清北學(xué)堂講義 高中物理競(jìng)賽解題方法 三、微元法

物理奧賽三第 1 頁(yè)   高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法  三、微元法  方法簡(jiǎn)介  微元法是分析、解決物理問(wèn)題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過(guò)程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在使用微元法處理問(wèn)題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過(guò)程”，而且每個(gè)“元過(guò)程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過(guò)程”，然后再將“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問(wèn)題求解。使用此方法會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用。   賽題精講  例 1：如圖 3 1 所示，一個(gè)身高為 h 的人在燈以悟空速度 v 沿水平直線行走。設(shè)燈距地面高為 H，求證人影的頂端 C 點(diǎn)是做勻速直線運(yùn)動(dòng)。  解析 ：該題不能用速度分解求解，考慮采用“微元法”。  設(shè)某一時(shí)間人經(jīng)過(guò) AB 處，再經(jīng)過(guò)一微小過(guò)程   t（ t 0），則人由 AB 到達(dá) A B，人影頂端  C 點(diǎn)到達(dá) C點(diǎn)，由于 SAA =v t 則人影頂端的  移動(dòng)速度 hH Hvt ShHHtSv AAtCCtC 00 limlim 可見 vc 與所取時(shí)間 t 的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，所以人影的頂  端 C 點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng) . 例 2：如圖 3 2 所示，一個(gè)半徑為 R 的四分之一光滑球  面放在水 平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其 A 端固定在球面的頂點(diǎn)， B 端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位  長(zhǎng)度的質(zhì)量為 .試求鐵鏈 A 端受的拉力 T. 解析 ：以鐵鏈為研究對(duì)象，由由于整條鐵鏈的長(zhǎng)度不能  忽略不計(jì)，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點(diǎn)，要分析鐵鏈的受  力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)  點(diǎn)，分析每一小段鐵邊的受力，根據(jù)物體的平衡條件得出  整條鐵鏈的受力情況 . 在鐵鏈上任取長(zhǎng)為 L 的一小段（微元）為研究對(duì)象，     清北學(xué)堂 物理奧賽三第 2 頁(yè)  其受力分析如圖 3 2 甲所示 .由于該元處于靜止?fàn)顟B(tài)，  所以受力平衡，在切線方向上應(yīng)滿足：   TGTT c o s   c o sc o s LgGT  由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大   T ，所以整個(gè)鐵鏈對(duì) A 端的拉力是各段上 T 的和，  即   c o sc o s LgLgTT  觀察  cosL 的意義，見圖 3 2 乙，由于 很小，  所以 CD OC， OCE= Lcos 表示 L 在豎直方向上的投影 R，  所以   RL cos   可得鐵鏈 A 端受的拉力     gRLgT c o s 例 3： 某行星圍繞太陽(yáng) C 沿圓弧軌道運(yùn)行，它的近日點(diǎn)  A 離太陽(yáng)的距離為 a，行星經(jīng)過(guò)近日點(diǎn) A 時(shí)的速度為 Av ，  行星的遠(yuǎn)日點(diǎn) B 離開太陽(yáng)的距離為 b，如圖 3 3 所示，  求它經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn) B 時(shí)的速度 Bv 的大小 . 解析： 此題可根據(jù)萬(wàn)有引力提供行星的向心力求解 .也  可根據(jù)開普勒第二定律，用微元法求解 . 設(shè)行星在近日點(diǎn) A 時(shí)又向前運(yùn)動(dòng)了極短的時(shí)間 t，由于時(shí)間極短可以認(rèn)為行星在 t 時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度為 Av ，半徑為 a，可以得到行星在 t 時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積    atvSAa 21     同理，設(shè)行星在經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)日點(diǎn) B 時(shí)也運(yùn)動(dòng)了相同的極短時(shí)間 t，  則也有   btvSBb 21     由開普勒第二定律可知： Sa=Sb      即得   AB vbav        此題也可用對(duì)稱法求解 . 