求軌跡方程的常用方法例題及變式.doc

求軌跡方程的常用方法：題型一 直接法此法是求軌跡方程最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件直接翻譯成的形式，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)，要注意軌跡方程的純粹性和完備性，即曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說曲線上所有的點(diǎn)適合這個(gè)條件而毫無例外（純粹性）；反之，適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏（完備性）。例1 過點(diǎn)任作互相垂直的兩直線和，分別交軸于點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及在軸上得，化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，此時(shí)的中點(diǎn)它也滿足方程，所以中點(diǎn)的軌跡方程為。變式1已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍。（1） 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2） 過點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)。若是的中點(diǎn)，求直線的斜率。題型二 定義法圓錐曲線定義所包含的幾何意義十分重要，應(yīng)特別重視利用圓錐曲線的定義解題，包括用定義法求軌跡方程。例2 動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與圓相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。解：根據(jù)題意，說明點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值，故點(diǎn)的軌跡是雙曲線。，故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為變式2在中，上的兩條中線長(zhǎng)度之和為39，求的重心的軌跡方程解：以線段所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1，為重心，則有點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中所求的重心的軌跡方程為題型三 相關(guān)點(diǎn)法此法的特點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)取決于已知曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，可先用來表示，再代入曲線的方程，即得點(diǎn)的軌跡方程。例3 如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程分析：從題意看動(dòng)點(diǎn)的相關(guān)點(diǎn)是，在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，所以本題適合用相關(guān)點(diǎn)法。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為在直線上，又垂直于直線，即由解得又點(diǎn)在雙曲線上，代入，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為變式3已知ABC的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求的重心的軌跡方程解：設(shè)，由重心公式，得又在拋物線上， 將，代入，得，即所求曲線方程是題型四 參數(shù)法選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，得出軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即得其普通方程，選參數(shù)時(shí)必須首先充分考慮到制約動(dòng)點(diǎn)的各種因素，然后在選取合適的參數(shù)，因?yàn)閰?shù)不同，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量的不同，常見的參數(shù)有截距、角度、斜率、線段長(zhǎng)度等。例4已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點(diǎn)，使有向線段滿足，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程解：如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)， 則由題意，得由點(diǎn)斜式得直線的方程分別為兩式相乘，消去，得這就是所求點(diǎn)M的軌跡方程變式4設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，上的動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.分析：（1）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出，進(jìn)而表示出點(diǎn)坐標(biāo)，用消參法求軌跡方程；（2）將表示成變量的二次函數(shù)。解：（1）法一：直線過點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)其斜率為，則的方程為。設(shè)，由題設(shè)可列方程為將代入并化簡(jiǎn)得：，所以于是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則消去參數(shù)得當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，也滿足方程，所以點(diǎn)的軌跡方程為。法二：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因，在橢圓上，所以得：所以當(dāng)時(shí)，有并且將代入并整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，