（計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）四階拋物方程的各向異性有限元方法.pdfVIP

摘要 本文在各向異性網(wǎng)格下，首先把非協(xié)調(diào)的a c m 元應(yīng)用于四階 拋物方程的半離散格式，通過高精度分析技巧得到了超逼近性質(zhì)， 進(jìn)而通過適當(dāng)?shù)牟逯岛筇幚砑夹g(shù)得到了整體超收斂結(jié)果。同時(shí)在誤 差漸近展開式的基礎(chǔ)上，得到了更為精確的外推結(jié)果。其次把協(xié)調(diào) 的雙三次h e r m i t e 元應(yīng)用到了另一個(gè)四階拋物方程，得到了超逼近 結(jié)果。 關(guān)鍵詞：四階拋物方程；各向異性網(wǎng)格；超逼近；超收斂；外推： 協(xié)調(diào)及非協(xié)調(diào)元。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h en o n c o n f o r m i n ga c m e l e m e n ti sa p p l i e dt oo n ef o u r t ho r d e r p a r a b o l i ce q u t i o no na n i s o t r o p i cm e s h e s t h es u p e r c o l s er e s u l ti so b t a i n e di n s e m i d i s c r e t es c h e m eb yh i g h e ra c c u r a c ya n a l y t i c a lt e c h n i q u e a tt h es a m et i m e ，t h e g l o b a ls u p e r c o n v e r g e n c er e s u l ti sa l s op r o v i d e dt h r o u g hap r o p e r l yp o s t p r o c e s s i n g t e c h n i q u e t h e n ，m o r ea c c u r a t ee x p t r a p o l a t i o ni sp r o v e db a s e do na s y m p t o t i c e x p a n s i o no ft h ee r r o r n e x t ，t h eb i c u b i ch e r m i t ee l e m e n ti sa p p l i e dt oa n o t h e r f o u r t ho r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o no na n i s o t r o p i cm e s h e s ，a n ds u p e r c l o s er e s u l ti s o b t a i n e d k e yw o r d s ：f o u r t ho r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n ；a n i s o t r o p i cm e s h e s ；s u p e r c l o s e s u p e r c o n v e r g e n c e ；e x p t r a p o l a t i o n ；c o n f o r m i n ga n dn o n c o n f o r m i n ge l e m e n t s 前言 有限元方法是求解微分方程數(shù)值解的一種重要方法，廣泛應(yīng)用于解決物 理現(xiàn)象、工程問題及科學(xué)計(jì)算等領(lǐng)域中。它起源于1 9 4 3 年，由c o u r a n t 首先 奠定了其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在我國(guó)，馮康先生獨(dú)立于西方數(shù)學(xué)家發(fā)明了這種方法。 從2 0 世紀(jì)5 0 6 0 年代到現(xiàn)在，有限元方法得到了極大的發(fā)展，并在結(jié)構(gòu)力學(xué) 等諸多領(lǐng)域取得了空前的成功。目前有限元方法已成為理論完善，應(yīng)用廣泛 的數(shù)值計(jì)算的重要組成部分，并且成為數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、工程和科學(xué)計(jì)算 的主流方向。該方法具有很強(qiáng)應(yīng)用背景，如橢圓問題、拋物問題、雙曲問題、 流體力學(xué)中的s t o k e s 問題、平面彈性問題等等。其基本思想就是將微分方程 邊的值問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問題，然后用有限維空間的離散解逼近無窮維 空間的連續(xù)解。 我們構(gòu)造的有限地空間屹逼近真解空間v 的程度決定了有限元解。逼近 真解u 的好壞。當(dāng)圪c v 時(shí)，我們稱之為協(xié)調(diào)元，當(dāng)k 岱v 時(shí)，稱之為非協(xié) 調(diào)元。