《中學(xué)數(shù)學(xué)命題教學(xué)》PPT課件.ppt

數(shù)學(xué)判斷與命題,二數(shù)學(xué)命題及其教學(xué),數(shù)學(xué)命題概述數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的心理分析命題教學(xué)的基本要求和教法探討,數(shù)學(xué)命題概述,判斷的意義和種類1.數(shù)學(xué)判斷對(duì)思維對(duì)象有所肯定或否定的思維形式叫做“判斷”。數(shù)學(xué)判斷是關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象及其屬性的判斷。判斷與真假：判斷有真假之分，是否符合客觀實(shí)際情況、是否與事實(shí)相一致是一個(gè)判斷真實(shí)與虛假的標(biāo)準(zhǔn)。按照思維對(duì)象的量判斷可分為：全稱判斷、特稱判斷、單稱判斷；按判斷的質(zhì)來(lái)分有：肯定判斷、否定判斷；按判斷的關(guān)系來(lái)分有：定言判斷、選言判斷和假言判斷。,2.常用的判斷形式及其之間的關(guān)系如果用S表示判斷的對(duì)象，P表示性質(zhì)（1）全稱肯定判斷(A)“所有的S是P”(SAP)（2）全稱否定判斷(E)“所有的S都不是P”(SEP)（3）特稱肯定判斷(I)“有的S是P”(SIP)（4）特稱否定判斷(O)“有的S不是P”(SOP)S也叫做判斷的“主項(xiàng)”，P也叫做“謂項(xiàng)”;“所有的”或“有的”表示主項(xiàng)的數(shù)量，叫做“量詞”.在全稱判斷中量詞常常省略不寫(xiě)；“是”或“不是”稱為聯(lián)結(jié)詞，表示肯定或否定。,全稱判斷和特稱判斷，就其主項(xiàng)S和謂項(xiàng)P的外延而言，有以下五種情況，在各種情況下，A、E、I、O之間的真假關(guān)系如下：,由A、E、I、O之間的關(guān)系，又可概括出以下四種關(guān)系：,上反對(duì)關(guān)系（A和E）：A和E不能同真，可以同假。A和E二者之中至少有一個(gè)是假的。A對(duì)則E錯(cuò)，或者A和E都錯(cuò)。（必有一假）下反對(duì)關(guān)系（I和O）：I和O不能同假，可以同真。I和O二者之中至少有一個(gè)是真的。I錯(cuò)則O對(duì)，I對(duì)則O錯(cuò)（或?qū)Γ?。（必有一真）從屬關(guān)系（A和I，E和O）：A對(duì)則I對(duì)，A錯(cuò)則I不一定錯(cuò)；I對(duì)則A不一定對(duì)，I錯(cuò)則A一定錯(cuò)。E和O的關(guān)系與A和I的關(guān)系相同。矛盾關(guān)系（A和O，E和I）：A和O，E和I都是不能同真，也不能同假，二者之中必是一真一假。,3、判斷的種類簡(jiǎn)單判斷：本身不包含其它判斷的判斷符合判斷：本身還包含其它判斷的判斷,數(shù)學(xué)命題的意義在數(shù)學(xué)中，用來(lái)表示數(shù)學(xué)判斷的陳述句或符號(hào)的組合叫做“數(shù)學(xué)命題”。對(duì)于無(wú)法判斷其真假的語(yǔ)句，稱為開(kāi)（語(yǔ)）句。注：形式邏輯專門(mén)研究判斷的形式，而不管判斷的內(nèi)容，只從真值的角度研究命題的形式及各種命題之間的關(guān)系。但在數(shù)學(xué)中，既研究命題的內(nèi)容，又研究命題的形式，把內(nèi)容和形式統(tǒng)一起來(lái)研究數(shù)學(xué)命題。如：在形式邏輯中，命題“如果13,那么1+23+2.”，但在數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)命題有真假之分。不是所有的語(yǔ)句或數(shù)學(xué)式子都是數(shù)學(xué)命題。在命題邏輯中，通常用“p,q,r,s,t”等表示命題，這種命題符號(hào)稱為命題變?cè)ㄗ兞?、變?xiàng)），命題變?cè)娜≈抵荒苁恰罢妗焙汀凹佟?，分別用“1”和“0”表示。,4.數(shù)學(xué)命題,（1）數(shù)學(xué)是一門(mén)科學(xué)；（2）；（3）67;（6）你在干什么？（7）禁止吸煙！（8）2比3大嗎？（9）哎呀！那還得了！