e的近似值到上萬(wàn)位小數(shù)。2.2e的一個(gè)性質(zhì)e也是無(wú)窮級(jí)數(shù)列nn,11,411,311,211,11432的極限，就是：ennn11lim這個(gè)公式的證明就略去。2.3e在其他方面的應(yīng)用再來(lái)考察比)1(更一般的級(jí)數(shù))9(!)1(!3!21132nxxxxn我們也可以證明這個(gè)冪級(jí)數(shù)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x是收斂的，而且它的和就是指數(shù)函數(shù)xe。換句話說(shuō)，指數(shù)函數(shù)xe可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù))10(!)1(!2112nxxxenx在)10(里，如果取1x，就是級(jí)數(shù))1(；如果取1x，那末就得到。如果用復(fù)數(shù)z代替)10(右邊的x。所得到的級(jí)數(shù)也可以證明它是收斂的。我們就把它的和記做ze，稱做e的z次冪。例如，我們用i表示虛數(shù)單位1，y表示實(shí)數(shù)，那么)11()!1()(!3)(!2)()(1132niyiyiyiyeniy我們已經(jīng)知道iiiiiiiiii,1,1,1,18765432因此，)11(又可以寫(xiě)做5yyyiyyyyyiyyiyyiyiyeiy!5!3!6!4!21!8!7!6!2!2!2!21536423762222我們就得到)12()sin(cosyigeiy這是一個(gè)有用的公式，叫做歐拉公式。在)12(里，設(shè)y或者y，那末就得到和e之間的一個(gè)重要關(guān)系：)13(01ei上面兩式里出現(xiàn)的四個(gè)數(shù)：e，i，1都是數(shù)學(xué)里的重要的數(shù)。應(yīng)用歐拉公式可以把三角函數(shù)用指數(shù)函數(shù)（但指數(shù)是復(fù)數(shù)）表示出來(lái)。就是：)19(2csc)18(2sec)17()(ctg)16()(tg)15(2cos)14(2sineeixeexeeeeixeeieexeexieexixixixixixixixixixixixixixixixix上面這些公式，我們可以證明如下：事實(shí)上，在)12(式里，用y代替y，就得到y(tǒng)iyeiysincos)20(把)11(式和)20(式相加再除以2，就得到)15(式；把)15(代入)12(就得到)14(.至于公式)16(、)17(、)18(、)19(，我們很容易從公式)17(、)15(出發(fā)，利用三角函數(shù)間的關(guān)系得到。除三角函數(shù)以外，利用指數(shù)函數(shù)還可以得到另外一些有用的函數(shù)雙曲函數(shù)。雙曲函數(shù)也有六個(gè)，雙曲正弦，記做sinh；雙曲余弦，記做cosh；雙曲正切，記做tgh；雙曲余切，記做ctgh；雙曲正割，記做hsec；雙曲余割，記做hcsc（后面三個(gè)函數(shù)不常用）。它6們的定義是：.2hcsc；2hsec；ctgh；tgh；2cosh；2sinheexeexeeeexeeeexeexeexxxxxxxxxxxxxxxxx上面這六個(gè)式子與公式)14()19(相比較，我們可以發(fā)現(xiàn)雙曲函數(shù)和三角函數(shù)有許多類似之點(diǎn).例如雙曲函數(shù)之間有如下的關(guān)系：；sinh1csch；cosh1sech；tgh1ctgh；coshsinhtgh；1)(sinh)(cosh22xxxxxxxxxxx等等，這里我們不一一列舉了。三、總結(jié)自然對(duì)數(shù)的出現(xiàn)，不但使一些數(shù)學(xué)問(wèn)題迎刃而解，而且對(duì)數(shù)使得復(fù)雜的乘法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單的加法，只要查閱對(duì)數(shù)表就可以了。還推出了一些重要的數(shù)學(xué)公式。同時(shí)，對(duì)數(shù)尺（這里就不介紹了）也應(yīng)運(yùn)而生。當(dāng)然在計(jì)算器普及的今天，已經(jīng)很少有人用這種東西了。