線性系統(tǒng)理論-鄭大鐘(第二版)全套PPT電子課件教案.ppt

線性系統(tǒng)理論,鄭大鐘清華大學出版社,第一章緒論,第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,第三章線性系統(tǒng)的運動分析,第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性,第五章系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性,第六章線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合,第一部分線性系統(tǒng)的時間域理論,第二部分線性系統(tǒng)的復頻率域理論,第一章緒論,線性系統(tǒng)理論是系統(tǒng)控制理論的一個最為基礎和最為成熟的分支。它以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學工具，以狀態(tài)空間法為基礎分析和設計控制系統(tǒng)。,控制理論發(fā)展概況：第一階段20世紀4060年代經(jīng)典控制理論第二階段20世紀6070年代現(xiàn)代控制理論第三階段20世紀70大系統(tǒng)理論（廣度）智能控制理論（深度）,第一章緒論,1.1系統(tǒng)控制理論的研究對象,系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論的研究對象,系統(tǒng)：是由相互關聯(lián)和相互制約的若干“部分”所組成的具有特定功能的一個“整體”。,系統(tǒng)具有如下3個基本特征:,(1)整體性,(2)抽象性,作為系統(tǒng)控制理論的研究對象，系統(tǒng)常常抽去了具體系統(tǒng)的物理，自然和社會含義，而把它抽象為一個一般意義下的系統(tǒng)而加以研究。,(3)相對性,在系統(tǒng)的定義中,所謂“系統(tǒng)”和“部分”這種稱謂具有相對屬性。,動態(tài)系統(tǒng)：所謂動態(tài)系統(tǒng)，就是運動狀態(tài)按確定規(guī)律或確定統(tǒng)計規(guī)律隨時間演化的一類系統(tǒng)動力學系統(tǒng)。,系統(tǒng)變量可區(qū)分為三類形式,系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學描述,動態(tài)系統(tǒng)的分類,從機制的角度,從特性的角度,從作用時間類型的角度,u,x,y,連續(xù)系統(tǒng)按其參數(shù)的空間分布類型,本書中僅限于研究線性系統(tǒng)和集中參數(shù)系統(tǒng),動態(tài)系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論所研究的主體，其行為有各類變量間的關系來表征。,線性系統(tǒng)理論的研究對象為線性系統(tǒng)，其模型方程具有線性屬性即滿足疊加原理。,若表征系統(tǒng)的數(shù)學描述為L,系統(tǒng)模型是對系統(tǒng)或其部分屬性的一個簡化描述,系統(tǒng)模型的作用：仿真、預測預報、綜合和設計控制器模型類型的多樣性：用數(shù)學模型描述、用文字、圖表、數(shù)據(jù)或計算機程序表示數(shù)學模型的基本性：著重研究可用數(shù)學模型描述的一類系統(tǒng)建立數(shù)學模型的途徑：解析、辨識系統(tǒng)建模的準則：折衷,線性系統(tǒng)理論研究對象是(線性的)模型系統(tǒng)，不是物理系統(tǒng)。,線性系統(tǒng),系統(tǒng)模型,1.2線性系統(tǒng)理論的基本概貌,線性系統(tǒng)理論是一門以研究線性系統(tǒng)的分析與綜合的理論和方法為基本任務的學科。,主要內容:數(shù)學模型分析理論綜合理論,發(fā)展過程:經(jīng)典線性系統(tǒng)理論現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論,主要學派:,狀態(tài)空間法,幾何理論,把對線性系統(tǒng)的研究轉化為狀態(tài)空間中的相應幾何問題,并采用幾何語言來對系統(tǒng)進行描述,分析和綜合,代數(shù)理論,把系統(tǒng)各組變量間的關系看作為是某些代數(shù)結構之間的映射關系,從而可以實現(xiàn)對線性系統(tǒng)描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之轉化為純粹的一些抽象代數(shù)問題,多變量頻域方法,線性系統(tǒng)理論著重研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運動規(guī)律和改變這種規(guī)律的可能性和方法，以建立和揭示系統(tǒng)結構、參數(shù)、行為和性能間確定的和定量的關系。,第一部分:線性系統(tǒng)時間域理論,第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.1狀態(tài)和狀態(tài)空間,線性系統(tǒng)時間域理論是以時間域數(shù)學模型為系統(tǒng)描述,直接在時間域內分析和綜合線性系統(tǒng)的運動和特性的一種理論和方法,系統(tǒng)動態(tài)過程的兩類數(shù)學描述,(1)系統(tǒng)的外部描述,外部描述常被稱作為輸出輸入描述,例如.對SISO線性定常系統(tǒng):時間域的外部描述:,復頻率域描述即傳遞函數(shù)描述,(2)系統(tǒng)的內部描述,狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內部描述的基本形式，需要由兩個數(shù)學方程表征狀態(tài)方程和輸出方程。,(3)外部描述和內部描述的比較,一般的說外部描述只是對系統(tǒng)的一種不完全描述，不能反映黑箱內部結構的不能控或不能觀測的部分。內部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述，能夠完全反映系統(tǒng)的所有動力學特性。,狀態(tài)和狀態(tài)空間的定義,狀態(tài)變量組:,狀態(tài)：,一個動力學系統(tǒng)的狀態(tài)定義為由其狀態(tài)變量組,所組成的一個列向量,一個動力學系統(tǒng)的狀態(tài)變量組定義為能完全表征其時間域行為的一個最小內部變量組,狀態(tài)空間：,狀態(tài)空間定義為狀態(tài)向量的一個集合，狀態(tài)空間的維數(shù)等同于狀態(tài)的維數(shù),幾點解釋,（1）狀態(tài)變量組對系統(tǒng)行為的完全表征性,只要給定初始時刻t0的任意初始狀態(tài)變量組,和tt0各時刻的任意輸入變量組,那么系統(tǒng)的任何一個內部變量在tt0各時刻的運動行為也就隨之而完全確定,(2).狀態(tài)變量組最小性的物理特征,(3).狀態(tài)變量組最小性的數(shù)學特征,(4).狀態(tài)變量組的不唯一性,(5).系統(tǒng)任意兩個狀態(tài)變量組之間的關系,(6)有窮維系統(tǒng)和無窮維系統(tǒng),(7)狀態(tài)空間的屬性,狀態(tài)空間為建立在實數(shù)域R上的一個向量空間Rn,2.