,請(qǐng)大家判斷以下語(yǔ)句是否是數(shù)學(xué)命題：,數(shù)學(xué)命題一般可分為簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題兩大類。簡(jiǎn)單命題就是不包含其他命題的命題，又可分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題兩種。,簡(jiǎn)單命題（1）性質(zhì)命題性質(zhì)命題：判斷某事物具有（不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題的結(jié)構(gòu)：主項(xiàng)、謂項(xiàng)、量項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)。有些一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根（量項(xiàng)）（主項(xiàng)）（聯(lián)項(xiàng)）（謂項(xiàng)）量項(xiàng)有“全稱”和“特稱”之分，聯(lián)項(xiàng)有“肯定”和“否定”之分，將之組合，可以得到四種形式的性質(zhì)命題：全稱肯定、全稱否定、特稱肯定、特稱否定。此外還有單稱肯定和單稱否定。,（2）關(guān)系命題關(guān)系命題：判斷事物與事物之間關(guān)系的命題。關(guān)系命題的結(jié)構(gòu)：主項(xiàng)、謂項(xiàng)和量項(xiàng)直線a平行于直線b（主項(xiàng)）（謂項(xiàng)）（主項(xiàng)）（前項(xiàng)）（后項(xiàng)）數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的是二元關(guān)系：aRb常見(jiàn)二元關(guān)系有自反關(guān)系、對(duì)稱關(guān)系、傳遞關(guān)系和等價(jià)關(guān)系。,復(fù)合命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞復(fù)合命題是由兩個(gè)或兩個(gè)以上簡(jiǎn)單命題通過(guò)邏輯聯(lián)結(jié)詞結(jié)合起來(lái)而構(gòu)成的命題。常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有以下五種：否定、合取、析取、蘊(yùn)涵、等價(jià),1.否定（非），其真值表如下：,否定（非）：在一個(gè)語(yǔ)句之前加上“并非”，就構(gòu)成一個(gè)新的語(yǔ)句，叫原來(lái)語(yǔ)句的否定。,2.合?。ㄅc，且）,合取（與、并且）：兩個(gè)語(yǔ)句p和q用“與”聯(lián)接起來(lái)構(gòu)成新的語(yǔ)句“p與q”稱為合取式，亦稱為聯(lián)言命題，“pq”,3.析?。ɑ颍?析?。ɑ颍簝蓚€(gè)語(yǔ)句p、q用或聯(lián)接起來(lái)所構(gòu)成的新的語(yǔ)句“q或p”稱為析取式，亦稱為選言命題,4.蘊(yùn)涵（如果，則）,P:a和b都是偶數(shù)，Q:a+b也是偶數(shù)。,當(dāng)前件為假時(shí)，無(wú)論后件為真還是假，都不與原來(lái)的命題矛盾。,蘊(yùn)涵（如果。，那么。）：把命題p、q用“如果。，那么。聯(lián)接起來(lái)，得到新的命題”如果p，那么q”，pq，這個(gè)式叫蘊(yùn)涵式，“p蘊(yùn)涵q”，p、q分別叫前后件（即前提和結(jié)論）。,5.等價(jià)（當(dāng)且僅當(dāng)）,等價(jià)（當(dāng)且僅當(dāng)）：將兩個(gè)命題p、q用“當(dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)接起來(lái)，構(gòu)成復(fù)合命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”，pq,例如：（1）2+3=5（真）（2）47=30（假），等價(jià)式：（2+3=5）（47=30）（假）例如：（1）三角形兩邊之和小于第三邊（假）（2）李白是清朝文人（假）。等價(jià)是：“三角形兩邊之和小于第三邊”當(dāng)且僅當(dāng)“李白是清朝文人”（真）幾點(diǎn)說(shuō)明：一個(gè)命題中如果沒(méi)有邏輯聯(lián)接詞出現(xiàn)，那么該命題一定是簡(jiǎn)單命題。