初一數學競賽講座(三)數字數位及數謎問題初一數學奧賽系列教程.doc

初一數學競賽講座(三)數字、數位及數謎問題一、知識要點1、整數的十進位數碼表示一般地，任何一個n位的自然數都可以表示成：122321110101010aaaaannnn其中，ai(i=1，2，n)表示數碼，且0ai9，an0.對于確定的自然數N，它的表示是唯一的，常將這個數記為N=121aaaann2、正整數指數冪的末兩位數字(1)設m、n都是正整數，a是m的末位數字，則mn的末位數字就是an的末位數字。(2)設p、q都是正整數，m是任意正整數，則m4p+q的末位數字與mq的末位數字相同。3、在與整數有關的數學問題中，有不少問題涉及到求符合一定條件的整數是多少的問題，這類問題稱為數迷問題。這類問題不需要過多的計算，只需要認真細致地分析，有時可以用“湊”、“猜”的方法求解，是一種有趣的數學游戲。二、例題精講例1、有一個四位數，已知其十位數字減去2等于個位數字，其個位數字加上2等于其百位數字，把這個四位數的四個數字反著次序排列所成的數與原數之和等于9988，求這個四位數。分析：將這個四位數用十進位數碼表示，以便利用它和它的反序數的關系列式來解決問題。解：設所求的四位數為a103+b102+c10+d，依題意得：(a103+b102+c10+d)+(d103+c102+b10+a)=9988(a+d)103+(b+c)102+(b+c)10+(a+d)=9988比較等式兩邊首、末兩位數字，得a+d=8，于是b+c18又c-2=d，d+2=b，b-c=0從而解得：a=1，b=9，c=9，d=7故所求的四位數為1997評注：將整數用十進位數碼表示，有助于將已知條件轉化為等式，從而解決問題。例2一個正整數N的各位數字不全相等，如果將N的各位數字重新排列，必可得到一個最大數和一個最小數，若最大數與最小數的差正好等于原來的數N，則稱N為“新生數”，試求所有的三位“新生數”。分析：將所有的三位“新生數”寫出來，然后設出最大、最小數，求差后分析求出所有三位“新生數”的可能值，再進行篩選確定。解：設N是所求的三位“新生數”，它的各位數字分別為a、b、c(a、b、c不全相等)，將其各位數字重新排列后，連同原數共得6個三位數：cbacabbcabacacbabc,，不妨設其中的最大數為abc，則最小數為cba。由“新生數”的定義，得N=caabccbacbaabc991010010100由上式知N為99的整數倍，這樣的三位數可能為：198，297，396，495，594，693，792，891，990。這9個數中，只有954-459=495符合條件。故495是唯一的三位“新生數”評注：本題主要應用“新生數”的定義和整數性質，先將三位“新生數”進行預選，然后再從中篩選出符合題意的數。這也是解答數學競賽題的一種常用方法。例3從1到1999，其中有多少個整數，它的數字和被4整除？將每個數都看成四位數(不是四位的，在左面補0)，0000至1999共2000個數。千位數字是0或1，百位數字從0到9中選擇，十位數字從0到9中選擇，各有10種。在千、百、十位數字選定后，個位數字在2到9中選擇，要使數字和被4整除，這時有兩種可能：設千、百、十位數字和為a，在2，3，4，5中恰好有一個數b，使a+b被4整除(a+2、a+3、a+4、a+5除以4，余數互不相同，其中恰好有一個余數是0，即相應的數被4整除)；在6，7，8，9中也恰好有一個數c(=b+4)，使a+c被4整除。因而數字和被4整除的有：210102=400個再看個位數字是0或1的數。千位數字是0或1，百位數字從0到9中選擇，在千、百、個位數字選定后，十位數字在2到9中選擇。與上面相同，有兩種可能使數字和被4整除。因此數字和被4整除的又有：22102=80個。在個位數字、十位數字、千位數字均為0或1的數中，百位數字在2到9中選擇。有兩種可能使數字和被4整除。因此數字和被4整除的又有：2222=16個。最后，千、百、十、個位數字為0或1的數中有兩個數，數字和被4整除，即1111和0000，而0000不算。于是1到1999中共有400+80+16+1=497個數，數字和被4整除。例4圓上有9個數碼，已知從某一位起把這些數碼按順時針方向記下，得到的是一個9位數并且能被27整除。證明：如果從任何一位起把這些數碼按順時針方向記下的話，那么所得的一個9位數也能被27整除。分析：把從某一位起按順時針方向記下的9位數記為：9321aaaa，其能被27整除。只需證明從其相鄰一位讀起的數：1932aaaa也能被27整除即可。證明：設從某一位起按順時針方向記下的9位數為：9321aaaa依題意得：9321aaaa=987281101010aaaa能被27整除。為了證明題目結論，只要證明從其相鄰一位讀起的數：1932aaaa也能被27整除即可。