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例,描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關系的方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（動態(tài)方程或運動方程），包括狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關系）和輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關系）。,選擇狀態(tài)變量,2.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,以上方程可表為形如,機電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例,上式可表為形如,連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,動態(tài)系統(tǒng)的結構,連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,線性時不變系統(tǒng),線性時變系統(tǒng),連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方塊圖,離散時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,狀態(tài)空間描述形式,離散時間線性時不變系統(tǒng),離散時間線性時變系統(tǒng),狀態(tài)空間描述的特點,一是:狀態(tài)方程形式上的差分型屬性二是:描述方程的線性屬性三是:變量取值時間的離散屬性,離散時間線性系統(tǒng)的方塊圖,2.3.連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類,線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng),設系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,向量函數(shù),若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一個組成元為x、u的非線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng),若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為x、u的線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng),對于線性系統(tǒng),非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng),時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng),若向量f,g不顯含時間變量t,即,該系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng),若向量f,g顯含時間變量t,即,該系統(tǒng)稱為時變系統(tǒng),連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng),當且僅當系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時間點,反映變量間因果關系的動態(tài)過程為時間的連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng),當且僅當系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時間點,反映變量間因果關系的動態(tài)過程為時間的不連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng).,確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng),稱一個系統(tǒng)為確定性系統(tǒng),當且僅當不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動,都是隨時間按確定的規(guī)律而變化的.,稱一個動態(tài)系統(tǒng)為不確定性系統(tǒng),或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性,或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動是隨機變量,2.4由系統(tǒng)輸入輸出描述導出狀態(tài)空間描述,由輸入輸出描述導出狀態(tài)空間描述,對于單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng),其微分方程描述,其傳遞函數(shù)描述,可以導出其狀態(tài)空間描述為,基本步驟：選取適當?shù)臓顟B(tài)變量組，確定對應的參數(shù)矩陣組。,結論1,給定單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對應的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導出,(1)m=n,即系統(tǒng)為真情形,(2)mt0，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即y(t)0，tt0,t1，則稱非零狀態(tài)x0在時刻t0為不能觀測；,對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻t0都不為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻t0為完全能觀測；如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非零狀態(tài)集合在時刻t0為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻t0為不完全能觀測；如果系統(tǒng)對任意時刻均為完全能觀測，即能觀測性與初始時刻t0的選取無關，則稱系統(tǒng)為一致完全能觀測。,該系統(tǒng)是不完全能觀測的,由于,可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測性與x(t0)的能觀測性是等價的。,注：從工程實際角度考慮，一個實際系統(tǒng)為能觀測的概率幾乎等于1。,其解為；,42連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù),結論1：,(格拉姆矩陣判據(jù))線性時變系統(tǒng),在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格拉姆矩陣,為非奇異矩陣。,證明：,充分性,為非奇異時，系統(tǒng)能控,說明系統(tǒng)是能控的。