以上五種式子是復(fù)合命題中最簡(jiǎn)單的形式，由這些基本形式經(jīng)過(guò)各種組合，可以得到更加復(fù)雜的復(fù)合命題。簡(jiǎn)單命題的真假由數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)決定，而經(jīng)過(guò)復(fù)合后的命題其真假值則由真值表來(lái)決定。,復(fù)合命題的值,求復(fù)合命題的值，可先窮盡地列出p、q取值可能，然后再根據(jù)聯(lián)結(jié)詞的強(qiáng)弱順序，逐步得出各層復(fù)合命題的值，直到最后求出整個(gè)復(fù)合命題的值。聯(lián)結(jié)詞的強(qiáng)弱順序：,恒真命題：一個(gè)命題在任何情況下都為真恒假命題：一個(gè)命題在任何情況下都為假,1111,1000,0111,0101,1010,1100,恒真命題,10111011,11110101,11111001,10110001,11111111,邏輯等價(jià),若兩個(gè)復(fù)合命題A、B真值表相同，就稱A、B邏輯等價(jià).,可以驗(yàn)證下列邏輯等價(jià)式：,冪等律,數(shù)學(xué)命題的四種形式及其關(guān)系為了更好地研究數(shù)學(xué)命題：若p則q，有必要研究命題的四種形式及其關(guān)系命題的四種形式：（1）原命題：pq；（2）逆命題：qp；（3）否命題：p（4）；逆否命題：qp。四種命題的關(guān)系：原命題和逆命題是互逆的，否命題和逆否命題是互逆的，原命題和否命題是互否的，逆命題和逆否命題是互否的，原命題和逆否命題是互為逆否的，逆命題和否命題是互為逆否的。,假言命題的四種形式及其之間的關(guān)系,例子：1.原命題：如果兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形等積。,逆命題：如果兩個(gè)三角形等積，則這兩個(gè)三角形全等。,否命題：如果兩個(gè)三角形不全等，則這兩個(gè)三角形不等積。,逆否命題：如果兩個(gè)三角形不等積，則這兩個(gè)三角形不全等。,真,假,假,真,2.原命題：如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，則它的對(duì)角線互相平分。,逆命題：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分，則它是平行四邊形。,否命題：如果一個(gè)四邊形不是平行四邊形，則它的對(duì)角線不互相平分。,逆否命題：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線不互相平分，則它不是平行四邊形。,真,真,真,真,3.原命題：如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，則它的對(duì)角線互相垂直。,逆否命題：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線不互相垂直，則它不是平行四邊形。,逆命題：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直，則它是平行四邊形。,否命題：如果一個(gè)四邊形不是平行四邊形，則它的對(duì)角線不互相垂直。,假,假,假,假,它們之間的關(guān)系可以用真值表來(lái)證明：,從真值表中可以得出：原命題和逆否命題等價(jià)；逆命題和否命題等價(jià)。所有四種命題中實(shí)質(zhì)不同的只有兩種，其它兩種只是形式不同而已。在數(shù)學(xué)論證中經(jīng)常用到具有逆否關(guān)系命題的等價(jià)性，在證明一個(gè)命題時(shí)，可以將之轉(zhuǎn)換成它的逆否命題的形式加以證明。,同一原理互逆的兩個(gè)命題未必等價(jià)。但是,當(dāng)一個(gè)命題的條件和結(jié)論都唯一存在,它們所指的概念的外延完全相同,是同一概念時(shí),這個(gè)命題和它的逆命題等價(jià)。這一性質(zhì)通常稱為同一原理或同一法則。例如,“等腰三角形底邊上的中線是底邊上的高線”是一個(gè)真命題,這個(gè)命題的條件“底邊上的中線”有一條且只有一條,結(jié)論“底邊上的高線”也是有一條且只有一條。這就是說(shuō),命題的條件和結(jié)論都唯一存在。