高觀點(diǎn)下的初等幾何問題的研究

高觀點(diǎn)下的初等幾何問題的研究數(shù)學(xué)系 高秀娟一 公理法的幾何學(xué)一般說來，數(shù)學(xué)的公理法就是選取若干個(gè)不加定義的原始概念（基本概念）和無條件承認(rèn)的對基本概念加以制約的若干規(guī)定（公理）作為出發(fā)點(diǎn)，再以嚴(yán)格的邏輯推演使某一數(shù)學(xué)分支成為演繹系統(tǒng)的一種方法。1.歐氏幾何以歐幾里得（古希臘最偉大的一位幾何學(xué)家，公元前330-275年）平行公理為基礎(chǔ)的幾何學(xué)，稱為歐幾里得幾何，簡稱歐氏幾何。我國明代徐光啟翻譯了幾何原本，并將Geometry一詞譯為幾何學(xué)。幾何原本的基本結(jié)構(gòu)是定義，公設(shè)和公理的系統(tǒng)，其中的五條公設(shè)如下：1.從每個(gè)點(diǎn)到每個(gè)別的點(diǎn)必定可以引直線；2.每條直線都可以無限延長；3.以任意點(diǎn)為中心可以用任意半徑作圓周；4.所有的直角都相等；5.若一條直線與另外兩條直線相交，當(dāng)有一側(cè)的兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角之和小于兩直角時(shí)，則這兩條直線就在這側(cè)相交。歐幾里得到幾何原本是歷史上第一部幾何學(xué)著作，但是從現(xiàn)代教學(xué)觀點(diǎn)來看，它的幾何邏輯結(jié)構(gòu)在嚴(yán)謹(jǐn)方面還存在著許多缺陷。所以，在歐幾里德以后長達(dá)兩千年以上的時(shí)間里，數(shù)學(xué)家們都注意到并且試圖消除幾何原本中在邏輯上存在的缺陷。歐幾里得幾何原本中的第五公設(shè)的試證，引起了人們的極大關(guān)注。原因是前四個(gè)公設(shè)含義簡明，而第五個(gè)敘述比較復(fù)雜，而且在幾何原本里使用較晚，這樣就引起人們對它的懷疑。恰恰是在對第五公設(shè)的漫長的推證過程中，推導(dǎo)出了一系列等價(jià)命題，并且最終導(dǎo)致了非歐幾里德幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)和現(xiàn)代幾何公里法定建立。在重新建立幾何學(xué)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的工作中，最有成就的是希爾伯特的著作幾何基礎(chǔ)，他在著作里提出了歐氏幾何完備的公理系統(tǒng)，從這個(gè)系統(tǒng)可以用邏輯推導(dǎo)出歐氏幾何的全部內(nèi)容。2.非歐幾何在證明第五公設(shè)的漫長努力過程中，問題其實(shí)并未得到根本解決。于是，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（1792-1856）在試證過程中，否定了第五公設(shè)的等價(jià)命題“在一平面上，通過已知直線外一點(diǎn)，最多能作一條直線與已知直線不相交?！?，引入新的平行公理：“在一平面上，通過已知直線外的一個(gè)已知點(diǎn)，至少有兩條直線與已知直線不相交”，并保留了歐幾里德的除了公設(shè)五以外的所有公理及公設(shè)，構(gòu)成了一個(gè)新的公理系統(tǒng)。在這個(gè)新的系統(tǒng)中，他推證了一連串的命題，不但沒有得出任何矛盾，恰恰相反，得到的卻是一個(gè)完善和諧的幾何體系，羅巴切夫斯基認(rèn)為，這個(gè)新的體系所建立的幾何表明了一種新的結(jié)合學(xué)的存在。1826年，羅巴切夫斯基宣讀了他的新幾何學(xué)的報(bào)告，宣告了非歐幾何學(xué)的誕生。羅巴切夫斯基建立的非歐幾何當(dāng)時(shí)只得到高斯和約翰.波里埃等少數(shù)人的理解。在他去世后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米給出了羅氏幾何的第一個(gè)模型-具有負(fù)常曲率的偽球面，使得羅氏幾何有了現(xiàn)實(shí)的意義。從此羅氏幾何才被人們卻認(rèn)為也是現(xiàn)實(shí)空間的反映。羅氏幾何學(xué)的誕生表明，歐幾里德的幾何公理不是牢不可破的教條，采用不同的公理做基礎(chǔ)，可以建立不同他的幾何學(xué)。所以歐幾里德幾何不再是幾何學(xué)的同義語，歐氏幾何只是幾何學(xué)中的一種。黎曼（1826-1866）在1854年提出了另一種非歐幾何學(xué)，在這種幾何學(xué)里，同一平面內(nèi)的二直線必相交，三角形內(nèi)角和大于二直角。