必要性證明采用反證法，自閱。,由于時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣求解困難，故能控性格拉姆矩陣判據(jù)的意義主要在于理論分析中的應用。,結論3：n維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),設A(t),B(t)對t為n-1階連續(xù)可微，定義,則系統(tǒng)在時刻t0J完全能控的一個充分條件為，存在一個有限時刻t1J，t1t0，,使,能控性秩判據(jù),結論2：,連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)：,完全能控的充分必要條件是，存在時刻t10，使格拉姆矩陣,為非奇異。(格拉姆矩陣判據(jù)),主要在于理論分析和推導中的應用。,結論4,（能控性秩判據(jù)）對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣,滿秩，即rankQc=n,結論5,（能控性PBH秩判據(jù)）n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：ranksI-A，B=n,sCC為復數(shù)域,或rankiI-A，B=n，i為系統(tǒng)特征值,結論6：（能控性PBH特征向量判據(jù)）n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：矩陣A不存在與B所有列正交的非零左特征向量，即對矩陣A所有特征值i，使同時滿足TA=iT，TB=0的左特征向量T=0。,主要在于理論分析中，特別是線性時不變系統(tǒng)的復頻域分析中。,結論7：（約當規(guī)范型判據(jù)）對n維線性時不變系統(tǒng)，若A為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是B中不包含零行向量。,結論8：（約當規(guī)范型判據(jù)）對n維線性時不變系統(tǒng)，若A為約當陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：特征值互異的約當塊最后一行對應的B陣中，該行元素不全為零。特征值相同的各約當塊最后一行對應的B陣各行向量線性無關。,注：1.能控性PBH特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性時不變系統(tǒng)的復頻域分析中。2.狀態(tài)向量的線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。,例,圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件,解,選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,即（R1R4=R2R3）時，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控。,例,系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組bl11、bl12、bl13線性無關以及bl21不為零向量。,系統(tǒng)能控,當kn時，Qk為能控性判別矩陣。,對完全能控連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，定義能控性指數(shù)為：使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)k。,結論9：對完全能控單輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則系統(tǒng)能控性指數(shù)n。,能控性指數(shù),連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)：,定義：,結論10：對完全能控多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，設rankB=r，則能控性指數(shù)滿足如下估計：,設,為矩陣A的最小多項式次數(shù)，則,結論11：多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，且rankB=r，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：,結論12：對完全能控多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，將Q表為：,其中：12rn,由于rankB=r，將Q中的n個線性無關列重新排列：,能控性指數(shù)滿足：max1，2，r,且稱1，2，r為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。,B,A-1B,43連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能觀測性判據(jù),結論1：,線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣,為非奇異矩陣,結論2：,連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是，存在時刻t10，使格拉姆矩陣,為非奇異。,結論3：,n維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)設A(t),C(t)對t為n-1階連續(xù)可微，定義,則系統(tǒng)在時刻t0J完全能觀測的一個充分條件為，存在一個有限時刻t1J，t1t0，,使,結論4,對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為能觀測性判別矩陣,滿秩，即rankQo=n,結論5,n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：,或,為系統(tǒng)特征值,C為復數(shù)域,結論7：對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，若A為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是C陣中不包含零列向量。,結論8：對n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，若A為約當陣，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：特征值互異的約當塊第一列對應的C陣中，該列元素不全為零。特征值相同的約當塊第一列對應的C陣中，各列向量線性無關。,結論6：n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：矩陣A不存在與C所有行正交的非零右特征向量，即對矩陣A所有特征值，使同時滿足,的右特征向量,定義：令,完全能觀測n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)定義為使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)。