例 4： 如圖 3 4 所示，長(zhǎng)為 L 的船靜止在平靜的水面上，  立于船頭的人質(zhì)量為 m，船的質(zhì)量為 M，不計(jì)水 的阻力，  人從船頭走到船尾的過(guò)程中，問(wèn)：船的位移為多大？  解析： 取人和船整體作為研究系統(tǒng)，人在走動(dòng)過(guò)程中，  系統(tǒng)所受合外力為零，可知系統(tǒng)動(dòng)量守恒 .設(shè)人在走動(dòng)過(guò)  程中的 t 時(shí)間內(nèi)為勻速運(yùn)動(dòng)，則可計(jì)算出船的位移 . 設(shè) v1、 v2 分別是人和船在任何一時(shí)刻的速率，則有  21 Mvmv      兩邊同時(shí)乘以一個(gè)極短的時(shí)間 t，  有  tMvtmv 21    由于時(shí)間極短，可以認(rèn)為在這極短的時(shí)間內(nèi)人和船的速率是不變的，     清北學(xué)堂 物理奧賽三第 3 頁(yè)  所以人和船位移大小分別為 tvs 11 ， tvs 22     由此將式化為    21 sMsm    把所有的元位移分別相加有   21 sMsm    即  ms1=Ms2   此式即為質(zhì)心不變?cè)?.  其中 s1、 s2 分別為全過(guò)程中人和船對(duì)地位移的大小，   又因?yàn)? L=s1+s2      由、兩式得船的位移   LmMms 2 例 5： 半徑為 R 的光滑球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量  為 M 的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈，原長(zhǎng)為 R，且彈性繩圈  的勁度系數(shù)為 k，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，  使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖 3 5 所示，若  平衡時(shí)彈性繩圈長(zhǎng)為 R2 ，求彈性繩圈的勁度系數(shù) k. 解析： 由于整個(gè)彈性繩圈的大小不能忽略不計(jì)，彈性繩圈  不能看成質(zhì)點(diǎn)，所以應(yīng)將彈性繩圈分割成許多小段，其中  每一小段 m 兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力 F.在  彈性繩圈上任取一小段質(zhì)量為 m 作為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析 .但是 m 受的 力不在同一平面內(nèi)，可以從一個(gè)合適的角度觀察 .選取一個(gè)合適的平面進(jìn)行受力分析，這樣可以看清楚各個(gè)力之間的關(guān)系 .從正面和上面觀察，分別畫出正視圖的俯視圖，如圖 3 5 甲和 2 3 5 乙 . 先看俯視圖 3 5 甲，設(shè)在彈性繩圈的平面上， m 所對(duì)的圓心角是 ，則每一小段的質(zhì)量   Mm 2     m 在該平面上受拉力 F 的作用，合力為  2si n2)2c o s (2 FFT  因?yàn)楫?dāng) 很小時(shí)， sin    所以 FFT 22  再看正視圖 3 5 乙， m 受重力 mg，支持力 N，  二力的合力與 T 平衡 .即   tan mgT  現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為  RRr 2222    所以   4522si n Rr   1tan     清北學(xué)堂 物理奧賽三第 4 頁(yè)  因此 T= Mgmg 2   、聯(lián)立， FMg2 ，  解得彈性繩圈的張力為：  2MgF  設(shè)彈性繩圈的伸長(zhǎng)量為 x   則  RRRx )12(2  所以繩圈的勁度系數(shù)為：R MgRMgxFk 22 2 )12()12(2 例 6： 一質(zhì)量為 M、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為 r，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為 T，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度 . 解析 ：因?yàn)橄蛐牧?F=mr 2，當(dāng) 一定時(shí)， r 越大，向心力越大，所以要想求最大張力 T 所對(duì)應(yīng)的角速度 ， r 應(yīng)取最大值 . 如圖 3 6 所示，在圓環(huán)上取一小段 L，對(duì)應(yīng)的圓心角  為 ，其質(zhì)量可表示為 Mm 2 ，受圓環(huán)對(duì)它的張  力為 T，則同上例分析可得  22sin2 mrT  因?yàn)?