（運籌學與控制論專業(yè)論文）模糊測度空間上集值函數的收斂性和choquet積分.pdf

摘要 本文研究了非可加測度的一些結構特性和模糊測度空間上的可測函數( 單值和集值) 的收斂性以及c h o q u e t 積分的一些性質，主要工作如下： ( 1 ) 引入了單調集函數的幾種連續(xù)性并給出l e b e s g u e 定理在單調測度空間上的四種 推廣形式，討論了單調集函數的上( 下) 連續(xù)性和模糊積分，c h o q u e t 積分的單調收斂定理 之間的等價性，證明了單值函數c h o q u e t 積分的控制收斂定理 ( 2 ) 研究了模糊測度空間上閉集值可測函數( 也稱隨機集) 的收斂性，分別證明了有 限模糊測度空間上和單調測度空間上關于閉集值可測函數的兩種形式的e g o r o f f 定理 ( 3 ) 作為實值可測函數的c h o q u e t 積分的推廣，在模糊測度空間上給出了可測集值 函數的數值c h o q u e t 積分的定義，討論了這種積分的性質，并證明了可測集值函數的數值 c h o q u e t 積分的單調收斂定理，f a t o u s 引理以及l(fā) e b e s g u e 收斂定理 關鍵詞：集函數，模糊測度，集值函數，l e b e s g u e 定理，e g o r o f f 定理，c h o q u e t 積 分，模糊積分 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s o m es t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i c so fn o n a d d i t i v en l e a s u r ea r es t u d i e dt h ec o n v e r g e n c eo ft h em e a s u r a b l ef u n c t i o n s ( s i n g l e v a l u e da x e ds e t - v a l u e d ) a n ds o m ep r o p e r t i so fc h o q u e t i n t e g r a la r ed i s c u s s e d i ti so r g a n i z e da sf o l l o w s ： 【1 ) f o u rk i n d so fc o n t i n u i t yo fm o n o t o n es e tf u n c t i o na x ei n t r o d u c e da n df o u rf o r m so fg e n e r a l i z a t i o no nm o n o t o n em e a s u r es p a c ef o rl e b e s g u et h e o r e ma x ep r e s e n t e d t h e e q u i v a l e n c ea m o n g t h ec o n t i n u i t yf r o mb e l o wa n da b o v eo fm o n o t o n es e tf u n c t i o na n dt h em o n o t o n ec o n v e r g e n c et h e o - r e m so ff u z z ya n do fc h o q u e ti n t e g r a l sa r ed i s c u s s e d ，r e s p e c t i v e l y d o m i n a t e dc o n v e r g e n c et h e o r e m o fc h o q u e ti n t e g r a lo fs i n g l e - v a l u e df u n c t i o ni ss h o w n ( 2 ) t h ec o n v e r g e n c eo ft h em e a s u r a b l ec l o s e d - v a l u e df u n c t i o n ( a l s oc a l l e dr a n d o