非協(xié)調(diào)元過去被認(rèn)為是非標(biāo)準(zhǔn)的，這是因?yàn)榍蟪鰜淼慕獠粚儆谠瓉淼?空間v ，但在實(shí)際計(jì)算中，卻發(fā)現(xiàn)非協(xié)調(diào)元具有良好的收斂特性，而且具有 較少的自由度，因而有相當(dāng)好的應(yīng)用價(jià)值，在近年來取得了很大的發(fā)展。 在傳統(tǒng)的有限元方法中，對(duì)區(qū)域q 進(jìn)行剖分時(shí)，必須滿足j 下則性假設(shè)或擬 一致假設(shè)，即等量c 或等s c ，其中k ，p 。分別是單元k 的最大直徑和內(nèi)切 球的最大直徑，h 一。搿h x ，_ j i m 。磐k ，j 是區(qū)域q 的一個(gè)剖分族，c 為 與k 無關(guān)的常數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)于窄邊區(qū)域，如果采用傳統(tǒng)的正則剖分， 計(jì)算量會(huì)變得非常大而無法承受，這時(shí)若采用各向異性剖分則用較少的自由 度就可以得到理想的計(jì)算結(jié)果。不過傳統(tǒng)的b r a m b l e h i l b e r t 引理在插值誤差 分析中已不再適用，女n 7 1 1 8 1 1 2 0 。a p e l 【7 】等人研究了各向異性網(wǎng)格下l a g r a n g e 型協(xié)調(diào)元的誤差分析，并給出了一個(gè)判斷單元是否具有各向異性特征的判定 定理，但這種方法有時(shí)難以操作。陳紹春和石東涮3 1 對(duì)它進(jìn)行了改進(jìn)，并給出 了一個(gè)更一般的各向異性判定定理。并把它應(yīng)用于實(shí)際問題中，取得了些 有價(jià)值的科研成果，如【2 】【3 】【9 】【1 1 】【1 2 兒1 7 】【1 8 】【1 9 】。 四階問題也是有限元方法討論的主要問題之一，對(duì)它的求解成為了有限 元的熱門方向，出現(xiàn)了不少研究成果，如 1 1 1 4 1 1 5 1 1 4 ，但這些討論都是在正 則網(wǎng)格下進(jìn)行的，最近也出現(xiàn)了一些各向異性網(wǎng)格下的研究成果，如【2 】，但 關(guān)于發(fā)展型四階拋物方程的研究還很少見，如【4 】。本文在此基礎(chǔ)上把各向異性 的a c m 元應(yīng)用于四階拋物方程，并導(dǎo)出了各向異性網(wǎng)格下半離散格式的超逼 近、超收斂和外推結(jié)果。另外還將各向異性的雙三次h e r m i t e 元應(yīng)用于另一個(gè) 四階拋物方程方程，導(dǎo)出了超逼近結(jié)果。 本文寫作安排如下： 第一章：預(yù)備知識(shí)，介紹有限元方法所用到的一些基本定理和記號(hào)。 第二章：四階拋物方程各向異性a c m 元的超收斂分析及外推。 第三章：四階拋物方程的各向異性雙三次h e r m i t e 元逼近。 2 第一章預(yù)備知識(shí) 1 1s o b o i o v 空間及一些結(jié)論 設(shè)r “是n 維歐氏空間，q 是r 4 中的區(qū)域，用l p ( q ) 表示一切定義在q 上 的p 次可積函數(shù)組成的集合，r ( q ) 表示一切在q 上本性有界的可測(cè)函數(shù)組成 的集合，則按范數(shù) i l q f l ) = 嘰i “o ) i p 出) ，1 s p c 一 m ) 。e s s s u p i “p 。， ( q ) 為b a n a c h 空間，f ( q ) 為h i l b e t t 空間，其上的內(nèi)積定義為 ，v ) l 眈。 用c 4 ( q ) 表示區(qū)域q 上n 1 次連續(xù)可微的函數(shù)組成的集合，c 。( q ) 表示區(qū) 域q 上無窮次連續(xù)可微函數(shù)組成的集合，c o ( q ) 表示區(qū)域q 上連續(xù)函數(shù)組成 的集合，并簡(jiǎn)記為c ( q ) 。 記區(qū)域q 上的偏微分算子d 8 一研，鐘，其中q - 亡，q ，為非負(fù) 整數(shù)，a 一似1 ，口2 ，) 稱為n 重指標(biāo)，記l 。i - a l + a 2 + + 口。 設(shè)r l l 為非負(fù)整數(shù)，對(duì)1 p s ，函數(shù)空間w “9 一恤：d “u ( q ) ，l a k 卅 依范數(shù) , p m ( 磊l i d a u i p 出) l ，1 s p o 。， ，l l u i l ，m l x l i d ，p - m ， ， 構(gòu)成一個(gè)b a n a c h 空問，我們稱之為s o b o l e v 空間，其上的半范數(shù)定義為 i n i m 廣嚯l m ；幾p i h k m a x0 d 4 ，p ，0 0 。 i = m 定義 付9 ( q ) 為c ；( q ) 按范數(shù)i i “憶，在空間形”( q ) 內(nèi)的完備化空問，則 3 矸? ，( q ) 也是一個(gè)b a n a c h 空間。為了方便起見，規(guī)定： w “，2 ( q ) - h “( q ) ，辟z 2 ( q ) ；h 彳( q ) ，0 i i 。