很小，所以 22sin ，即   2222 MrT   解得最大角速度  MrT 2  例 7： 一根質(zhì)量為 M，長(zhǎng)度為 L 的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來(lái)，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖 3 7 所示，求鏈條下落了長(zhǎng)度 x 時(shí)，鏈條對(duì)地面的壓力為多大？  解析： 在下落過(guò)程中鏈條作用于地面的壓 力實(shí)質(zhì)就是鏈條對(duì)地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力 .根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)沖力也就等于同一時(shí)刻地面對(duì)鏈條的反作用力，這個(gè)力的沖量，使得鏈條落至地面時(shí)的動(dòng)量發(fā)生變化 .由于各質(zhì)元原來(lái)的高度不同，落到地面的速度不同，動(dòng)量改變也不相同 .我們?nèi)∧骋粫r(shí)刻一小段鏈條（微元）作為研究對(duì)象，就可以將變速?zèng)_擊變?yōu)楹闼贈(zèng)_擊 . 設(shè)開始下落的時(shí)刻 t=0，在 t 時(shí)刻落在地面上的鏈條長(zhǎng)為 x，未到達(dá)地面部分鏈條的速度為 v，并設(shè)鏈條的線密度為 .由題意可知，鏈條落至地面后，速度立即變?yōu)榱?.從 t 時(shí)刻起取很小一段時(shí)間 t，在 t 內(nèi)又有 M= x 落到地面上靜止 .地面對(duì) M 作用的沖量為  ItMgF )(   因?yàn)? 0 tMg  所以  xvvMtF 0 解得沖力：    清北學(xué)堂 物理奧賽三第 5 頁(yè)  txvF ，其中 tx 就是 t 時(shí)刻鏈條的速度 v，  故  2vF   鏈條在 t 時(shí)刻的速度 v 即為鏈條下落  長(zhǎng)為 x 時(shí)的即時(shí)速度，即 v2=2gx，代入 F 的表達(dá)式中，得  gxF 2    此即 t 時(shí)刻鏈對(duì)地面的作用力，也就是 t 時(shí)刻鏈條對(duì)地面的沖力 . 所以在 t 時(shí)刻鏈條對(duì)地面的總壓力為       .332 LM g xgxgxgxN  例 8： 一根均勻柔軟的繩長(zhǎng)為 L，質(zhì)量為 m，對(duì)折后兩端固定在一個(gè)釘子上，其中一端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點(diǎn)離釘子的距離為 x 時(shí)，釘子對(duì)繩子另一端的作用力是多大？  解析： 釘子對(duì)繩子另一端的作用力隨滑落繩的長(zhǎng)短而變化，  由此可用微元法求解 .如圖 3 8 所示，當(dāng)左邊繩端離釘子  的距離為 x 時(shí)，左邊繩長(zhǎng)為 )(21 xl ，速度  gxv 2 ，  右邊繩長(zhǎng)為 ).(21 xl   又經(jīng)過(guò)一段很短的時(shí)間 t 以后，  左邊繩子又有長(zhǎng)度 tV21 的一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了，我們就分  析這一小段繩子，這一小段繩子受到兩力：上面繩子對(duì)它的拉  力 T 和它本身的重力 lmgtv /(21 為繩子的線密度），  根據(jù)動(dòng)量定理，設(shè)向上方向?yàn)檎?   )21(0)21( vtvtgtvT  由于 t 取得很小，因此這一小 段繩子的重力相對(duì)于 T 來(lái)說(shuō)是很小的，可以忽略，  所以有       gxvT 221    因此釘子對(duì)右邊繩端的作用力為  )31(21)(21 lxmgTgxlF  例 9： 圖 3 9 中，半徑為 R 的圓盤固定不可轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)繩不可伸長(zhǎng)  但質(zhì)量可忽略，繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為 M、 m.設(shè)圓盤與  繩間光滑接觸，試求盤對(duì)繩的法向支持力線密度 . 解析： 求盤對(duì)繩的法向支持力線密度也就是求盤對(duì)繩的法向單位  長(zhǎng)度所受的支持力 .因?yàn)楸P與繩間光滑接觸，則任取一小段繩，  其兩端受的張力大小相等，又因?yàn)槔K上各點(diǎn) 受的支持力方向不同，  故不能以整條繩為研究對(duì)象，只能以一小段繩為研究對(duì)象分析求  解 .在與圓盤接觸的半圓形中取一小段繩元 L， L 所對(duì)應(yīng)的  圓心角為 ，如圖 3 9 甲所示，繩元 L 兩端的張力均為 T，  繩元所受圓盤法向支持力為 N，因細(xì)繩質(zhì)量可忽略，法向合力為    清北學(xué)堂 物理奧賽三第 6 頁(yè)  零，則由平衡條件得：  2si n22si n2si n TTTN  當(dāng) 很小時(shí)， 22sin   N=T  又因?yàn)?  