ms e t ) i ss t u d l e dt w of o r m so fe g o r o f ft h e o r e mo ft h em e a s u r a b l ec l o s e d - v a l u e df u n c t i o no nm o n o t o n en l e a s u r e s p a c ea n do nf i n i t ef u z z ym e a s u r es p a c ea x ep r o v e d ，r e s p e c t i v e l y ( 3 ) t h ec o n c e p to fc h o q u e ti n t e g r a lo ft h em e a s u r a b l es e t - v a l u e df u n c t i o n so nf u z z ym e a s u r e s p a c ei si n t r o d u c e d i ti sa sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec h o q u e ti n t e g r a lo fm e a s u r a b l es i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n st h ep r o p e r t i e so fc h o q u e ti n t e g r a la x ed i s c u s s e d m o n o t o n ec o n v e r g e n c et h e o r e m ，f a t o u l s l e m m aa n dl e b e s g u ec o n v e r g e n c et h e o r e mo fc h o q u e ti n t e g r a la r ep r o v e d ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：s e tf u n c t i o n ，f u z z ym e a s u r e ，s e t - v a l u e df u n c t i o n ，l e b e s g u et h e o r e m ，e g o r o f f t h e o r e m ，c h o q u e ti n t e g r a l ，f u z z yi n t e g r a l 一、學位論文獨創(chuàng)性聲明 東南大學學位論文 獨創(chuàng)性聲明及使用授權的說明 本人聲明所呈交的學位論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及取得的研究成 果盡我所知，除了文中特別加以標明和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經發(fā)表或 撰寫過的研究成果，也不包含為獲得東南大學或其它教育機構的學位或證書而使用過的材 料與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示了 謝意 二、關于學位論文使用授權的說明 簽名：耋羔監(jiān)日期；翟蚪 東南大學、中國科學技術信息研究所、國家圖書館有權保留本人所送交學位論文的復 印件和電子文檔，可以采用影印、縮印或其他復制手段保存論文本人電子文檔的內容和紙 質論文的內容相一致除在保密期內的保密論文外，允許論文被查閱和借閱，可以公布( 包 括刊登) 論文的全部或部分內容論文的公布( 包括刊登) 授權東南大學研究生院辦理 簽名：導師簽名： 耄霾 日期；叢：三 第一章引言 自從1 9 6 5 年美國控制論專家laz a d e h 發(fā)表關于模糊集1 1 1 的開拓性論文“后，模糊 數學的研究獲得了迅猛發(fā)展，目前已形成了一門具有廣泛應用的新學科正像經典測度與積 分理論在經典數學中占有的位置，模糊測度與模糊積分引起了許多學者的關注1 9 7 4 年， 日本學者s u g e n o 在 2 3 中首次提出用比較弱的單調性和連續(xù)性來代替可加性的另一類定義 在閉區(qū)間 0 ，1 上的集函數，稱之為模糊測度，它是指滿足以下條件的集函數： ( 1 ) p ( 0 ) = 0 且u ( x ) = 1 ，e c f = = 爭p ( e ) p ( f ) ， ( 2 ) 若 r ) 為m 中的單調集列，則l i _ + o 。