，：；i i ，i i 。，：暑l i 。 于是日4 ( q ) 、n o ( q ) 是h i l b e r t 空間，其內(nèi)積定義為： ) m 。磊以礦d 川鮒1 q ) 。 s o b o i e v 嵌入定理：設(shè)q c r ”是有界區(qū)域，其邊界a q 是局部h p s c h i t z 連 續(xù)的，m ，k 為非負(fù)整數(shù)，對(duì)1 s p t * ，則有 w m + k , p ( q ) 嵌入4 ( q ) ，m o ， 0 ) 。 8 r o n w a li 引理：設(shè)y o ) 在【o ，r 1 上連續(xù)且滿足y ( f ) s y 。+ 丘a o ) y 扣矽f ，其 中a ( ) 2 0 ，a ( v ) ( f l i ( o , t ) ，則有y o ) y o e x p f ： o v f 。 1 2有限元方法的基本理論 l a x g i i g r a m 定理：設(shè)h 為h i l b e r t 空間，口0 ，v ) 是定義在h x h 上的雙 線性泛函，如果滿足 ( 1 ) 有界性，即存在常數(shù)m ，0 ，使得i n ，r ) k mj l u 洲川i ，v u ，v 日 ( 2 ) 強(qiáng)制性，即存在常數(shù)c ，0 ，使i 口( p ，v ) 忙c i i v i l 2 則對(duì)于任意f ，存在唯一的“h ，使得a ( u ，v ) 一，p ) ，v v 日 4 冥中h 為h 的共軛空間。 求解微分方程數(shù)值解的有限元方法是將微分方程轉(zhuǎn)化為與其等價(jià)的變分 形式。如d i r i c h l e t 邊值問題轉(zhuǎn)化為：求h ：( q ) ，使 a ( u ，v ) ；廠o ) ，v v e h ：( q ) 設(shè)礦為h i l b e r t 空間，則對(duì)下面一般的抽象變分問題為：求u 硪( q ) ，使 得 4 何，力一廠p ) ，v y 硪( q ) ， ( 1 1 ) 給定區(qū)域q 的一個(gè)剖分 ，一般為三角形或四邊形，v k e j ，記k 為 單元的直徑，凡為k 的最大內(nèi)接球直徑，hl m 。a x h x ，如果存在常數(shù)c 使剖 分族 ( 0 t h 王1 ) 滿足 魯s c ，v k e j ， 則稱剖分族是正則的。 如果剖分族不僅是乖則的，而且存在常數(shù)y ，0 ，使得 i 5 r ， 則稱剖分族是擬一致的。 構(gòu)造有限元空間k ，一般情況下圪中的元素為分片多項(xiàng)式，將變分問題離 散化，在有限元空間上求解。若屹c v ，則有限元為協(xié)調(diào)元，若kc v ，則 有限元為非協(xié)調(diào)元。 對(duì)于協(xié)調(diào)元，有限元方法求解變分問題的離散形式為：求k ，使得 a ( u ，h ) 一f ( v ) v 圪，( 1 2 ) 誤差估計(jì)用如下引理： c e a 引理 如果 ，v ) ，f ( v ) 滿足l a x m i l g r a m 定理的條件，則離散問題有 唯一解，目存在常數(shù)c ，有 5 i i “一帖s c i 匹i i “一 h 叫 其中1 1 i i ，為能量模，1 1 w l l ，一q ( 叻) 。 對(duì)于非協(xié)調(diào)元，有限元方法求解變分問題的離散形式為：求u 。k ，使 得 a h ，) if ( v h ) ，v v , ，( 1 3 ) 其中吒眈，屹) 。墨 ，“) l k ，誤差估計(jì)用如下引理： s t r a n g 引理：設(shè)a 。0 ，v ) 為圪上的連續(xù)線性泛函，并且滿足強(qiáng)制性，離散 問題有唯一解，且存在常數(shù)c ，有 憶噸i i ( 緩怕一i i 一。s u 哪p 叢掣) ， 其中1 1w i i 一。( 口 ( 嵋忉) ；，吼o ，) 。墨l 砜蚴。 1 3各向異性基本定理 設(shè)霞是參考元，戶中霞上的一個(gè)m 維多項(xiàng)式空間，p 是戶的共軛空間， 設(shè) p ，p ：，j 丸) 和t 髓，：，礬) 是戶和p 的一對(duì)共軛基，則 i j ) = d # ，1 s i ，s m 。 設(shè)j ：日( 霞) 一戶，k ) 1 是有限元插值算子，滿足 賦( ，口) = n , i f ) ，i 一1 ，2 ，m ，v 口戶。 a = 。，a ：，) 是一個(gè)多重指標(biāo)，則5 。戶也是霞上的多項(xiàng)式空間。設(shè) d i m ) 8 聲= ， 磊，i 一1 ，2 ，”j r 是d 8 p 的一組基，則西4 ) 西8 戶可表示為 西。( 靠) 2 善t 歸“a 。薈盧，埒， 顯然，牙是。a 并的線性組合，而盧i f ) 是 t ) 歷的線性組合。設(shè) 6 盧妒) 一藝口，t ( 口) ， 則由上面兩式，有 聲，p ) 。善成p ) 。薈口t 磚( 靠) l ，( 靠) 口 各向異性基本定理1 3 1 ：在上面表述下，如果盧，( 口) 能表示成 聲， ) 1 ( d ?？? ，1 sj 量所， 其中e e ( h 4 ( 露) ) ，1 i ，s 肌，同時(shí)毋( 露) c 西。