L=R  則繩所受法向支持力線密度為  RTRTLNn    以 M、 m 分別為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓定律有  Mg T=Ma     T mg=ma       由、解得：  mMMmgT 2    將式代入式得：RmMMmgn )( 2 例 10： 粗細(xì)均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為 R 和 r 的兩圓環(huán)相切 .若在切點(diǎn)放一質(zhì)點(diǎn) m，恰使兩邊圓環(huán)對(duì) m 的萬(wàn)有引力的合力為零，則大小圓環(huán)的線密度必須滿足什么條件？  解析： 若要直接求整個(gè)圓對(duì)質(zhì)點(diǎn) m 的萬(wàn)有引力比較難，當(dāng)若要用到圓的對(duì)稱性及要求所受合力為零的條件，考慮大、小圓環(huán)上關(guān)于切點(diǎn)對(duì) 稱的微元與質(zhì)量 m 的相互作用，然后推及整個(gè)圓環(huán)即可求解 . 如圖 3 10 所示，過(guò)切點(diǎn)作直線交大小圓分別于 P、 Q 兩點(diǎn)，并設(shè)與水平線夾角為 ，當(dāng) 有微小增量時(shí)，則大小圓環(huán)上對(duì)應(yīng)微小線元   22 21 rLRL  其對(duì)應(yīng)的質(zhì)量分別為   21111 Rlm   22222 rlm   由于 很小，  故 m1、 m2 與 m 的距離可以認(rèn)為分別是     c o s2c o s2 21 rrRr    所以 m1、 m2 與 m 的萬(wàn)有引力分別為  2222 222121 11 )c o s2( 2,)c o s2( 2 r mRGr mGmFR mRGr mGmF 由于 具有任意性，若 F1 與 F2 的合力為零，  則兩圓環(huán)對(duì) m 的引力的合力也為零，  即    2221 )c o s2( 2)c o s2( 2 r mrGR mRG     清北學(xué)堂 物理奧賽三第 7 頁(yè)  解得大小圓環(huán)的線密度之比為：rR21 例 11： 一枚質(zhì)量為 M 的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為 v，那么火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是多少？  解析 ：火箭噴氣時(shí)，要對(duì)氣體做功，取一個(gè)很短的時(shí)間，求出此時(shí)間內(nèi)，火箭對(duì)氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率 . 選取在 t 時(shí)間 內(nèi)噴出的氣體為研究對(duì)象，設(shè)火箭推氣體的力為 F，根據(jù)動(dòng)量定理，有  F t= m v   因?yàn)榛鸺o止在空中，所以根據(jù)牛頓第三定律和平衡條件有 F=Mg 即  Mg t= m v   t= m v/Mg      對(duì)同樣這一部分氣體用動(dòng)能定理，火箭對(duì)它做的功為：   221 mvW     所以發(fā)動(dòng)機(jī)的功率  M g VMgmV mvtWP 21)/( 21 2  例 12：如圖 3 11 所示，小環(huán) O 和 O分別套在不動(dòng)的豎直  桿 AB 和 A B上，一根不可伸長(zhǎng)的繩子穿過(guò)環(huán) O，繩的  兩端分別系在 A點(diǎn)和 O 環(huán)上，設(shè)環(huán) O以恒定速度 v 向下  運(yùn)動(dòng)，求當(dāng) AOO = 時(shí)，環(huán) O 的速度 . 解析 ： O、 O之間的速度關(guān)系與 O、 O的位置有關(guān)，即與  角有關(guān)，因此要用微元法找它們之間的速度關(guān)系 . 設(shè)經(jīng)歷一段極短時(shí)間 t， O環(huán)移到 C， O 環(huán)移到 C，自 C  與 C 分別作為 O O 的垂線 C D和 CD，從圖中看出 . c o s,c o s DOCOODOC   因此 OC+O C = cos DOOD    因 極小，所以 EC ED， EC ED，  從而 OD+O D OO CC        由于繩子總長(zhǎng)度不變，故  OO CC =O C    由以上三式可得： OC+O C = cosCO    即 )1c os1( COOC    等式兩邊同除以 t 得環(huán) O 的速度為   )1cos1(0 vv 例 13：  在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和  表面張力的影響，水銀近似呈現(xiàn)圓餅形狀（側(cè)面向外凸出），過(guò)圓  餅軸線的豎直截面如圖 3 12 所示，為了計(jì)算方便，水銀和玻璃的  接觸角可按 180計(jì)算 .已知水銀密度 33 /106.13 mkg ，水  銀的表面張力系數(shù) ./49.0 mN 當(dāng)圓餅的半徑很大時(shí)，試估算其厚度 h 的數(shù)值大約為多  清北學(xué)堂 物理奧賽三第 8 頁(yè)  少？