由于這個(gè)命題為真,所以命題的條件和結(jié)論所指概念的外延完全相同,是同一概念。因此,這個(gè)命題的逆命題“等腰三角形底邊上的高線是底邊上的中線”也必然為真。同一原理是間接證法之一的同一法的邏輯根據(jù)。對(duì)于符合同一原理的兩個(gè)互逆命題,在判定其真假時(shí),只要判定其中的一個(gè)就可以了。在實(shí)際判定時(shí),自然要選擇易判定的那個(gè)命題。,偏逆命題及其否命題,把原命題中數(shù)目相同的部分前提和結(jié)論互換后得到的命題稱為原命題的偏逆命題。例如原命題：如果a和b都是偶數(shù)，則a+b也是偶數(shù)。,真,真,(a是偶數(shù))(b是偶數(shù))(a+b是偶數(shù)),偏逆1：(a是偶數(shù))(a+b是偶數(shù))(b是偶數(shù)),偏逆2：(a+b是偶數(shù))(b是偶數(shù))(a是偶數(shù)),例如原命題：在圓內(nèi)，弦的垂直平分線必過(guò)圓心并且平分這條弦所對(duì)的弧。逆命題：在圓內(nèi)，過(guò)圓心并且平分弦所對(duì)的弧的直線必垂直平分這弦。偏逆命題1：在圓內(nèi)，過(guò)圓心且平分弦的直線必垂直這弦所對(duì)的弧，一個(gè)原命題的偏逆命題一般有數(shù)個(gè)。偏逆命題和其它三個(gè)命題沒(méi)有前面那樣的簡(jiǎn)單關(guān)系。請(qǐng)大家作出下面這個(gè)命題的偏逆命題：如果四邊形ABCD是平行四邊形，則它的對(duì)邊相等。,(ABCD)(BCAD)(AB=CD)(BC=AD),(ABCD)(AB=CD)(BCAD)(BC=AD),(AB=CD)(BCAD)(ABCD)(BC=AD),(ABCD)(BC=AD)(AB=CD)(BCAD),(BC=AD)(BCAD)(AB=CD)(ABCD),充分條件和必要條件,數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)命題中的條件分成充分條件、必要條件和充分必要條件。充分條件：如果命題“若p則q”為真，則條件p就稱為使q成立的充分條件必要條件：如果命題“若q則p”為真，則條件p就稱為使q成立的必要條件顯然若p是q成立的充分條件，則q一定是使p成立的必要條件，反過(guò)來(lái)也對(duì)。充分必要條件：如果“若p則q”和“若q則p”均為真，則p是q成立的充分必要條件。在解題或證明中要明確充分條件和充要條件,公理和公理化方法（新概念舊概念更舊的概念原始概念）定理舊命題更舊的命題公理不加定義的原始概念稱為基本概念；不加證明而承認(rèn)的命題稱為公理。公理化方法：從盡可能少的基本概念和公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理，建立數(shù)學(xué)分支的方法。公理系統(tǒng)中的公理應(yīng)滿足的三個(gè)條件：,（1）相容性：同一公理系統(tǒng)中的公理本身不能矛盾，由公理推導(dǎo)的結(jié)果也不能矛盾（2）獨(dú)立性：任一公理不能由其它公理推出（3）完備性：該系統(tǒng)中的全部命題均可推出而不能借助直觀,演繹數(shù)學(xué)的興起,歐幾里得Euclid(ca.325-ca.270BC),公理化方法與歐幾里得的幾何原本,原本(Elements),共十三卷，包括五條公理、五條公設(shè)、一百一十九個(gè)定義和四百六十五條命題,第11、12、13卷：立體幾何及窮竭法,第10卷：不可公度量,第7、8、9卷：數(shù)論的內(nèi)容,第5卷：比例理論第6卷：比例理論的幾何應(yīng)用,第1卷：23個(gè)定義、公理、公設(shè)第1、3、4卷：平面幾何內(nèi)容第2卷：幾何代數(shù)內(nèi)容,原本來(lái)源圖,基本定義,1、假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線2、一條有限直線可不斷延長(zhǎng)3、以任意中心和直徑可以畫(huà)圓4、凡直角都彼此相等5、若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng)，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交,公理,1、等于同量的量彼此相等2、等量加等量，和相等3、等量減等量，差相等4、彼此重合的圖形是全等形5、整體大于部分,公設(shè),點(diǎn)、線、面、圓等,原本1482年威尼斯,第一個(gè)拉丁文印刷本,阿拉伯文本原本手抄本,徐光啟、利瑪竇合譯原本前6卷(1605-1606年),根據(jù)德國(guó)數(shù)學(xué)家克拉維斯(ClaviusC.1537-1612)注釋本原本，全書(shū)共15卷,李善蘭、偉烈亞利合譯原本后9卷(1852-1856年),定理：根據(jù)已知概念和真命題，遵照邏輯規(guī)律，運(yùn)用正確邏輯方法來(lái)證明其真實(shí)性的命題。