,結論9：對完全能觀測單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測性指數(shù)為n。,結論10：對完全能觀測多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設rankC=m，則,設,為矩陣A的最小多項式次數(shù)，則,結論11：對多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，設rankC=m，則系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：,4.4離散時間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù),時變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù),定義,離散時間線性時變系統(tǒng),如果對初始時刻hJk和任意非零初始狀態(tài)X(h)=X0都存在時刻lJk,lh和對應輸入u(k),使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時刻lJk達到原點，即有X(l)=0,則稱系統(tǒng)在時刻h完全能控；,如果對初始時刻h和任意非零狀態(tài)Xl，都存在時刻lJk,lh和對應輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài)X(h)=0出發(fā)的系統(tǒng)運動在時刻lJk達到Xl，則稱系統(tǒng)在時刻h完全能達。,結論1離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻h完全能達的充分必要條件為，存在時刻lJk,lh，使格蘭姆矩陣,為非奇異,結論2若系統(tǒng)矩陣G(k)對所有kh,l-1非奇異，則離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻hJk完全能控的充分必要條件為，存在時刻lJk,lh，使格蘭姆矩陣,為非奇異,若系統(tǒng)矩陣G(k)對一個或一些kh,l-1奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時刻h完全能控的一個充分條件。,若系統(tǒng)矩陣G(k)對所有kh,l-1非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達性等價。,若離散時間線性時變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達性等價。,時不變系統(tǒng)的能控性和能達性判據(jù),結論3離散時間線性時不變系統(tǒng),系統(tǒng)完全能達的充分必要條件為，存在時刻l0，使格蘭姆矩陣,為非奇異。,若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在時刻l0，使格蘭姆矩陣為非奇異。,若系統(tǒng)矩陣G奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件。,結論4n維離散時間線性時不變系統(tǒng),系統(tǒng)完全能達的充分必要條件為矩陣,滿秩,若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為rankQkc=n。,若系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n為系統(tǒng)完全能控的一個充分條件。,結論5對于單輸入離散時間線性時不變系統(tǒng)，當系統(tǒng)完全能控時，可構造如下一組輸入控制,則系統(tǒng)必可在n步內由任意非零初態(tài)X(0)，轉移到狀態(tài)空間原點，通常稱這組控制為最小拍控制。,若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時間線性時不變系統(tǒng)能控性和能達性等價。,若離散時間線性時不變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達性等價。,例,設單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。,解,系統(tǒng)是能控的,令,若令,無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T轉移到x(2)=0。,時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù),結論6離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻hJk完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻lJk,lh,使格蘭姆矩陣,為非奇異,時不變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù),結論7離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻l0,使格蘭姆矩陣,為非奇異,結論8n維離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為,滿秩,結論9若單輸出離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測，則利用n步輸出值就可構造出相應的初始狀態(tài),4.5對偶性,對于線性系統(tǒng)，能控性和能觀測性之間在概念和判據(jù)形式上存在對偶關系，實質上反映了系統(tǒng)控制問題和系統(tǒng)估計問題的對偶。,定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),其對偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),對偶系統(tǒng),其中，狀態(tài)Xn維行向量，協(xié)狀態(tài)n維行向量輸入up維列向量，輸入q維行向量輸出yq維列向量，輸出p維行向量,顯然，是一個p維輸入q維輸出的n階系統(tǒng)，其對偶系統(tǒng)d是一個q維輸入p維輸出的n階系統(tǒng)。,d系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣的轉秩d輸入矩陣輸出矩陣的轉秩d輸出矩陣輸入矩陣的轉秩,對偶系統(tǒng)之間具有如下屬性：,1.線性屬性和時變屬性,2.系數(shù)矩陣的對偶性,3.狀態(tài)轉移矩陣的對偶性,互為轉秩逆！,互為對偶的兩系統(tǒng)，輸入端與輸出端互換，信號傳遞方向相反，信號引出點和綜合點互換，對應矩陣轉置。,原構系統(tǒng)與其對偶系統(tǒng)具有相同屬性。,4.方塊圖對偶屬性,結論:設為原構線性系統(tǒng),d為對偶線性系統(tǒng),則有,完全能控d完全能觀測,完全能觀測d完全能控,線性時不變系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣,互為對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉置，特征方程式相同，特征值相同。