（取 1 位有效數(shù)字即可）  解析 ：若以整個(gè)圓餅狀水銀為研究對(duì)象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液體的體積不是 h 的簡(jiǎn)單函數(shù)，而且支持力 N 和重力 mg 都是未知量，方程中又不可能出現(xiàn)表面張力系數(shù)，因此不可能用整體分析列方程求解 h.現(xiàn)用微元法求解 . 在圓餅的側(cè)面取一個(gè)寬度為 x，高為 h 的體積元，如圖  3 12 甲所示，該體積元受重力 G、液體內(nèi)部作用在面  積 x h 上的壓力 F， xghxhhgSPF 22121 ，  還有上表面分界線上的張力 F1= x 和下表面分界線上的  張力 F2= x.作用在前、后兩個(gè)側(cè)面上的液體壓力互相平衡，作用在體積元表面兩個(gè)彎曲  分界上的表面張力的合力，當(dāng)體積元的寬度較小時(shí)，這兩個(gè)力也是平衡的，圖中都未畫出 . 由力的平衡條件有： 0co s 21 FFF       即  0c o s21 2 xxxgh  解得： c o s1107.2)c o s1(2 3 gh 由于  ,2c o s11,20 所以   故 2.7 10 3mh>m，碰撞彈力 N>>g，球與車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，則小球彈起后的水平速度可能是  （     ）   A gh2  B 0 C gh22  D v0 6半徑為 R 的剛性球固定在水平桌面上 .有一質(zhì)量為 M 的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈，原長(zhǎng)     2 a， a=R/2，繩圈的彈性系數(shù)為 k（繩伸長(zhǎng) s 時(shí)，繩中彈性張力為 ks） .將繩圈從球的正     上方輕放到球上，并用手扶著繩圈使其保持水平，并最后停留在某個(gè)靜力平衡位置 .考     慮重力，忽略摩擦 . （ 1）設(shè)平衡時(shí)彈性繩圈長(zhǎng) 2 b， b= a2 ，求彈性系數(shù) k；（用 M、 R、 g 表示， g 為重力加速度）  （ 2）設(shè) k=Mg/2 2R，求繩圈的最后平衡位置及長(zhǎng)度 . 7一截面呈圓形的細(xì)管被彎成大圓環(huán)，并固定在豎直平面內(nèi)，     在環(huán)內(nèi)的環(huán)底 A 處有一質(zhì)量為 m、直徑比管徑略小的小球，     小球上連有一根穿過(guò)環(huán)頂 B 處管口的輕繩，在外力 F 作用     下小球以恒定速度 v 沿管壁做半徑為 R 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，   如圖 3 23 所示 .已知小球與管內(nèi)壁中位于大環(huán)外側(cè)   部分的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，而大環(huán)內(nèi)側(cè)部分的管內(nèi)壁是光滑   的 .忽略大環(huán)內(nèi)、外側(cè)半徑的差別，認(rèn)為均為 R.試求小   球從 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)過(guò)程中 F 做的功 WF. 8如圖 3 24，來(lái)自質(zhì)子源的質(zhì)子（初速度為零），經(jīng)一     加速電壓為 800kV 的直線加速器加速，形成電流為 1.0mA    的細(xì)柱形質(zhì)子流 .已知質(zhì)子電荷 e=1.60 10 19C.這束質(zhì)子     流每秒打到靶上的質(zhì)子數(shù)為          .假設(shè)分布在質(zhì)子源      清北學(xué)堂 物理奧賽三第 13 頁(yè)     到靶之間的加速電場(chǎng)是均勻的，在質(zhì)子束中與質(zhì)子源相距 l    和 4l 的兩處，各取一段極短的相等長(zhǎng)度的質(zhì)子流，其中質(zhì)     子數(shù)分別為 n1 和 n2，則 n1: n2            . 9如圖 3 25 所示，電量 Q 均勻分布在一個(gè)半徑為 R 的     細(xì)圓環(huán)上，求圓環(huán)軸上與環(huán)心相距為 x 的點(diǎn)電荷 q 所受的     力的大小 . 10如圖 3 26 所示，一根均勻帶電細(xì)線，總電量為 Q，  彎成半徑為 R 的缺口圓環(huán)，在細(xì)線的兩端處留有很小的  長(zhǎng)為 L 的空隙，求圓環(huán)中心處的場(chǎng)強(qiáng) .          11如圖 3 27 所示，兩根均勻帶電的半無(wú)窮長(zhǎng)平行直導(dǎo)  線（它們的電荷線密度為 ），端點(diǎn)聯(lián)線 LN 垂直于這  兩直導(dǎo)線，如圖所示 .LN 的長(zhǎng)度為 2R.試求在 LN 的  中點(diǎn) O 處的電場(chǎng)強(qiáng)度 . 12如圖 3 28 所示，有一均勻帶電的無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線， &nb