定理的結(jié)構(gòu)：條件（題設(shè)或已知）、結(jié)論（題斷或求證）逆定理：一個(gè)定理的逆命題若為真，則稱其為該定理的逆定理。判定定理：用來(lái)確定某個(gè)對(duì)象存在的充分條件的定理。性質(zhì)定理：確定某個(gè)對(duì)象存在的必要條件的定理。引理：為證明一個(gè)主要定理作準(zhǔn)備，先證明的一個(gè)或幾個(gè)“小定理”。推論（或系）：從公理或定理直接推出來(lái)的定理。證明題：在教材中通常列入例題或習(xí)題，作為推理論證的練習(xí)。,分?jǐn)嗍矫}和配套定理,在ABC中，如果ABAC，那么CB；如果ABAC，那么CB；如果ABAC，那么CB.象上例，一個(gè)命題是由幾個(gè)命題總合而成，而它們的條件和結(jié)論有相同的特點(diǎn)：所含事項(xiàng)互不相容，又包括了一切可能的情形，則把這樣的命題稱為“分?jǐn)嗍矫}”.,分命題,簡(jiǎn)單定理?xiàng)l件和結(jié)論中所含事項(xiàng)都只有一個(gè)的定理稱為簡(jiǎn)單定理。例如：同一個(gè)三角形中，大角對(duì)大邊。復(fù)合定理?xiàng)l件和結(jié)論中所含事項(xiàng)不只是一個(gè)的定理叫做復(fù)合定理。例如：等角的鄰補(bǔ)角相等,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)命題的心理分析,對(duì)公理、定理、公式的學(xué)習(xí)很大程度上依賴于直接感知難以從條件與結(jié)論的關(guān)系上把握條件命題孤立地學(xué)習(xí)定理、公式,公理、定理、公式的教法探討,公理的教法采用學(xué)生熟知的具體事例或生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)讓學(xué)生了解什么是公理：它的真實(shí)性不能由邏輯推理來(lái)確定，是人們長(zhǎng)期實(shí)踐的總結(jié)，是數(shù)學(xué)的基石或出發(fā)點(diǎn)。在教學(xué)中要讓學(xué)生體會(huì)引入公理的必要性：如果沒(méi)有公理的引入，則進(jìn)一步的推理便無(wú)法進(jìn)行。引入公理也要有個(gè)過(guò)程，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際事物的觀察，進(jìn)行一定的實(shí)驗(yàn)和檢驗(yàn)，從而不但讓學(xué)生對(duì)公理的真實(shí)性確信不疑，也便于學(xué)生對(duì)公理的理解和記憶。法則的教學(xué)法則是揭示對(duì)象之間普遍聯(lián)系的一種命題形式，一般是圍繞運(yùn)算展開(kāi)的。法則可以分成定義型和公式型兩類。定義型法則的教學(xué)類似于概念的教學(xué)，公式型法則的教學(xué)則類似于數(shù)學(xué)公式的教學(xué)。法則教學(xué)的重點(diǎn)在應(yīng)用：正確運(yùn)用熟練運(yùn)用迅速而合理簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。,定理、公式的引入方法(1)通過(guò)對(duì)具體事物觀察和實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動(dòng)，做出猜想(2)通過(guò)推理直接發(fā)現(xiàn)結(jié)論(3)通過(guò)命題間的關(guān)系，對(duì)一個(gè)命題做出變形（逆命題、偏逆命題等）,了解定理的由來(lái)：在教學(xué)過(guò)程中一般不先提出命題的內(nèi)容，最好通過(guò)實(shí)驗(yàn)、演算等手段，先讓學(xué)生自己思考，估計(jì)出命題的內(nèi)容，然后再去論證。明確定理的條