p ( r ) = p ( 1 i 。o 。r ) 并相應地定義了可測函數關于模糊測度的積分 1 9 8 0 年1 ：瑚e s c u 和a d a m s 2 2 】將s u g e n o 意 義下的模糊測度推廣取值于 0 ，+ ?！可?由于模糊測度通常不具有可加性，難以完全建立相當于經典測度論中的理論體系，為 此人們在研究中往往對模糊測度附加一些諸如”次可加性”、 一律等條件，但這些條件 往往是比較強的，所以具有一定的局限性后來王震源在 2 5 ，2 6 中提出了較弱的自連續(xù)和 零可加等重要的概念，并與1 9 8 6 年更進一步提出了偽自連續(xù)，偽零可加等概念，討論了模 糊測度空間上可測函數序列各種收斂之間的關系以及積分序列的收斂性，推廣了經典測度 論中著名的l e b e s g u e 定理、r i e s z 定理、e g o r o f f 定理以及l(fā) e b e s g u e 控制收斂定理等，王震 源的這些工作被系統(tǒng)的總結在他與k l i r 的專著f u z z ym e a s u r et h e o r y 2 7 中 近幾年，對模糊測度和模糊積分的研究又有了新進展，如哈明虎和吳叢忻在f 2 2 中系統(tǒng) 總結了他們在這些方面的研究成果，得到了一系列有意義的結果李軍在 1 3 】中證明了古典 測度中的e g o r o f f 定理在有限模糊測度空間是無條件成立，從而使得e g o r o f f 定理在有限模 糊測度空間上的推廣工作得到實質結果，在 1 4 中，在強序連續(xù)和性質( s ) 的條件下，得到 了模糊測度空間上的廣義e g o r o f f 定理，在 1 2 】中，得到了模糊測度空間上的l e b e s g u e 定理 的充分必要條件是強序連續(xù)的以上結果對進一步完善模糊測度理論有非常積極的意義 2 0 世紀初期，集值映射的引進，首先來源于經濟系與控制系的需要比如在經濟系中， 消費計劃、預算和供給、生產計劃都是商品空間的集合，為了研究經濟系的均衡問題，必須 研究取集值的映射，因為在經濟系統(tǒng)中有不可忽視的人的動因產生的不同效用1 9 6 4 年，經 濟學家兼數學家a u m a n n 從經濟系統(tǒng)理論的研究出發(fā)，引進了集值映射由于集值映射在控 制領域和經濟領域具有很廣的應用，所以集值映射具有很高的研究價值張文修在 3 】3 中， 系統(tǒng)的討論了測度空間上可測集值函數的性質，劉彥魁在f 1 5 】中又將集值函數的收斂性問 題從測度空間推廣到模糊測度空間上，并詳細討論了關于集值函數的l e b e s g u e 定理，r i e s z 定理，e g o r o f f 定理以及他們的各種推廣形式，其中在f 1 5 中所用的模糊測度就是r a l e s c u 和a d a m s 2 2 1 意義下的模糊測度 19 6 5 年，a u m a n n 在經濟學問題的啟發(fā)下，以可測集值映射的單值l e b e s g u e 可積選擇 】 東南大學碩士論又 定義了兄“空間中集值函數的積分，稱為a u m a n n 積分6 1 。m m - a m - 積分出現以后，集值函 數的積分理論大量應用在數學，經濟，控制以及其他領域，引起了許多學者的關注。關于數 學方面的工作主要集中在z h a n g 3 】，p u r ia n dr e l e s c u 2 1 等等但是無論是數學領域還是經 濟領域以及其他領域他們的工作都是基于經典的l e b e s g u e 積分伴隨著模糊測度與模糊積 分理論的產生和發(fā)展，一種自然的想法就是建立集值函數的模糊積分，由于最常見的模糊積 分是s u g e n o 模糊積分，從而可以仿照a u m a n n 積分的定義，仍然利用單值可測選擇的模糊 積分來定義集值函數的模糊積分基于這種考慮，文獻 2 9 ，3 0 ，3 1 的作者定義了集值函數 的模糊積分，將a u m a n n 積分推廣到模糊測度空間。