,對偶性原理,完全能控d完全能觀測,根據(jù)這一原理，一個系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)完全能觀測）的特性，可以轉化為其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測（狀態(tài)完全能控）的特性來研究。對偶原理的意義，不僅在于提供了一條途徑，使可由一種結構特性判據(jù)導出另一種結構特性判據(jù)，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統(tǒng)最優(yōu)控制問題和最佳估計問題基本結論間的對于關系。,4.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測性的條件,設連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),對應的時間離散化系統(tǒng),其中G=eATH=,A的特征值,結論1：如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測），則對任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測）的。,本定理也可敘述為：如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測）的。,將線性連續(xù)系統(tǒng)化為線性離散系統(tǒng)進行分析和控制，是現(xiàn)今系統(tǒng)與控制理論中常為采用的一種模式。,結論2：設連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測）的必要條件是：,不是A的特征值。其中l(wèi)為非零整數(shù),結論3:對時間離散化系統(tǒng)，使采樣周期T的值，對滿足Reij=0的一切特征值，成立,則時間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是eATB為行線性無關,結論4:連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其時間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測的一個充分條件為，采樣周期T滿足如下條件：對A的任意兩個特征值1、2，不存在非零整數(shù)l，使,成立,對于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。,4.7能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關系,結論1:單輸入單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。,例,設單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù),由于存在零、極點對消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測的。,結論2:多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)能控的充分必要條件是：狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣,的各行在復數(shù)域上線性無關。,結論3：多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是：輸出向量與初始狀態(tài)向量X(0)之間的傳遞矩陣,的各列在復數(shù)域上線性無關。,48能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形：SISO情形,由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也不是唯一的。在實際應用中，常常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間描述化成相應的幾種規(guī)范形式：如約當規(guī)范型，對于狀態(tài)轉移矩陣的計算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控規(guī)范型對于狀態(tài)反饋來說比較方便，而能觀測規(guī)范型則對于狀態(tài)觀測器的設計及系統(tǒng)辯識比較方便。無論選用哪種規(guī)范形，其實質都是對系統(tǒng)狀態(tài)空間描述進行非奇異線性變換，其關鍵在于尋找相應的變換矩陣。,本節(jié)以線性時不變SISO系統(tǒng)為對象，討論能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形的基本形式和變換矩陣的構造方法。,線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為,能控性能觀測性在線性非奇異變換下的屬性,引入坐標變換,，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,結論1：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性和能觀測性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測性指數(shù)也保持不變。,能控規(guī)范形,結論2：對完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),則通過變換矩陣,或,可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即,導出：,注：1.能控規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項式系數(shù)0，1，n-1聯(lián)系起來，對于系統(tǒng)綜合與仿真研究很方便。2.完全能控的任意兩個代數(shù)等價系統(tǒng)必具有相同的能控規(guī)范形。3.一個單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能控。4.單輸入系統(tǒng)具有唯一的能控規(guī)范形。,無特殊形式,結論3：對完全能觀測的n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其能觀測規(guī)范形可基于線性非奇異變換,導出,其中,注：1.能觀測規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項式系數(shù)0，1，n-1聯(lián)系起來，對于綜合系統(tǒng)的觀測器很方便。2.完全能觀測的任意兩個代數(shù)等價系統(tǒng)必具有相同的能觀測規(guī)范形。3.一個單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能觀測。