自考核心精華考點 自考04184線性代數(shù)（經(jīng)管類）筆記-自考資料.doc

完整版 請聯(lián)系 QQ:1273114568 索??！ 知識改變命運 ，夢想成就未來！ 更多資料請聯(lián)系 QQ： 1273114568 寶劍鋒從磨礪出 ,梅 花香自苦寒來 線性代數(shù)（經(jīng)管類） 劉吉佑、徐誠浩 主編， 武漢大學出版社 2006 年版 第一章 行列式 1.1 行列式的定義 1.2 行列式行 (列 )展開 1.3 行列式的性質(zhì)與計算 1.3 克拉默法則 第二章 矩陣 2.1 線性方程組與矩陣的定義 2.2 矩陣運算 2.3 分陣的逆矩陣 2.4 分塊矩陣 2.5 矩陣的初等變換與初等方陣 2.6 矩陣的秩 2.7 矩陣與線性方程組 第三章 向量空間 3.1 n 維向量概念及其線性運算 3.2 線性相關(guān)與線性無關(guān) 3.3 向量組的秩 3.4 向量空間 第四章 線性方程組 4.1 齊次線性方程組 4.2 非齊次線性方程組 第五章 特征值與特征向量 5.1 特征值與特征向量 5.2 方陣的相似變換 5.3 向量內(nèi)積和正交矩陣 5.4 實對稱矩陣的相似標準形 第六章 實二次型 6.1 實二次型及其標準形 6.2 正這二次型和正定矩陣 第一部分 行列式 本章概述 行列式在線性代數(shù)的考試中占很大的比例。從考試大綱來看。雖然只占 13%左右。但在其他章。的試題中都有必須用到行列式計算的內(nèi)容。故這部分試題在試卷中所占比例遠大于 13%。 1.1 行列式的定義 1.1.1 二階行列式與三階行列式的定義 一、二元一次方程組和二階行列式 例 1.求二元一次方程組 的解。 解：應(yīng)用消元法得 當 時。得 同理得 定義 稱 為二階行列式。稱為二階行列式的值。 記為 。 于是 由此可知。若 。則二元一次方程組的解可表示為： 例 2 二階行列式的結(jié)果是一個數(shù)。我們稱它為該二階行列式的值。 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 二、三元一次方程組和三階行列式 ( 中間部分略 ) 完整版請 QQ： 1273114568 索取 考慮三元一次方程組 完整版 請聯(lián)系 QQ:1273114568 索取！ 知識改變命運 ，夢想成就未來！ 更多資料請聯(lián)系 QQ： 1273114568 寶劍鋒從磨礪出 ,梅 花香自苦寒來 希望適當選擇 。使得當后將 消去。得一元一次方程 若 ，能解出 其中 要滿足 為解出 。在（ 6），（ 7）的兩邊都除以得 這是以 為未知數(shù)的二元一次方程組。 如需精美完整排版 ，請 QQ: 1273114568 定義 1.1.1 在三階行列式 中，稱 于是原方程組的解為 ； 類似地得 ( 中間部分略 ) 完整版請 QQ： 1273114568 索取 完整版 請聯(lián)系 QQ:1273114568 索??！ 知識改變命運 ，夢想成就未來！ 更多資料請聯(lián)系 QQ： 1273114568 寶劍鋒從磨礪出 ,梅 花香自苦寒來 這就將二元一次方程組解的公式推廣到了三元一次方程組。 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 例 3 計算 例 4 （ 1） （ 2） 例 5 當 x 取何值時， ？ 為將此結(jié)果推廣到 n 元一次方程組。需先將二階、三階行列式推廣到 n 階行列式。 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 1.1.2 階行列式的定義 定義 1.1.2 當 n時，一階行列式就是一個數(shù)。當時，稱 為 n 階行列式。 定義 （其所在的位置可記為 的余子式 的代數(shù)余子式 。 定義 為該 n階行列式的值。即 。 完整版 請聯(lián)系 QQ:1273114568 索?。?知識改變命運 ，夢想成就未來！ 更多資料請聯(lián)系 QQ： 1273114568 寶劍鋒從磨礪出 ,梅 花香自苦寒來 容易看出，第 j 列元素的余子式 和代數(shù)余子式都與第 j 列元素無關(guān)；類似地，第 i 行元素的余子式和代數(shù)余子式 都與第 i 行元素無關(guān)。 n 階行列式為一個數(shù)。 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 例 6 求出行列式 第三列各元素的代數(shù)余子式。 例 7 （上三角行列式） 1.2 行列式按行（列）展開 定理 1.2.1（行列式按行（列）展開定理） 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 例 1 下三角行列式主對 角線元素的乘積。 例 2 計算行列式 例 3 求 n 階行列式 小結(jié) 1.行列式中元素 的余子式 和代數(shù)余子式 的定義。 2.二階行列式的定義。 3.階行列式的定義。即。 完整版 請聯(lián)系 QQ:1273114568 索?。?知識改變命運 ，夢想成就未來！ 更多資料請聯(lián)系 QQ： 1273114568 寶劍鋒從磨礪出 ,梅 花香自苦寒來 4.