近幾年，基于非可加集函數的c h o q u e t 積分也引起了許多學者的關注，例如m o r u f u s h ia n ds u g e n o 1 8 ，1 9 ，m e s i a r 1 7 ，w a j l g 2 8 ， p a p 2 0 】等等，他們所有的工作都是關于單值函數的相對于集值函數的模糊積分，集值函 數的c h o q u e t 積分的概念也被人提出來了，這些積分的基本性質也被討論了( f 8 ，3 1 1 ) 本文將進一步研究非可加測度的一些結構性質和模糊測度空間上可測函數( 包括實值 和集值函數) 的收斂性以及可測集值函數的c h o q u e t 積分的一些性質論文分為四章，第一 章為緒論，第二章為預備知識，主要給出模糊測度與模糊積分理論中的一些基本定義和性 質。 第三章將討論模糊測度空間上實值可測函數收斂與依測度收斂的關系，進一步推廣可 加測度論中的l e b e s g u e 定理由于在非可加測度論中，”幾乎處處”與”偽幾乎處處”這 兩個概念不等價，因此l e b e s g u e 定理的推廣就具有不同的形式第一節(jié)給出了單調集函數 的四種連續(xù)性結構，并討論了這四種連續(xù)性和單調集函數的上、下連續(xù)性之間的關系第二 節(jié)證明了在單調測度空間上的四種類型的l e b e s g u e 定理在 1 6 和 27 】中，m u r o f u s h i 和 王震源在集函數的上連續(xù)性、下連續(xù)性的條件下分別證明了c h o q u e t 積分和模糊積分的單 調收斂性定理我們在第三節(jié)將分別證明單調集函數的上連續(xù)性、下連續(xù)性與模糊積分和 c h o q u e t 積分的單調收斂性定理三者之間的等價性最后將利用第一節(jié)推廣的l e b e s g u e 定 理證明c h o q u e t 積分的控制收斂定理 第四章討論了模糊測度空間上可測閉集值函數( 也稱隨機集) 的e g o r o f f 定理在經典 測度論中，e g o r o f f 定理是非常重要的收斂性定理之一 9 】在 2 7 中，王震源利用模糊測 度的零可加性將經典測度論中可測實值函數的e g o r o f f 定理推廣到有限模糊測度空間上李 軍在 1 3 中進一步證明了在有限模糊測度空間上，可測實值函數的e g o r o f f 定理是成立的而 無須對模糊測度附加其它條件在本章第二節(jié)，我們利用強序連續(xù)和性質( s ) ，證明單調測 度空間上可測閉集值函數的e g o r o f f 定理，在下半連續(xù)和性質( p s ) 的條件下，證明可測閉 集值函數的偽e g o r o f f 定理第三節(jié)我們將證明可測閉集值函數的e g o r o f f 定理和偽形式的 e g o r o f f 定理在有限模糊測度空間上仍然成立以上結果進一步推廣和完善了王震源f 27 1 ， 李軍f 1 3 1 ，劉彥魁 1 5 】等人的結果。 c h o q t m t 積分是基于非可加測度的一種非可加和非線性積分。在【1 8 ，1 9 ，1 7 ，2 8 ，2 【j 】中， 許多學者分別研究了可測實值函數的c h o q u e t 積分的性質和積分收斂定理。第五章我們將 討論可測集值函數的c h o q u e t 積分，在第一節(jié)我們給出可測集值函數的數值c h o q u e t 積分 的定義并討論它的基本性質，它可被認為是實值可測函數的c h o q u e t 積分的一種推廣，在第 二節(jié)討論了這種積分的收斂性，證明了可測閉集值函數的c h o q u e t 積分的單調收斂定理， f a t o u 引理，最后利用可測閉集值函數的f a t o u 引理證明了c h o q u e t 積分的控制收斂定理。 第二章預備知識 為了后面敘述問題的方便，本章主要介紹一些定義，定理以及引入一些符號 2 1 模糊測度 在本論文中，用符號“”( 或“夕”， “一”) 代表“單調遞減收斂”( 或“單調遞 增收斂”，“收斂”) j p 代表m 一維歐氏空間，d 代表r ”上的歐氏度量 定義2 1 1 ：設x 是一個非空集合，為x 的一個子集族，若，滿足下述性質r ( 1 ) xe ， ( 2 ) 若a ，則x a ， ( 3 ) 若a 。