概率論基本公式.doc

_概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本公式第一部分 概率論基本公式1、例：證明：2、對(duì)偶率：3、概率性率：(1) (2)（3）4、古典概型5、條件概率例：有三個(gè)罐子，1號(hào)裝有2紅1黑共3個(gè)球，2號(hào)裝有3紅1黑4個(gè)球，3號(hào)裝有2紅2黑4個(gè)球，某人隨機(jī)從其中一罐，再?gòu)脑摴拗腥稳∫粋€(gè)球，（1）求取得紅球的概率；（2）如果取得是紅球，那么是從第一個(gè)罐中取出的概率為多少？6、獨(dú)立事件（1）P(AB)=P(A)P(B),則稱A、B獨(dú)立。(2)伯努利概型如果隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：事件A發(fā)生或事件A不發(fā)生，則稱為伯努利試驗(yàn)，即：P(A)=p, (0p1,p+q=1)相同條件獨(dú)立重復(fù)n次，稱之為n重伯努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱伯努利概型。伯努利定理： （k=0,1,2） 事件A首次發(fā)生概率為：例：設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1）進(jìn)行5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2）進(jìn)行了7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。第二章7、常用離散型分布（1）兩點(diǎn)分布：若一個(gè)隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能的取值，且其分布為： （0p0）都是常數(shù)。分布函數(shù)為：。當(dāng)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，概率密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：定理：設(shè)其期望E(X)= ,D(X)= 。9、隨機(jī)變量函數(shù)的分布（1）離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布一般方法：先根據(jù)自變量X的所有可能取值確定因變量Y的所有可能值，然后通過(guò)Y的每一個(gè)可能的取值(i=1,2,)來(lái)確定Y的概率分布。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布方法：設(shè)已知X的分布函數(shù)或者概率密度，則隨機(jī)變量Y=g(X)的分布函數(shù),其中，進(jìn)而可通過(guò)Y的分布函數(shù)，求出Y的密度函數(shù)。例：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，求隨機(jī)變量10、設(shè)隨機(jī)變量XN(,Y=也服從正態(tài)分布.即。11、聯(lián)合概率分布(1)離散型聯(lián)合分布：XY PX=p PY= 1(2)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布：例：設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)求，D(X+Y).解：當(dāng)0x2時(shí)由，得：，當(dāng)x2時(shí)，由，所以，同理可求得:； E(X)=,由對(duì)稱性同理可求得，E(Y)=7/6。因?yàn)镋(XY)= 所以，cov（X,Y）= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)=-1/36。同理得D(Y)=,所以，=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=12、條件分布：若13、隨機(jī)變量的獨(dú)立性：由條件分布設(shè)A=Yy,且PYy0,則：，設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布概率為F（x,y），邊緣分布概率為，若對(duì)于任意x、y有：，即：，則稱X和Y獨(dú)立。14、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為,邊緣概率密度函數(shù)為，則對(duì)于一切使0的x,定義在X=x的條件下Y的條件密度函數(shù)為：，同理得到定義在Y=y條件下X的條件概率密度函數(shù)為：，若=幾乎處處成立，則稱X,Y相互獨(dú)立。例：設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為：，求（1）確定常數(shù)c；（2）X,Y的邊緣概率密度函數(shù)；（3）聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);(4)PYX;(5)條件概率密度函數(shù)；（6）PX2|Y0，D(Y)0，則當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a，b（），使：附注：設(shè)e=EY-(,稱為用來(lái)近似Y的均方差，則：設(shè)D(X)0，D(Y)0,有：使均方誤差達(dá)到最小。18、切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=,方差D(X)=,則對(duì)于給定任意正數(shù)，有：19、大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X,X,X相互獨(dú)立，且具有相同的期望和方差：，i=1,2,3，則對(duì)于任意0,有：20、中心極限定理；（1）設(shè)隨機(jī)變量X,X,X相互獨(dú)立，服從同一分布，且， i=1,2,3，則：一個(gè)結(jié)論：(2)棣莫佛拉普拉斯定理：設(shè)隨機(jī)變量X,X,X相互獨(dú)立，并且都服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有：第二部分 數(shù)理統(tǒng)計(jì)21、由于樣本方差（或樣本標(biāo)準(zhǔn)差）很好的反應(yīng)總體方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）的信息，因此，當(dāng)方差未知時(shí)，常用去估計(jì)，而總體標(biāo)準(zhǔn)差則常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S去估計(jì)。22、常用統(tǒng)計(jì)分布（1）分位數(shù)：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x）,對(duì)給定的實(shí)數(shù)22、抽樣分布A、單正態(tài)總體抽樣分布（1）設(shè)總體則有：B、雙正態(tài)總體抽樣分布：23、參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)：，需要構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)模海缓笥^察值：來(lái)估計(jì)，稱為的估計(jì)量，稱為的估計(jì)值，估計(jì)量和估計(jì)值統(tǒng)稱為點(diǎn)估計(jì)。設(shè)是未知參數(shù)的估計(jì)量，若,則稱為的無(wú)偏估計(jì)量，24、點(diǎn)估計(jì)常用方法（1）矩估計(jì)法：先求E（X）,得到一個(gè)E(X)與未知參數(shù)的式子，用E(X)表示未知參數(shù)，再把E(X)用代替即可。例：已知總體X的概率分布為求參數(shù)的矩估計(jì)。（2）最大似然估計(jì)：一般方法：a、寫出最大似然函數(shù)L(;或c、判斷并求出最大值點(diǎn)，在最大值點(diǎn)得表達(dá)式中，用樣本均值代入即得到參數(shù)的最大釋然估計(jì)值。25、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求，充分考慮和利用已知的背景知識(shí)，提出原假設(shè)及備擇假設(shè)；（2）給定顯著水平以及樣本容量n；（3）確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U，并在原假設(shè)成立的前提下導(dǎo)出U的概率分布，要求U的分布不依賴于任何未知參數(shù)；（4）確定拒絕域，即依據(jù)直觀分析先確定拒絕域形式，然后根據(jù)給定的顯著性水平和U的分布，由P拒絕|為真=，確定拒絕域的臨界值，從而確定拒絕域W；（5）做一次具體抽樣，根據(jù)得到的樣本觀察值和所得的拒絕域，對(duì)假設(shè)做出拒絕或接受的判斷。例：水泥廠用包裝機(jī)包裝水泥，每袋額定重量50千克，某日開(kāi)工后隨機(jī)抽查了9袋，得其樣本均值為499，樣本方差為029假設(shè)每袋重量服從正態(tài)分布，問(wèn)包裝機(jī)工作是否正常（）？（已知解