戶，2 0 1 ) ，則存在常數(shù)c ( t ) 滿足： l i b 4 一向) f 五c ( 霞) i d 4 d l “擅，o t ， 其中或= 口0 ；) ，口培一器0 ) ，口研一茜0 ；) ，i 一1 ，2 , 3 ，4 。 容易證明上述定義的插值是適定的，且可表示為： 矗移= 口l + 口2 亭+ 口3 ，7 + 口4 亭，7 + 口5 宇2 + a 6 ，7 2 + 口7 宇2 叩+ a 8 亭叩2 + 口9 亭3 + 口1 0 礦+ 口1 1 亭3 ，7 + 口1 2 勃3 ，v 移聲， ( 2 1 ) 其中 8 a l 皇 ( 諺1 + 移2 + 島+ 薩4 ) + 吉( 口1 亭一口2 享一諺葛+ 哥4 ) + 吉p 鯽+ 移2 口一口卻一薩4 _ ) ， 口2 昌吾( 筇l + 礦2 + 口3 一礦4 ) + 吉( 一口l 掌一口2 掌一舌3 孝一口4 ；) + ( 筇l i ，+ 礦2 q v 3 ”+ 口4 q ) ， 口3 暈 ( 一薩l 一礦2 + 口3 + 諺4 ) + 舌( 一薩峙+ 哥昝一口3 + 移4 孝) + 吉( 一口l 口一礦2 一口卻一礦4 口) ， a 4 - 圭p 1 一帚2 + 哥3 一帚4 ) + 舌( 礦坫+ 薩篤一帚3 亭一口喈) + 舌( 口砷一帚2 口一帚3 | ，+ 帝4 _ ) ， 口5 吉( 一薩1 掌+ 礦2 + 廬騭一薩峙) ， 口6i 吉( 一鯽一哥2 i ，+ 艫3 q + 礦4 _ ) ， 口7l ( 礦1 亭一礦2 孝+ 礦騁一口4 亭) ， 口8 - 吉( 礦蜥一移2 _ + 哥卻一移4 葉) ， 口9 i 舌( 玩一薩2 一也+ 礦4 + 口1 亭+ 移2 + 礦鷲+ 移4 ) ， 口 i 驢l + 礦2 一薩3 一礦4 + 哥蜥+ 礦2 _ + 艫3 i ，+ 礦4 口) ， 口1 ii ( 薩l + 口2 一口，+ 口4 一口峙一礦篤+ 口玷+ 哥4 ) ， a 1 2 疊吉( 一口l + 礦2 1 ，+ 礦4 一移研+ 口2 口+ 哥3 _ 一礦4 _ ) 。 定義j 乏上的插值算予矗如下： n ：h 3 ( 霞) 一戶，n 口；口。 ( 2 2 ) 引理1由( 2 2 ) 定義的插值算子n 具有各向異性特征，即對(duì)二重指標(biāo) 口i 似l ，8 2 ) ，有： 當(dāng)i 口l 一1 時(shí)，1 1 6 4 一i o i i 。重 ：c l b 4 口i “，v t 日2 ( 露) ， 當(dāng)l 口i ；2 時(shí)，l i b 。p 1 1 0 i i 娃= c l b 。口i ：，t ，v f i e h4 ( 霞) ， 這里及以后出現(xiàn)的c 為一個(gè)常數(shù)且與等無關(guān)，不同的地方取值可以不同。 證明：先證i a i _ 1 的情形，當(dāng)a i q o ) 時(shí)，有 ，d 8 n 礦i 口2 + 口4 町；2 d 5 宇+ 2 口7 軔+ 口s v 2 + 3 a 9 亭2 + 3 a “宇2 叮+ 口1 2 ，7 ， 注意到西。聲一s p a n 1 ，r l ，鴛，2 勃，r 1 2 , 3 亭2 ，3 亭2 ，7 ，礦 ， 所以，有 9 口2 疊毒( 一v 1 + v 2 + 塢一哥4 ) + 吉( 一哥堵一薩2 一礦鷲一口4 ) + ( 一礦蜥+ 諺2 口一諺新+ 口4 目) t l 卷鹋+ l i 每d 一 尊魯d 一 尊魯d + l i 南d 一l i 裔d ， 類似可得： a t i 一 l t 莓d l i 鼉d + 鼉l 尊癸d 一l 寺鷗一l i 尚d 一殳意d ， a s 。l i 警d + l i 謄d ，i 一l i 意d + 氓警d ， 一尚鴟+ 氓亳d ，q 9 。等d + i 0 魯d ， a u 。一；l i 警d + 氓窘d ， a n 。l t 蕊d 一詆簧d + 氓甍d 七l f 裔d 。 令西一囂，則 a 2 5 翻+ l 白d 一 l i 簧d 一 l 尊簧d + l i | 篙d 一5 i j 舞d t 氬， 。a 4 一5 i 翻s + i k 白d + 5 t 簧d 一l 尊簧d 一l i 篙d 一 j 魯d = 妻2 ， a 5 。；l i 簟d + 簧鷗a 奠， a ，一簧畦+ 壤簧d 鼉； “， 一；l f 蔫d + l i 篙d = s ， 。氓 鼉d + 氓面a d , d ；e ， a u 。一；1 1 1 簧d + l i 簧d 2 曩， n n 。；i t p 一l i 哆l i 蔫鷗+ s i 鼉d i 晰。 由跡定理可知：l 霉( 西) k c l i 西瞻重，即丘餌1 ( 霞) ) ，f = 1 ，2 ，8 ， 當(dāng)a - ( 0 ，1 ) 時(shí)，有 d 4 n 薩i 口3 + a 4 亭+ 2 a 6 叩+ 口7 亭2 + 2 a s 亭，7 + 3 口1 。叩2 + 口 亭3 + 孫1 ，勃2 ， 注意到d 。戶= s p a n 1 , 亭，紉，亭2 ，2 勤，3 ，7 2 ，亭3 ，3 勤2 ， 所以，有 1 0 a 3 葺詈( 一礦l 一礦2 + v 3 + 礦4 ) + 舌( 一移培+ 移躥一諺3 # + 移4 ) + 吉( 一諺功一諺2 _ 一口卻一移4 _ ) 。詆篙翻+ j l i 與如+ l t 齋如一a - 而- d r 一鈴魯如一氓魯翻， 類似可得： d 4 l t 南如+ l t 蔫曲一l i 南如一l 。南翻一；l i 魯如+ 專l i ，魯岫 a t 一媳魯如七戰(zhàn)簧姻， 麗a z 。如+ 鈴南如， 。一氓器如+ 。a 礦。