，= 1 ，2 ，) ，貝0 u 甚1 a n ， 那么我們稱，為一個一代數。 定義2 1 2 ：設x 是一個非空集合，是由x 的某些子集組成的口代數，并設： ，_ 0 ，+ 。 是一個單調集函數，即“滿足以下條件： ( 1 ) p ( 0 ) = 0 ； ( 2 ) v a ，b ，ac b 哥u ( a ) ( b ) 當p 是單調集函數時，( x ，p ) 稱為單調測度空間【2 0 】 注解t 文獻 1 6 中，單調集函數p 被稱為模糊測度 1 9 8 0 年，r a l e s c a 和a d a m s 2 2 將s u g e n o 模糊測度推廣到【0 ，。 上 定義2 1 3 2 2 】：模糊測度p ：，- + 0 ，?！渴侵笣M足下面的性質： ( f m l ) p ( 日) = o ； ( f m 2 ) a ，b ，a c b ，有p ( a ) p ( b ) ； ( f m 3 ) 若a 1ca 2c ca 。c ，a 。，則有 。 熙p ( ) 2p ( u a n ) ； ( f m 4 ) 若a 1 ) a 2 ) 3a 。d ，a 。，并且存在k ，使得p ( 九) a ) = 。x ：f ( x ) a ) ，( v 口o ) 定義2 2 ，2 1 1 6 ：可測函數，：x - + r + 在a ，上的c h o q u e t 積分定義如下 rf o o ( c ) f d # = p ( r n a ) d a j aj 0 其中上式右端為l e b e s g u e 積分，f 0 = 扣a ：，( u ) ho o ) 容易看出，可測函數，關于模糊測度p 的c h o q u e t 積分總是存在的因此， 若( c ) f d p o ) 定理2 3 7 4 ：設晶1 ) 是閉集列，f 是閉集，下列命題等價： ( 1 ) fc l i n m _ + i 。n f f t l ( 2 ) 撬( f e 晶) 2o ( e o ) 定理2 3 8 1 3 t 設( n ，只p ) 是有限測度空間，( x ，d ) 是可分的度量空間，f r ( n 1 ) ，f 是n 到x 的隨機集族，則下面命題等價： ( 1 ) 0 驄晶( u ) 2f ( “) ( 一p ) ( 2 ) 典d ( 。，r ( u ) ) = d 0 ，f ( u ) ) ( o ep ，z r m ) 第三章單調集函數的連續(xù)性與可測函數序列的收斂 l e b e s g u e 定理是可加測度理論中最重要的收斂性定理之一，它陳述為在一個有限測度 空間上，實值可測函數序列 a ) 幾乎處處收斂于，蘊含著 0 ，均有l(wèi) i m 。+ m p ( 忙x ：i ( z ) 一f ( x ) i 0 ，有恕p ( 如：i ( z ) 一l f a ) ) = p ( x ) 一特別地取口= 時，0 驄肛( z ：i 扛) 一l f t ) ) d t 另一方面， 1 0i ft 1 扣| x a 。 t ) = 【a n i f0 t 略= 【a i f0 t 舳= f o l # ( a ) d t 刊a ) 所以，t z ( a 。) ( ) 這說明p 是下連續(xù)的 ( 1 ) 辛( 3 ) ：利用文獻 1 6 】中的引理77 ，證明與文獻【1 6 】中的定理7 5 相同。 ( 3 ) = 爭( 1 ) ：假設 a 。) c ，并且a 。a 我們分兩種情況討論： ( i ) 當盧( a ) = n + 。時，定義可測函數序列如下： fn i fz a 。 ( z ) = a x n 。= 1 0i fz y a n n = 1 ，2 一，并且 ，( 。) = a x a = fa inio l0j fz x a 則在a 上，n 夕f 由已知條件得 ( s ) f f 。d “( s ) f d , u ( n - + o o ) ， 即 ( s ) ?？? s ) 蝴斯m - + 毗 又根據文獻【1 6 中定理7 2 ，可得 ( s ) a x a 。如= na 盧( a n ) = u ( a n ) 且 ， ( s ) a x a d , u = oa p ( a ) = p ( a ) ， 因此p ( 。) 夕p ( a ) ( i i ) 當“) = + 。