二克萊因的幾何學(xué)觀點(diǎn)幾何學(xué)的群論觀點(diǎn)，是由德國數(shù)學(xué)家FKlein于1872年在埃爾朗根大學(xué)任教授時(shí)所作的題為“近代幾何學(xué)研究的比較評(píng)述”的演說中首先提出來的，歷史上稱為埃爾朗根綱領(lǐng)（Erlangen Program）。這種變換群的觀點(diǎn)對近代幾何學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，支配了從他以來近半個(gè)世紀(jì)的幾何學(xué)的研究。若給定一個(gè)集合以及此集合上的一個(gè)變換群，則空間內(nèi)的圖形對于此群的不變性質(zhì)的命題系統(tǒng)的研究就稱為這空間的幾何學(xué)，而空間的維數(shù)就稱為幾何學(xué)的維數(shù)，且稱此群為該幾何學(xué)所對應(yīng)的變換群。有一個(gè)變換群就相應(yīng)的有一種研究在此群作用下不變性質(zhì)理論的幾何學(xué)。歐氏幾何是研究等價(jià)類里一切圖形所共有的性質(zhì)，圖形關(guān)于正交變換群下的不變性質(zhì)所構(gòu)成的命題系統(tǒng)就是歐氏幾何學(xué)。同理，在仿射變換群下圖形的不變性質(zhì)所構(gòu)成的命題系統(tǒng)就是仿射幾何學(xué)；射影變換群下的圖形不變性質(zhì)構(gòu)成的命題系統(tǒng)就是射影幾何學(xué)。設(shè)G是集合S的一個(gè)變換群，G是G的子群，G與G所對應(yīng)的幾何分別為A與A。由于G G，所以對于G不變的性質(zhì)對于G一定也不變，因此A中的定理一定也是A中的定理；但是反過來，卻不一定成立。，我們稱A為A的一個(gè)子幾何。所以，越大變換群所對應(yīng)的幾何內(nèi)容越少，相對較小的子群所對應(yīng)的子幾何內(nèi)容卻更豐富。研究射影變換群下圖形的不變性質(zhì)和不變量的幾何分支就是射影幾何。因?yàn)樯溆白儞Q保持同素性、結(jié)合性和交比不變，因此在射影變換下，一維基本形是不變圖形，點(diǎn)列變換成點(diǎn)列，線束變換成線束，另外，二次曲線在射影變換下仍為二次曲線，所以二次曲線也是射影幾何討論的對象。研究仿射變換群下圖形的不變性質(zhì)和不變量的幾何分支就是仿射幾何。仿射變換保持平行性和單比不變。仿射變換群是由保持無窮遠(yuǎn)直線不變的射影變換構(gòu)成的，因此它是射影群的子群，所以仿射幾何是射影幾何的子幾何。顯然，射影性質(zhì)都是仿射變換下的不變性質(zhì)。 研究圖形關(guān)于正交變換群下圖形的不變性質(zhì)和不變量的幾何分支就是歐氏幾何。歐氏幾何是仿射幾何的子幾何，也是射影幾何的子幾何所以射影性質(zhì)、仿射性質(zhì)都是歐氏幾何的不變性質(zhì)。此外，在歐氏幾何中還可以研究長度、角度等度量性質(zhì)。上述三種變換群的大小關(guān)系：正交變換群仿射變換群射影變換群但從它們所對應(yīng)的幾何的研究內(nèi)容的豐富性來看則有：歐氏幾何仿射幾何射影幾何注：下表為以射影幾何為基礎(chǔ)的克萊因幾何學(xué)分類中一些主要幾何間的關(guān)系：射影幾何仿射幾何單重橢圓幾何雙重橢圓幾何（黎曼幾何）雙曲幾何（羅氏幾何）拋物幾何（歐氏幾何）其他仿射幾何三射影平面的數(shù)學(xué)模型在歐氏直線上添加了一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)后所得到的直線稱為仿射直線。歐氏平面上添加一條無窮遠(yuǎn)直線即得到仿射平面。設(shè)有以O(shè)為球心的球面，過球心O作平面a交球面于大圓C，我們規(guī)定：半球面S為仿射平面，大圓C上的點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，且通過O的大圓C的每一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)當(dāng)作一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，半球面上的其它點(diǎn)為非無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。大圓C為無窮遠(yuǎn)直線。半球面上的大圓弧為普通直線，相交于C上同一點(diǎn)的半大圓弧就是平行直線。如果把仿射直線上的非無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)等同看待而不加區(qū)分，那么這條直線就叫做射影直線。射影直線是一條封閉直線，通常用圓作為射影直線的模型。在仿射平面上，如果對于普通元素和無窮遠(yuǎn)元素不加區(qū)分，即可得到射影平面（二維射影空間）。射影平面也是封閉的。