數(shù)學定理【圓,三角形】.doc

數(shù)學定理【圓，三角形】1 費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離；不在等邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120時，在三角形內(nèi)必存在一點，它對三條邊所張的角都是120，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當三角形有一內(nèi)角不小于120時，此角的頂點即為費馬點2 拿破侖三角形：在任意ABC的外側，分別作等邊ABD、BCE、CAF，則AE、AB、CD三線共點，并且AEBFCD，這個命題稱為拿破侖定理 以ABC的三條邊分別向外作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C1 、A1 、B1的圓心構成的外拿破侖的三角形，C1 、A1 、B1三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形；ABC的三條邊分別向ABC的內(nèi)側作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C2 、A2 、B2的圓心構成的內(nèi)拿破侖三角形，C2 、A2 、B2三圓共點，內(nèi)拿破侖三角形也是一個等邊三角形這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心 3 九點圓（Nine point round或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: （1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; （2）九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點; （3）三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切費爾巴哈定理4 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上5 歐拉（Euler）公式：設三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R22Rr6 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和7 重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設G為ABC的重心，連結AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則；（2）設G為ABC的重心，則；（3）設G為ABC的重心，過G作DEBC交AB于D，交AC于E，過G作PFAC交AB于P，交BC于F，過G作HKAB交AC于K，交BC于H，則；（4）設G為ABC的重心，則；（P為ABC內(nèi)任意一點）；到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即最小； 三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為ABC的重心）8 垂心：三角形的三條高線的交點；垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；（2）垂心H關于ABC的三邊的對稱點，均在ABC的外接圓上；（3）ABC的垂心為H，則ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓；（4）設O，H分別為ABC的外心和垂心，則9 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等； 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設I為ABC的內(nèi)心，則I到ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設I為ABC的內(nèi)心，則；（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線交ABC外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為ABC的內(nèi)心；（4）設I為ABC的內(nèi)心， 平分線交BC于D，交ABC外接圓于點K，則；（5）設I為ABC的內(nèi)心，I在上的射影分別為，內(nèi)切圓半徑為，令，則；10 外心：三角形的三條中垂線的交點外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點距離相等；（2）設O為ABC的外心，則或；（3）；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和11 旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點旁切圓圓心；設ABC的三邊令，分別與外側相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為旁心性質(zhì)：（1）（對于頂角B，C也有類似的式子）；（2）；（3）設的連線交ABC的外接圓于D，則（對于有同樣的結論）；（4）ABC是IAIBIC的垂足三