時，我們證明 。l _ 十i m 。“( 九) = + 。o 如果l i r a ( a 。) = a + o o ，則有( + 1 ) x a 。夕( 0 + 1 ) x a 由條件得 ( n + 1 ) 咖夕( n + 1 ) m 咖， 由模糊積分性質 ( 0 + 1 ) a “( a 。) ( a + 1 ) a p ( a ) 從而p ( a n ) ( 0 + 1 ) 這與。l 。i m 。p ( a n ) = 。矛盾所以。l _ + i m 。p ( 如) 2 + o 。 定理證畢 與定理3 3 1 的證明類似，我們可以得到以下結果： 定理3 3 2 ：設p 是單調集函數以下兩條件等價 1 ) “是上連續(xù)的 ( 2 ) 對任意 ，n ) f + ，n ，且( g ) f f l d p o 。有 。旦( g ) 咖= ( 口廠脅- 東南大學項士淪文 若“是有限的，則以下條件與上面兩條件分別等價 ( 3 ) 肘任蕙 ) cf + ，a ，有 。1 i m ( s ) f n d # = ( s ) f y d # 下面我們利用定理3 2 1 給出c h o q u e t 積分的控制收斂定理 定理3 3 3 ；設p 是單調集函數且在零集連續(xù)， ，n ) c f + ，f + ， 蘭粵，如果存在 g f + ，使厶g ( 對任意n 1 ) 且( c ) j 目舢 。，則( c ) f 札 o 。，( g ) ，咖 。且 。+ l i r a 。( c ) | 厶一，j d p2 0 證明： 因為( g ) f g d , 0 ，使得 z “p ( 。：2 9 ( z ) t ) ) d t i ，。， kp ( 。：2 9 ( 2 ) 。) ) 4 。 0 ，p ( z ：l 厶( 。) 一，( 。) i 口) p ( z ：2 9 ( x ) t ) ) 于是， 。 -p(z：|，n(。)一m)lt)dtjo ；o 相 脅圳一x f ( x ) l t ) a t n 時 于是當n n 時 證畢。 r 州圳舯) _ ，( 圳糾) 蟣1 3 厶川伽：| 川_ ，知) | 剄) ) 出 一 f ， 一 z 厶扣 一 p e 一3e 。汁 + e 一3 0 和r 中的任意緊集k ，存在v ( e ，) ，當n _ v ( e ，) 時，有 e ( = ( ) ) = a ， 則稱 r ) 在e 上一致收斂于f ，記作r 馬p ( 2 ) 如果存在e 的可測集合序列 四k ) ，滿足 l 驄p ( ) 2 0 ， 并且在e 五k 上，咒竺f ，( m = 1 ，2 ) 則稱 r ) 在e 上幾乎一致收斂到f ，記作 r 馬f ( 3 ) 如果存在e 的可測集合序列 點) ，滿足 i 粵b p ( 曰e m ) 2p ( e ) ， 并且在e e 。上，f n 與f ( m = 1 ，2 ) ，則稱 r ) 在e 上偽幾乎一致收斂到f ，記作 晶攀只 ( 4 ) 如果對任意c e n ，在c 上，晶巴罵只那么我們稱 晶，在e 中偽幾乎一致收 斂到f 其中： e ，( “j )= x 科“；d ( x ，f ( u ) ) 0 ，有： 。 x 礎x u 鯽( m 一。) m = 1 因為p ( x e ) = 0 所以p ( x 舀礎) p ( x e ) = 0 ，即p ( x e ) = 0 m = l 根據p 具有強序連續(xù)性可得 l 驄p ( x 瑚) = 0 所以存在 x 鮒) 的子列 x 刪) 滿足： p 礎) ，( v l 1 ) 所以 l i r a u ( x 0e 鬻) = 由p 具有性質( s ) 可知：存在 x 礎 的子序列 x 磷 ) 滿足 p ( nu x 硪：) ) = 0 ，( f l f 。 0 和r m 的緊集k 存在正整數f t 。( e ，k ) ，滿足e z 。( e ，) 0 p ( u 礎) = p ( a ) l 驄p ( 礎) = p ( a ) 所以存在忙船；f ，f n , 1 ) 的子列怛虢) 滿足： ( 1 ) 若p ( a ) 0 和r ”的緊集k ，存在正整數l i o ( t ，k ) ，滿足e f 。 t ，kc 瓦： 由 小f kc 硪： n “j x ； ( 晶e f ) u ( f e 晶) ( u ) n = a ) t 0 所以當n 蘭( e ，k ) = m i ；。