因?yàn)樯溆爸本€是封閉的，一個(gè)點(diǎn)不能把它分成兩部分，要兩個(gè)不同的點(diǎn)才能把射影直線分成兩段。射影直線上的三個(gè)點(diǎn)，不能排成唯一的順序。同樣，射影平面也與歐氏平面很不相同。在歐氏平面上一條直線可以把平面分成兩個(gè)區(qū)域。在射影平面上，一條直線并不能把該平面分成兩個(gè)區(qū)域。因?yàn)檫B接兩個(gè)點(diǎn)的線段有兩個(gè)，其中只有一個(gè)線段與另一直線相交。在歐氏平面上，兩條相交直線可以把平面分成四個(gè)區(qū)域。而在射影平面上，由于直線是封閉的，而二直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以兩直線只能把射影平面分成兩個(gè)區(qū)域。在射影平面上，兩個(gè)不同的點(diǎn)決定一條直線，兩條不同的直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。四解決初等問題問題的幾何思想1.變換思想：利用正交變換、仿射變換及射影變換下不變性質(zhì)和不變量解決幾何問題2.對偶原則：射影平面的特性3.二次曲線理論：仿射變換意義下的二次曲線和歐式幾何中二次曲線分類的一致性4.調(diào)和性理論：完全四點(diǎn)形與完全四線形的射影性質(zhì)五 一個(gè)問題的高觀點(diǎn)證明設(shè)ABC，L，M，N三點(diǎn)分別為邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，求證三條中線AL，BM，CN交于一點(diǎn)。ACBLMABCLMNRQPOABCLMNPO圖（1） 圖（2） 圖(3)1.向量方法的證明解析幾何是以向量代數(shù)為工具，利用向量的基本特性和基本運(yùn)算性質(zhì)來解決幾何問題。運(yùn)用向量代數(shù)證明幾何問題的方法稱為向量證明法。向量也稱向量，它是既有大小又有方向的量.因此兩個(gè)向量相等就意味著方向相同并且模長相等，如果這兩個(gè)向量有共同的始點(diǎn)，那么它們的終點(diǎn)一定重合。利用這一點(diǎn)，往往可以證明共點(diǎn)問題。下面給出向量方法的證明：證明 如圖（1），設(shè)AL與BM交于點(diǎn)G，并設(shè)，為ABC外任一點(diǎn)，則而，帶入（1）和（2）兩個(gè)式子，則有比較（3）和（4），由于關(guān)于的表示系數(shù)唯一，就有所以若設(shè)AL與CN交于點(diǎn)，則同理可證因此與重合，從而得三中線共點(diǎn)于G。證畢。2.利用完全四點(diǎn)形調(diào)和性的證明在射影平面上，給定無三點(diǎn)共線的四個(gè)點(diǎn)，以及連結(jié)任意兩點(diǎn)的六條直線所組成的圖形叫完全四點(diǎn)形。這四個(gè)點(diǎn)叫頂點(diǎn)，六條直線叫邊。沒有公共頂點(diǎn)的兩邊叫對邊,三對對邊的交點(diǎn)稱為對邊點(diǎn)。對于完全四點(diǎn)形，在每條邊上都存在調(diào)和共軛點(diǎn)列（也就是它們的交比值為）。其中兩個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)里，一個(gè)是對邊點(diǎn)，另一個(gè)是另外兩個(gè)對邊點(diǎn)的連線和這邊的交點(diǎn)。另外,若共線的四個(gè)點(diǎn)調(diào)和共軛，即交比值為1時(shí)，如果一個(gè)點(diǎn)的第四調(diào)和點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則該點(diǎn)就是另兩個(gè)點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)。下面就給出運(yùn)用完全四點(diǎn)形調(diào)和性的證明：證明如圖（2），設(shè)BM，CN交于點(diǎn)O，連AO交BC于。因?yàn)镸，N是AC，AB的中點(diǎn)，設(shè)MN與BC交于點(diǎn)，那么在完全四點(diǎn)形MCBN中，在BC邊上存在調(diào)和點(diǎn)列，即因?yàn)辄c(diǎn)的第四調(diào)和點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以為線段BC的中點(diǎn)，因此從而得，也即ABC 的三條中線BM、CN、AL共點(diǎn)于O。證畢。3.利用德薩格定理的逆定理的證明德薩格定理是射影平面上的重要定理。不但德薩格定理成立,德薩格定理的逆定理也成立. 利用它們可以證明初等幾何里的共點(diǎn)或共線問題?，F(xiàn)將兩個(gè)定理的內(nèi)容敘述如下:德薩格定理:兩個(gè)三點(diǎn)形對應(yīng)