數(shù)學(xué)定理【圓,三角形】.doc

數(shù)學(xué)定理【圓，三角形】1 費(fèi)馬點(diǎn)：定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120時(shí)，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對三條邊所張的角都是120，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120時(shí)，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)2 拿破侖三角形：在任意ABC的外側(cè)，分別作等邊ABD、BCE、CAF，則AE、AB、CD三線共點(diǎn)，并且AEBFCD，這個(gè)命題稱為拿破侖定理 以ABC的三條邊分別向外作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C1 、A1 、B1的圓心構(gòu)成的外拿破侖的三角形，C1 、A1 、B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形；ABC的三條邊分別向ABC的內(nèi)側(cè)作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C2 、A2 、B2的圓心構(gòu)成的內(nèi)拿破侖三角形，C2 、A2 、B2三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中心 3 九點(diǎn)圓（Nine point round或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: （1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; （2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn); （3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切費(fèi)爾巴哈定理4 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上5 歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R22Rr6 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和7 重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，則；（2）設(shè)G為ABC的重心，則；（3）設(shè)G為ABC的重心，過G作DEBC交AB于D，交AC于E，過G作PFAC交AB于P，交BC于F，過G作HKAB交AC于K，交BC于H，則；（4）設(shè)G為ABC的重心，則；（P為ABC內(nèi)任意一點(diǎn)）；到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即最??； 三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為ABC的重心）8 垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)；垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；（2）垂心H關(guān)于ABC的三邊的對稱點(diǎn)，均在ABC的外接圓上；（3）ABC的垂心為H，則ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則9 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點(diǎn)內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等； 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則I到ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，則；（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線交ABC外接圓于點(diǎn)K，I為線段AK上的點(diǎn)且滿足KI=KB，則I為ABC的內(nèi)心；（4）設(shè)I為ABC的內(nèi)心， 平分線交BC于D，交ABC外接圓于點(diǎn)K，則；（5）設(shè)I為ABC的內(nèi)心，I在上的射影分別為，內(nèi)切圓半徑為，令，則；10 外心：三角形的三條中垂線的交點(diǎn)外接圓圓心，即外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；（2）設(shè)O為ABC的外心，則或；（3）；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和11 旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點(diǎn)旁切圓圓心；設(shè)ABC的三邊令，分別與外側(cè)相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為旁心性質(zhì)：（1）（對于頂角B，C也有類似的式子）；（2）；（3）設(shè)的連線交ABC的外接圓于D，則（對于有同樣的結(jié)論）；（4）ABC是IAIBIC的垂足三