時， a f k ( a 疊( ) ) = “a 耳； ( f n e f ) u ( f e f n ) ( u ) n k o ) = o 因此r 攀f 4 3模糊測度空間上的e g o r o f f 定理 本節(jié)中我們給出在有限模糊測度空間上的e g o r o f f 定理和偽e g o r o f f 定理，設( x ，p ) 是模糊測度空間，并且p 是有限模糊測度， 晶協(xié)1 ) ，f ) cp 伍) 定理4 3 1 ：在a ，上， 晶馬f 昔r 馬f 。 證明：設0 0 ，令 礎= n u a ； ( e 。q f ) u ( f e f r ) 】( u ) n g = o ) ， 吣 j | 瓦 nu r f u f r a u 馴。n 一 nn = = r a 東南大學碩士論文 r j f f e c 霹c 且nu 聊= a d f = l m = l 所以可得： o 。o 。 p ( unu 如a ；【( r e f f ) u ( f e ? r ) ( u ) n 西o ) ) = ( d ) = 0 7 = l m = l 所以由肛的連續(xù)性可得z 0 粵b “( u u a ； ( r e f f ) u ( f q r ) ( u ) n 巧o ) ) = o n = 仇 令 d 卿= u u ； ( 晶q f ) u ( f q r ) ( u ) n 研o ) ， d ( ) = nj d 卿， t n ；1 d = u d ( “ 令 與文獻 1 3 的證明方法一樣，我們可得到一個集合列忙哦) ，利用單調性，我們可得 0 0 p ( u d r o 1 1 l p ( u d 裁u d ) o 和r 的緊集k ，存在正整數1 0 ( e ，耳) ，滿足1 0 e ，kc 瓦 由 o o e cn u a ； ( 晶e f ) u ( f e r ) ( u ) i - i k ：o ) ， f ，2 = m f “ 2 2 e 陽 d u “ = g 樂南大學頑士論文 所以當n ( e ，k ) = f n 時， e ( 矗( k ) ) = ue 曰； ( 只，e f ) u ( f e f , 。) ) n k 0 ) = o 因此在e 上，r 與f 推論4 , 3 2 ：若p 是零可加的，則在a y 上， d 扛，r ( u ) ) 馬d ( x ，f ( u ) ) = = d 扛，r ( u ) ) 蘭與d 扛，f ( u ) 定理4 3 3 ：在a ，上， 晶駕f 哥f n 攀p 證明；參見文獻 1 5 推論4 3 4 ：若p 是零可加的，則在a ，上 d ( 。，r ( u ) ) 巴! 毒d ( z ，f ( u ) ) = d ( x ，r ( u ) ) 攀d ( z ，f ( u ) 第五章集值函數的c h o q u e t 積分 在本章我們假定( x ，) 是一個可測空間，p 是，上的模糊測度，r + = 0 ，o o ， p ( 月+ ) 表示r + 的所有子集構成的類，( r + ) = p ( 佗+ ) d ) 集值函數f ：x p o ( r + ) 稱 為可測的，如果它的圖是可測的，即 g r ( f ) = ( z ，r ) x r 十：r f ( z ) ) ，x b m e l ( r + ) 其中b o r e t ( r + ) 表示r + 的b o r e l 集全體 近幾年來，集值函數的c h o q u e t 積分受到許多學者的關注，在可測空間( x ，) 上，設 f 是一個集值函數，a ，則f 在a 上的c h o q u e t 積分定義如下： rr ( c ) ，蟣= “g ) f d # ：，s ( f ) ) 其中s ( f ) = ，：，是可測的且，( u ) f ( u ) p g e ) 上面定義的集值函數的積分是a u m a n n 積分的推廣在本章我們給出集值函數的c h o q u e t 積分的另一種定義，它是可測單值函數的c h o q u e t 積分的推廣下面我們先給出它的定義 5 1 基本定義及性質 可測函數，：x - - 4 r + 在a ，上的c h o q u e t 積分定義如下： ( g ) 上，舡= z 。