d r ， 。氓，7 睪咖+ 氓，7 等咖， a 礦l i 南曲一；l 冬翻+ ；l ? 甍如+ l i 島曲， a n 一l - 魯如+ ；l i 一魯如。 令西一等，利用同樣的方法， 可得：i t ( d ) b c0 擊i l _ ，即t ( 1 ( 霞) ) ，i = l 2 ， 8 ， 由 3 中的各向異性基本定理知d 。p n 口) i i 。t c i 西?？趉 成立。 下面證l 口l 一2 的情形， 當(dāng)n 一( 2 ，0 ) 時(shí)，d 。?？? 2 吩+ 2 a 7 z + 6 a 9 亭+ 6 吒1 勤， 注意到6 “p = s p a n 2 ，2 0 ，略，6 勃) ，所以有 a 5 。l i 警鴟+ l i 訾畦一f ， 口，氓警蹭+ 機(jī)警蝣，最( 警) ， a e 。l 尊熹鸝+ l 尊案d g ；f 嘲， 。一l 孛等d + s 聲譬畦= f 4 。 令擊* 譬，由跡定理可知：i 丘( 西) b c 面| | 2 ，t ，即t 俾2 ( 露) ) ，i - 1 , 2 ，3 , 4 。 1 1 當(dāng)口一( 1 ，1 ) 時(shí)，d 。n 口一口4 + 2 口7 亭+ 2 a 8 ，7 + 3 a l 占2 + 3 吒2 叩2 ， 注意到d “p s p a n l 鴛，2 , 7 ，騭2 ，3 ，7 2 ，所以有 a 4 - 鼉l t 亳姆q 一；l 篇如_ f , g - 銹；0 ， a ，一 j ：l 岳d ，7 + 氓蔫咖。最( 期， 一一l i 高d 氓意d ；f 3 f k 幽a 扣q ， t 一機(jī)器d 彰叩+ 裔如+ 氓裔咖- f 4 ( 翻， q ：一璣裔d 副叩+ s 1 _ j 。a 嗣2 0 i d 亭+ 譏岳d 亭一e ( 蔫) 。 令西一面a 2 i ，由跡定理可知：i # , ( m ) 1 , c i i d , i i ：_ ，a o t e ( h 2 ( 霞) ) ，i = 1 , 2 , 3 ，4 ，5 。 當(dāng)口i ( q 2 ) 時(shí)，可得到相似的結(jié)論， 由 3 中的各向異性基本定理知0 d 。( 口一n 口) 0 。童c l d ?？趇 ：t 成立 2 3 四階拋物問題及其逼近 設(shè)q 是r 2 上的一個(gè)有界矩形區(qū)域，其邊界a q 平行于x 軸或y 軸，考慮如 下初邊值問題“1 阻，一h + a 2 “= ， i n q ( o ，丁) ， “；等= 0 ， o na q ( 0 ，丁) ，( 2 3 ) i u ( x ，o ) ；u o 僻) ， nq ， 其中，是有界函數(shù)，x o ，y ) 。 ( 2 3 ) 的等價(jià)變分形式為：求u h ；( q ) ，使得 m r ，v ) + 口 ，v ) + 6 ，v ) l ( ，d ，v p 圩；( q ) ，( 2 4 ) lu ( x ，0 ) 一u o 僻) 其d pa ( u ，v ) 。l v u v v d r d y ，b ( u ，v ) 2 l 。+ 2 u 一+ ) d x d y ， f e l 2 ( q ) ，( 廠，v ) 篁l 蚴，h ；( q ) 宣扣h 2 ( q ) ：“i 帕l 魯i 拉昌o ) 。 設(shè) 是q 的一個(gè)矩形剖分，g 寸v k e j 。，假設(shè)i l e - h ，h x , = h y ，但不 滿足正則性假設(shè)和擬一致假設(shè)。不失一般性，設(shè)吃，) _ i l ，。又設(shè)k 的中心為 o 。，y 。) ，2 h ，2 h ，分別表示平行于x 軸和y 軸的兩邊的邊長(zhǎng)，于是存在可逆的 仿射變換& ：霞一k ，定義如下， f 工一工x + j i l ；亭， 1 y - y x + i l y 叩 定義a c m 有限元空間如下： k = h ：成* k 。& 戶，0 ) * ( 口) = 0 ) 一o ， 其中a 為a q 上的任意節(jié)點(diǎn)。 定義插值算子n 。：h 3 ( q ) 一k 如下： n l x ；h ，l - i r ：何3 ( k ) - - , b 。f ；1 ，i i x v n 口， 于是( 2 4 ) 的有限元逼近問題為：求u 。k ，使得 m ，”) + 4 h ( u h , v ) + 釓( u h ，v ) l ( ，”) ，v ”圪， ( 2 5 ) 【u ( x ，o ) 。i l h u 0 ， 其中l(wèi) i u o 為。的有限元插值 4 一 一，v ) 。墨l v “一v 呦， 玩，y ) 。善l m k + 知姆+ “一v ) d x d y 。 定義眶。刮l 巳+ 巳， 其中b = ( 墨| - l ；) ；，k l ( 墨| i ：) ；，可以證明| j 1 2 一是上的模。 為了后面的應(yīng)用，還給出以下引理。 引理2 w 圪，k ， ，下列不等式是成立的， 0y ，i i o , k s c h ；2i i v ，i i m 。，0y 。0 。五s c h ；20v ，0 。占， ( 2 6 ) i i v ，0 。玉s c h ；10v 。i i 。占，0 v 。l0 , k s c h ；1i i v ，0 。， ( 2 7 ) i l v 。i i o , k s c h ；1 ，l i v 。s c h ；10 。 ( 2 8 ) 證明：由于 i i v ，i i k 。