行列式按行（列）展開的定理和應(yīng)用這個定理將行列式降階的方法。 1.3 行列式的性質(zhì)及計算 1.3.1 行列式的性質(zhì) 給定行列式 將它的行列互換所得的新行列式稱為 D 的轉(zhuǎn)置行列式，記為 或 。 性質(zhì) 1 轉(zhuǎn)置的行列式與原行列式相等。即 性質(zhì) 2 用數(shù) k 乘行列式 D 的某一行（列）的每個元素所得的新行列式等于 kD。 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 推論 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因數(shù)，則可將公因數(shù)提到行列式之外。 推論 2 若行列式中某一行（列）的元素全為零，則行列式的值為 0。 性質(zhì) 3 行列式的兩行（列）互換，行列式的值改變符號。 以二階為例 設(shè) 推論 3 若行列式某兩行（列），完全相同，則行列式的值為零。 證 設(shè) 中，第 i 行與第 j行元素完全相同，則 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 所以， D=0。 性質(zhì) 4 若行列式某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則行 列式的值為零。 性質(zhì) 5 若行列式中某一行（列）元素可分解為兩個元素的和，則行列式可分解為兩個行列式的和，即 只要看 完整版 請聯(lián)系 QQ:1273114568 索??！ 知識改變命運 ，夢想成就未來！ 更多資料請聯(lián)系 QQ： 1273114568 寶劍鋒從磨礪出 ,梅 花香自苦寒來 注意 性質(zhì)中是指某一行（列）而不是每一行。 可見 性質(zhì) 6 把行列式的某一行（列）的每個元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不變。 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 證 . 1.3.2 行列式的計算 人們認識事物的基本方法是化未知為已知。 對行列式，先看何為已知，（ 1）二，三階行列式的計算；（ 2）三角形行列式的計算。 因此，我們計算行列式的基本方法是利 用行列式的性質(zhì)把行列式化為三角形，或降階。 例 1 計算 在行列 式計算中如何造零是個重要技巧，主要是應(yīng)用性質(zhì) 6。 如需精美完整排版，請 QQ ( 中間部分略 ) 完整版請 QQ： 1273114568 索取 : 1273114568 例 2 計算 例 3 計算 完整版 請聯(lián)系 QQ:1273114568 索?。?知識改變命運 ，夢想成就未來！ 更多資料請聯(lián)系 QQ： 1273114568 寶劍鋒從磨礪出 ,梅 花香自苦寒來 例 4 計算 例 5 計算 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 擴展 計算 例 6 計算 方法 1 方法 2 擴展：計算 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 例 7 計算 完整版 請聯(lián)系 QQ:1273114568 索?。?知識改變命運 ，夢想成就未來！ 更多資料請聯(lián)系 QQ： 1273114568 寶劍鋒從磨礪出 ,梅 花香自苦寒來 例 8 計算 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 擴展：計算 例 9 計算 n 階行列式 解 按第一列展開，得 例 10 范德蒙行列式 . 例 11 計算 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 例 12 證明 小結(jié) 1.準確敘述行列式的性質(zhì)； 2.應(yīng)用行列式的性質(zhì)計算行列式的方法 （ 1）低階的數(shù)字行列式和簡單的文字行列式； （ 2）各行元素之和為相同的值的情況 （ 3）有一行（列）只有一個或兩個非零元的情況 1.4 克拉默法則 這一節(jié)將把二元一次方程組解的公式推廣到 n 個未知數(shù)， n 個方程的線性方程組。為此先介紹下面的定理。 定理 1.4.1 對于 n 階行列式 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 完整版 請聯(lián)系 QQ:1273114568 索?。?知識改變命運 ，夢想成就未來！ 更多資料請聯(lián)系 QQ： 1273114568 寶劍鋒從磨礪出 ,梅 花香自苦寒來 證 由定理 1.2.1 知 ，注意改變第二列的元素，并不改變第二列元素的代數(shù)余子式 類似地，可證明該定理的剩余部分。 定理 1.4.2 如果 n 個未 ( 中間部分略 ) 完整版請 QQ： 1273114568 索取 知數(shù)， n 個方程的線性方程組 的系數(shù)行列式 如需精美完整排版，請 QQ: 1273114568 則方程組有惟一的解 : 其中 證明從略 例 1