肛( r n a ) 如 上式右端為l e b e s g u e 積分，f 0 = u a ：，( u ) 口) 按照單值可測函數c h o q u e t 積分的定義，我們得到下面可測集值函數的c h o q u e t 積分 定義5 11 ：可測集值函數f ：x - - - - 4p 0 ( r + ) 在a f 上的c h o q u e t 積分定義如下： ( g ) f 札= p ( r n a ) d c y j j 0 上式右端為l e b e s g u e 積分，r = 扣a ：f ( u ) n h o c 】0 ) 注解：定義5 1 1 顯然是單值可測函數的c h o q u e t 積分定義形式的推廣 注解：為了書寫簡單，我們下面在討論x 上的積分時，用f d # 代替f d # jj 爿 4 樂甬穴學項士論文 由定義511 可以直接得到下面的性質。 性質j 1 2 ：設f 是可測的集值函數，若p ( a ) = 0 ，則有( c ) f d , u = 0 ja 定義513 ：設f 和g 是可測的集值函數，若對u x 有 f ( u ) = g ( u ) p a e 則稱f 與g 幾乎處處相等，記作f = gu n e 定理5 1 4 ：設f 和g 是可測的集值函數，若f = g i z a e ， 則( g ) - 廠f 咖= ( c ) f g d p 當且僅當p 是零可加的 證明：“車= ”由f = gp n e 知， p ( u ：f ( u ) g ( u ) ) ) = 0 而 u ：f ( u ) n 【a ，o o 】毋) u u ：f ( u ) g ( u ) ) = u ：g ( u ) n f n ，o g 0 ) u “：f ( u ) g ( u ) ) 由p 的零可加性知p ( r ) = p ( g 。) 因此 婚、l 腳= f 油= l ，o ou 舊抽i l e 、lg 如 “號”任意d ，e ，且p ( e ) = 0 若p ( d ) = 0 0 ，由p 的單調性可知： p ( d u e ) = p ( d ) = 。 若肛( d ) p ( d ) 成立，令 若u d u e 其它 若u d 其它 則 p ( f ( u ) g ( u ) ) ) = p ( d 曰) p ( e ) = 0 所以 f ( w ) = g ( u ) p “_ 切 聊 u u d d p p i i d d 吣。 阻o ，、【，、 = = ) ) u u f g 東南大學碩：_ 論文 ( g ) 產舡= ( g ) g d # 而 ( g ) f d “= z 。p ( r ) d a = z “。8 p ( r ) d n = p ( d u e ) “( du e ) ( g ) g 批= z 。p ( g 。) 婦= 上“。8 p ( g 。) d 。= p ( d u e ) p ( 。) 所以( g ) f f d # ( g ) f g d l 【與假設矛盾，故假設不成立，因此p 是零可加的 定爻5 1 5 ：可滴集值函數f 稱為c h 。q u e t 可積的，如果( g ) f 如 _ ( c ) f d , uv ( c ) g d , u ，其中( f vg ) ( u ) = 。v k n f ( u ) 1 6 g ( u ) ) ( 2 ) ( g ) f f a 咖s ( g ) f 咖 ( g ) g 礎，其中( f g ) ( u ) = a a b , aef ( 毗6 g ( “) ) ( 3 ) ( a ) f d p ( g ) f 咖v ( c ) f 如 j u 口 ja j 且 ( 4 ) 舊) a o b f d g , ( g ) 。腳邶) 。腳 5 2c h o q u e t 積分的收斂定理 下面我們給出單調可測閉集值函數的c h o q u e t 積分的收斂定理，可測閉集值函數的f a t o u 引理以及控制收斂定理其中在本節(jié)中集列的收斂性都是按照定義2 3 3 的意義下定義的。 定義5 2 1 3 1 ；設e 晶( n = 1 ，2 ，) 是將x 映到p o ( r + ) 的可測的閉集值函數，對任 意的u x ，我們分別定義： ( 1 ) ( 1 i ms u p f 仃) ( u ) = l i m s u p r ( u ) ， n _ + n 呻 ( 1 i m