正v 二d x d y 。正口高i l ， ；2 h x h ，d 彰，7 一h ；s h ；1l 口渤艮， 由文 2 中的結(jié)論0 口渤i i 雌3 ；0 口勃i i 。譬， 0v 。l l 。2 善s l 以5 i 1 l v 2 ( h ，h ，) 2 虻1 | i l i l d x d y - c h ：0 0 k ， 兩邊開方，有i i v 。l l 。占量c h ；2i i 0 吣， 其余的同理可證。 仿照文獻(xiàn) 1 的證明過程，并利用單元的各向異性特征， 性矩形網(wǎng)格 上，設(shè)一“一r l u ，v v e v ，有 引理3l q 屹- 0 孵5 ) l u l l l v l l u 引理4 善l 5 d 孵) i “i s i i v i i ：一 引理5 墨l k 。d ) i 乩i i v i i ：- + 善瓤匕 引理6 善上。d ( ) i “洲川k 。 在均勻的各向異 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 2 4 各向異性超逼近結(jié)果 定理1 設(shè)u 、u 分別是( 2 4 ) ( 2 5 ) 解，若u 具有足夠的光滑度，則有： 眠一s c h 2 m 層+ i h l l ) + z ( j q 肛：沖】2 證明：令口一一n u ，則由( 2 4 ) 及( 2 5 ) ，v v 吒，有 ( b ，v ) + 4 ( 口，v ) + 6 ( 口，v ) 1 f n u f ，v ) + a ( “一 u ，v ) + b h ( u 一 u ，v ) 一善咀一 ) “匕+ ”，沖一墨吼一 ) q 以+ “辦渺， ( 2 1 3 ) 取v 一只時(shí)，( 2 1 3 ) 式的左邊為 ( 包，v ) + 吼p ，v ) + “p ，v ) - i i e , 艋+ 舌( 1 1 0 i i 乙+ i i 口眶。) ， ( 2 1 4 ) 1 4 利用分部積分公式，( 2 1 3 ) 式右邊 i 一 u 。，v ) + a ( “一h u ，v ) + b h 一i i “，v ) 一善饑：一l 砌n v ，+ “一v ，協(xié)一墨嘰一 w v r + “”v ，脅 - ，- i f u ，b ) + 丟( ，l + ，2 - i s 一1 4 ) 一u 1 + ，2 一j 3 - j 4 ) ， ( 2 1 5 ) 其中，lm a - l i “，口) ， j 1 - 口 ( 一i i l ，口) ， ，2 6 u 一 u ，口) ，j 2 一b h “一 “) 。，口) ， 小墨幔。一f t , x u n 以+ u t , e y ) d y ， 7 。善咀一 一以+ u y y 一，) 出， 由插值定理及s c h w a r t z 不等式，有 j ，。墨咀一l 砌m 以+ 卸巳沖， j 善咀一 ”以+ “卯一，陟。 以一1 1 蚱，只) s q - i i 。u tj i j i o , n d o ( h 4 ) j i , i i o , ， ( 2 1 6 ) 由引理3 ，有 1 1 l a 以- h u ，0 ) a d ( 3 5 ) i n i , i i o ， ( 2 1 7 ) ，1 一口 ( ( “一h “x ，0 ) = o ( h 3 5 ) l u ，l ，i i o i i 。 ， ( 2 1 8 ) 由引理4 、引理6 ，有 ，：；6 ( “- 1 i 。u ，0 ) a o ( h 3 ) l ui ，| | 口i i ：。， ( 2 1 9 ) j 2 = 6 k ( ( “- h “) ，0 ) = o ( h 3 ) l u ，1 5 i l 口0 2 。 ( 2 2 0 ) 下面來考察，。 i h 是雙線性算子，可以證明l h 吼在q 上連續(xù)，且， 吼l 。一0 ， o y 在平 行于x 的邊上連續(xù)，- r o ，n x k 一0 ，所以， l 2 善嘰：一工) n 吼+ “w q ) 方2 墨饑：一l n 懶 2 善咀，一正) 一吼+ u m , o 為l y 。 在z ：，f 。邊上，有 o x ( x x h x ，y ) 一，, o a x x 以，_ ) ，) = f ( y ) ( k - , - h ，y ) 一號(hào)f ( ) ，) f 0 ，) 日島x x 吃，_ ) ，) ， 注意到一一0 ， 饑。一正弘。( 以一 以) 方。丘“一曠( y ) 一了2 r v ，r t ( y ) 蚴7 ， 所以， 善嘰：一工) o 艘+ u + o y ) d y 。l “。( f c y ) o 。一號(hào)f ( ) ) f7 ( ) ，溉聊蚴 。墨( 嘶k f o , f d y 一善l “f ( y 拂出砂一 墨咀一丘) f 2 ( ) ，弦一9 一出 + ，k “。o 。a x a y 墨l f o 弘蚴+ 墨l 矽一蚴 s c o ；墨l hi 點(diǎn)i i 口”i i 吖+ 6 ；墨i hl o i l 吖) s c h 2 i “i 。l l o 。 ( 2 2 1 ) 仿照上面的推導(dǎo)過程，l + j 樣可以得出： ，。；c h 2i h 圳剛2 ， ( 2 2 2 ) ，。c h 2l u ，i 。l l o i i ：。， ( 2 2 3 ) ，4 = c h 2 h 圳0 。 ( 2 2 4 ) 由( 2 1 4 ) 一( 2 2 4 ) 可得： q1 1 0 2 + 吉丟( 0 00 a + n 0 i e 。) s c h 4j 吩i 。