1932aaaa=197382101010aaaa109321aaaa-1932aaaa=10(987281101010aaaa)-(197382101010aaaa)=101010109738291aaaa-(197382101010aaaa)=13191911100011010aaaa1100010009991100010001100011000223而999能被27整除，10003-1也能被27整除。因此，1932aaaa能被27整除。從而問題得證。評注：本題中，109-1難以分解因數，故將它化為10003-1，使問題得到順利解決。這種想辦法降低次數的思想，應注意領會掌握。例5證明：111111+112112+113113能被10整除分析：要證明111111+112112+113113能被10整除，只需證明111111+112112+113113的末位數字為0，即證111111，112112，113113三個數的末位數字和為10。證明：111111的末位數字顯然為1；112112=(1124)28，而1124的末位數字是6，所以112112的末位數字也是6；113113=(1134)28113，1134的末位數字是1，所以113113的末位數字是3；111111，112112，113113三個數的末位數字和為1+6+3=10111111+112112+113113能被10整除評注：本題是將證明被10整除轉化為求三數的末位數字和為10。解決數學問題時，常將未知的問題轉化為熟知的問題、復雜的問題轉化為簡單的問題，這是化歸思想。例6設P(m)表示自然數m的末位數，nPnPan2求199521aaa的值。解：199521aaa=112PP+222PP+199519952PP=199521199521222PPPPPP=199521199521222PP1995=10199+5，又因為連續(xù)10個自然數的平方和的末位數都是551995432119952122222222PPP=5+5=10又219961995199521PP=0199521aaa=10評注：本題用到了連續(xù)10個自然數的平方和的末位數都是5這個結論。例71111111？請找出6個不同的自然數，分別填入6個問號中，使這個等式成立。(第三屆華杯賽口試題)分析：分子為1分母為自然數的分數稱作單位分數或埃及分數，它在很多問題中經常出現。解決這類問題的一個基本等式是：11111nnnn，它表明每一個埃及分數都可以寫成兩個埃及分數之和。解：首先，1=2121從這個式子出發(fā)，利用上面給出的基本等式，取n=2可得：6131211=613121又利用上面給出的基本等式，取n=3可得：12141311=611214121再利用上面給出的基本等式，取n=4可得：20151411=611212015121最后再次利用上面給出的基本等式，取n=6可得：42171611=421711212015121即可找出2，5，20，12，7，42六個自然數分別填入6個問號中，使等式成立。評注：1、因為問題要求填入的六個自然數要互不相同，所以每步取n時要適當考慮，如：最后一步就不能取n=5，因為n=5將產生30161，而61已出現了。2、本題的答案是不唯一的，如最后一步取n=12，就可得：1=6115611312015121例8如圖，在一個正方體的八個頂點處填上1到9這些數碼中的8個，每個頂點處只填一個數碼，使得每個面上的四個頂點處所填的數碼之和都相等，并且這個和數不能被那個未被填上的數碼整除。求所填入的8個數碼的平方和。(第12屆“希望杯”數學競賽培訓題)解：設a是未填上的數碼，s是每個面上的四個頂點處所填的數碼之和，由于每個頂點都屬于3個面，所以6s=3(1+2+3+4+5+6+7+8+9)-3a即6s=345-3a，于是2s=45-a，可以斷定a是奇數而a不整除s，所以a只能是7，則填入的8個數碼是1，2，3，4，5，6，8，9，它們的平方和是：12+22+32+42+52+62+82+92=236例9在右邊的加法算式中，每個表示一個數字，任意兩個數字都不同。試求A和B乘積的最大值。+)AB分析：先通過運算的進位，將能確定的確定下來，再來分析求出A和B乘積的最大值。解：設算式為：abc+)defghAB顯然，g=1，d=9，h=0a+c+f=10+B，b+c=9+A,A62(A+B)+19=2+3+4+5+6+7+8=35，A+B=8要想AB最大，A6，取A=5，B=3。此時b=6,e=8,a=2,c=4,f=7,故AB的最大值為15.評注：本題是通過正整數的十進制的基本知識先確定g，d，h，然后再通過分析、觀察得出A、B的關系，最后求出AB的最大值。例10在一種游戲中，魔術師請一個人隨意想一個三位數abc。并請這個人算出5個數acb、bac、bca、cab、cba的和N，把N告訴魔術師，于是魔術師就能說出這個人所想的數abc?，F在設N=3194，請你做魔術師，求出數abc來。(第四屆美國數學奧林匹克試題)解：將abc也加到和N上，這樣a、b、c就在每一位上都恰好出現兩次，所以有abc+N=222(a+b+c)從而3194222(a+b+c)a1，由123aaa減去321aaa得一個三位