0 q i k + c 3 5 i 1 5 1 1 日 b + c h 3 i qk 0 療0 ： + c a 2 i q i 。0 00 ： + 瓤國(guó)”h 圳口i k + c h 3 i “1 5 l l o + c h 2 i “0 】， 利用y o u n g 不等式，化簡(jiǎn)可得： + ( i i o0 乙+ i i o i i + + 。) c h 4 【( i 嶼b + l q l 2 ) + 魯( 1 “b + l u i d + ( i i o l i p + l l o l l + + ) 。 兩邊從0 到f 積分，并注意療( o ) 一0 ， 歸噸+ 8 0 慨 s c h 4 吮( ；+ i 峨i d d + + ( 呲+ i “i d + 們口慨+ u o i i 一) 出， 1 6 由g r o n w a l l 引理，有 i l o l l h + i 1 0 1 1 ：2 。s c h 4 【( 呲+ l ul ：) + 丘( ；+ i q1 2 脅】， 即酬u - 1 - i 川：，蔓c h 2 m l u1 1 ) + j ：( hi i + ：】5 。 2 5 超收斂分析與外推 為了得到整體超收斂，現(xiàn)將相鄰四個(gè)單元合并成一個(gè)大單元豆，并構(gòu)造 插值后處理算子乞：c 1 ( 露) 一q 4 ( k ) + s p a n x 5 y ，x y 5 ，其中a 。( 兩中蟊上雙 4 次多項(xiàng)式空間，c 1 ( 霞) 是蟊上的連續(xù)函數(shù)空間，并滿足： n 復(fù) ( z ，) 。w ( z ，) ，( 魯) ，( z ，) 一w ( z ，) ，( 兀乞d ，( z ；) 一w ( z ，) ，i 一1 ，2 ，9 ， 其中z ；( f = 1 2 ，9 ) 是四個(gè)小單元的所有頂點(diǎn)。 利用文 3 的技巧，可以驗(yàn)證n l , 也具有各向異性特征，即對(duì)多重指標(biāo) 口一 。，口：) ，存在常數(shù)c 使得： 當(dāng)i a l - l 時(shí)，6 “p d i ) 1 1 0 i s c l b ?？趇 ：t ，v 口h 3 ( 霞) ， 當(dāng)l 口i = 2 時(shí)，l i b 。( 口一d i ) 峙未5 c l b 。口l ，未，v 口e s h 3 ( 露) 。 ( 2 2 5 ) 引理7 在上述條件下，n 乞還具有以下性質(zhì)： ( 1 ) 蓋n “一芻“， ( 2 2 6 ) ( 2 ) 川芻u u 2 s c h 2 l u l 5 ， ( 2 2 7 ) ( 3 ) 盞v i i i ：s c l l v k 。 ( 2 2 8 ) 證明：由插值算子羔的定義可以直接得出( 2 2 6 ) 。下面證明來證明引 理7 的性質(zhì)( 2 ) 和( 3 ) ， 對(duì)于i ：。，由于 i i ( r l 裊, , - u ) 。崍一l ( n 基u - - u ) 三d x d y 。止( n 芻露一h j 轉(zhuǎn)2 以- 4 j i l ，h ，d 彰叩 1 7 一峨- 4 h ，i i ( f i ：一五) 擰哐j c k 以l 露話l k = c h ；4 也| 1 1 6 以2 以- 1 勺- 1 i “i & s c h 4l 艮， 所洲( n 婦- u ) 。s c h 2 i “k ， 同理0 ( n 婦一bk - ：c h 2i nk ， l l ( ：一b k s c h 2 i “b ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 合并( 2 2 9 ) 一( 2 3 1 ) 有0 n 乞一h i i ：。s c h 2i u | 5 。 又由于 0 ( n l v ) 。i 曙j - l ( ：) ：d x d y - 丘( n ：4 一v j 囂2 以- 4 ，h ，d 5 d , 7 一| i l ，- 4 t ，o ( d 乞口) 靜sc h ：h ，h ，i jv u 一c h ：h ，h ，l v 。2 4 以- 1 i l ，d x d y - c i i k i k 2 ， 即l f ( n 芻v ) 。i i o 雷s c8 ki i 。j 同理0 ( 蓋v ) ，k s c l l k ， i i ( n 芻v ) ，蔓c0 i i 。j ， 由( 2 3 2 ) 一( 2 3 4 ) 可得：i i n ：4 川i ： s c8v0 ： 。 對(duì)于州l ，仿照上述推導(dǎo)過程，結(jié)論也成立。 綜合兩個(gè)方面有引理7 的( 2 ) 、( 3 ) 成立。 在上述引理的條件下，有如下整體超收斂結(jié)果。 定理2 在定理1 的條件下，有 0 l n ：。“。一“0 i ：。s c a2 ( i “i ；+ i i “l(fā) j ) + 丘( ；+ i “，i ：沖】2 。 證明：因?yàn)椋?“ 一u 一： u 一2 4 i i “+ i i 毛h “一u ， 所以，有兀：。一“1 1 1 2 , , , l l l n ；。一n ；n 胍j + l l l n j , n 一“| | | 2 ，。 = n 芻 - i i 。u ) l l l ：。+ n i 。“一“：。， 1 8 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) y m - 于l l ln h ( , , 一一n ) i l l ：- sc h 2 【( + ) + ( h “，1 2 脅 j 乞口一2 s c 如2j k ， 所以：軌一班一s c h 2 【( 雌+ i ni ：) + j ：眠i “，仨脅扎 為7 提商誤差估計(jì)的精度，對(duì)方程進(jìn)行外推處理， 由引理5 可得墨l k 。d 偽4 ) i “i s i i 拍+ 善等l “匕， 下面對(duì)善饑。一兀。匕+ b ) 方做進(jìn)一步展開。 仿照( 2 2 1 ) 的推導(dǎo)過程，有 善聽，一l 。匕+ v ，協(xié) 。墨l ，o , ) u v d x d y + 墨l ，2 o ，知，蚴。 而l f ( y 弘一d x d y 璣( 曠2 ( y ) ) 一號(hào) ；一 i 丘伊2 ( y ) ) o + “一v ，油矽一i ，2 正“一v ， = 一機(jī)( f 2 ( _ ) ，) ) “一v d x d y + 機(jī)，2 ( y 一v ，蚴，+ 璣“。v ， 一扼q i l | ) u v d x 。 一 對(duì)于均勻網(wǎng)格， lf ( y 如一v ，蚴， 。 墨l 伊2 0 ) ) 。，擊吣+ i j 墨j i f 2 ( y 如。v ，撕 一扣；l “一v ，蚴一 ；善呱一以k 以一i , v ，) d x ， 其中l(wèi) h 為雙線性插值算子。 又由于 q l j l | 一y l y 2 嘰一正，弘一但o p 。一號(hào)e o 姆7 0 k ) 出 ；( l “。( e 弘。- e ( x ) e ( x ) v 。v ) d x d y 1 9 一d 孵) l “i ，。0 ，。， 于是 墨幔：一l 砌“匕 l u x y v y 脅l o c m ) i h 圳v i i ：一+ j 1 ，2 l 一v ，姍， 墨嘰一正，) _ l u y y v y _ d 酬“i s i i 嘞+ 孵l “一叱蚴。 接下來證明下面引理， 引理8 設(shè)u e h 5 ( q ) 為( 2 4 ) 的解，為有限元解，1 1 為在圪上對(duì) 應(yīng)的插值，則存在妒，滿足0 伊i l ，s l 妒i ，使得 “ 一i i u 一| 1 1 2 9 ， ，v ) 一o ( h 3 ) i u l 5 0r0 2 ， 其中釓為伊在k 上的有限元投影。 證明：由( 2 2 ) 及( 2 5 ) ，v v 圪，有 衄一h 口i ，v ) + a ( “ 一 h ，v ) + 6 ( “ 一1 1 “，y ) 2 以r i i h u l ，v ) 4 - a k m i l “，v ) - f b h ( u i l h u ，v ) 一善咀一l ) “也+ “一v ，) d y 一墨吼一f w 也+ “一v ， 為了求出外推結(jié)果，考慮上式中后邊三項(xiàng)，由前面的推導(dǎo)， b h ( “ 一n u ，v ) = b a n 一1 i u ，y ) + ( “ 一“，v ) _ o ( h 3 ) 呲u ： + n 1 2 l “一k d x d y + 鞭l “v y d x d y 1 1 h ，2 。v y d x d y h ：f o u ，。d x d y ， 設(shè)妒為輔助問題 b h ( q 。，力。古( 璣“一vd x d y + 瑪12 l “。v ，d x d y + 婀l “一v y d x d y + 孵l “一v ，d 卿) 的解，則嘲0 妒s i u l 5 。 令釓為妒在k 上的有限元投影，則w k ，有： 2 0 b h ( u 一 “- h 2 妒 ，v ) 一o ( h 3 ) i l l l 5 0v0 2 j ， 取v h 一n 口- h 2 妒 ，：有l(wèi) l u - i i u - h2 9 0 2 t d 0 3 ) l “k ， 于是有：i l “ 一- h 2 c p8 2 s0 “ 一n - h 2 8 2 礎(chǔ)20c p - c p0 2 s c h 3 i k + c h 3j j 伊1 1 3 一o ( h 3 ) i u l 5 ， 定理3 設(shè)，。為均勻網(wǎng)格，j h 2 為將 均勻加密得到的網(wǎng)格，u 為( 2 4 ) 的解，u ，u h 2 分別 、j h 2 上的有限元解，萬一i 4 - - 4 “ 2 一i 1 “2 4 一 為外推解， 則有： 9 亍4 - - 4 “班一j 1 - - 4 ” 一u0 2 一o ( h3 ) i “k 。 證明：l i 4 - 1 4 h 2 一j 1 1 - 2 4 “ 一h 暑9 ( 了4 1 - 4 “ 2 一了4 - - 4 n h 2 一了4 、i h ) 2 ：妒) + ( 號(hào)n ：n h 州2 一號(hào)比) 一( j i - - ：4 u 一 n 乞n u 一 | 1 1 2 芻妒) 一( 了1 - - ：4 。n 。h 一 “) + ( n ：驢一n 芻伊) 0 ： ， 而0 ： “ 2 一“0 2 j = 8 ：“一“0 2 ， 昌o ( h 3 ) i “1 5 ， 0 ( i 。4 伊一蓋伊) i2 , h o ( h ) 8 妒0 ，；o ( h ) i u l 5 ， 所以：i i 號(hào)41 1