4.單輸出系統(tǒng)具有唯一的能觀測規(guī)范形。,無特殊形式,例：已知線性時不變能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試化為能控規(guī)范型。,解：,49能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形MIMO情形,多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型，相比于單輸入單輸出情形，無論規(guī)范形式還是構造方法都要復雜一些。1.規(guī)范形式的不唯一性2.構造變換矩陣的復雜性本節(jié)僅討論應用較廣的龍伯格規(guī)范形。,搜索線性無關的行或列的方法,多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣,從Qc或Qo中找出n個線性無關的列或行，通常需經(jīng)過一個搜索過程。,nnp,nqn,考察n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),能控性判別矩陣為,若系統(tǒng)完全能控，rankQc=n，即Qc的np列中只有n個線性無關。,nnp,1.搜索Qc中的n個線性無關的列向量的“列向搜索方案”,用格柵圖的方法在Qc中搜索n個線性無關的列向量。,格柵圖,b1b2b3b4,A0A1A2A3A4A5,B,AB,A2B,A3B,A4B,A5B,n6,123,搜索到123n停止。,13，22，31，l3,Qc中的6個線性無關的列:b1,Ab1,A2b1;b2,Ab2;b3,b1b2b3b4,A0A1A2A3A4A5,123,13，21，32,2.搜索Qc中的n個線性無關的列向量的“行向搜索方案”,rankB=rp,n6，p4，r3,搜索到123n停止。,1,2,3為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。,Qc中的6個線性無關的列:b1,Ab1,A2b1;b2;b3,Ab3,B,AB,A2B,A3B,A4B,A5B,龍伯格能控規(guī)范形,龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點配置綜合問題中有著廣泛的用途。,考察完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),能控性判別矩陣為,rankB=rp,采用“行向搜索方案”，在Qc中找出n個線性無關的列向量，并組成非奇異矩陣：,其中1，2，r為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且12rn,構造變換矩陣S,1，2，r為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且12rn,對于完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),rankB=rp,基于線性非奇異變換，可導出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范形,無特殊形式,r列,P-r列,例：已知完全能控的連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),試將其變換為龍伯格能控規(guī)范形,解：1.寫出能控性判別矩陣Qc,采用“行向搜索方案”，在Qc中找出3個線性無關的列向量,b1b2Ab1Ab2A2b1A2b2,b1b2,A0A1A2,12,12，21,rankB=r=p=2,Qc中3個線性無關的列向量為b1，b2，Ab1,由Qc中找出的3個線性無關的列向量組成非奇異矩陣：,12，21,龍伯格能控規(guī)范形為：,4.10連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結構分解,系統(tǒng)按能控性分解,設不完全能控n維多輸入多數(shù)出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,在Qc中采用“行向搜索方案”或“列向搜索方案”搜索出k個線性無關列q1,q2，qk；其次，在除Qc外的n維狀態(tài)空間中，任意選取n-k個線性無關列qk+1,qk+2，qn，構成非奇異變換P-1,結構分解的實質是以明顯的形式，將不完全能控或/和不完全能觀測的系統(tǒng)分解為不同的四部分，其目的既可以深入了解系統(tǒng)的結構特征，又可以深入揭示狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述間的關系。,能控性判別矩陣的秩,引入非奇異線性變換,其中,可使系統(tǒng)實現(xiàn)按能控性的結構分解：,狀態(tài)向量的非奇異線性變換，不改變系統(tǒng)的能控性及能控程度。,經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為,于是可得能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：,不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：,由于,輸入u的作用，只能改變能控振型位置，不能改變不能控振型位置，這對系統(tǒng)分析和綜合具有重要意義。結構分解形式惟一性和結果的不惟一性?；诮Y構分解式的能控性判據(jù)。,特征值為能控振型特征值為不能控振型,例：,已知,試按能控性進行規(guī)范分解,解：,系統(tǒng)不完全能控，取,能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為,不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為,系統(tǒng)按能觀測性分解,設不能觀測系統(tǒng)的動態(tài)方程為,其能觀測性矩陣Qo=C,CA,CA2,CAn-1T的秩為mn，選出其中m個線性無關行，再加任意n-m個行，構成非奇異變換F,系統(tǒng)按能觀測性的結構分解對偶于系統(tǒng)按能控性的結構分解。,能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為,不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為,系統(tǒng)結構的規(guī)范分解,系統(tǒng)結構的規(guī)范分解是指，對不完全能控和不完全能觀測系統(tǒng)，同時按能控性和能觀測性進行結構分解。,但變換陣Tco的構造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種逐步分解的方法。(1)先將系統(tǒng)按能控(能觀測)性分解；(2)將不能控的子系統(tǒng)按能觀測(能控)性分解；(3)將能控的子系統(tǒng)按能觀測(能控)性分解；(4)綜合以上三次變換，導出系統(tǒng)同時按能控性和能觀測性進行結構分解的表達式。,可通過非奇異變換，將原系統(tǒng)(A,B,C)變換為按能控性和能觀測性規(guī)范分解的系統(tǒng)（Aco,Bco,Cco）。,設系統(tǒng)（A、B、C）不完全能控、不完全能觀測，可先對系統(tǒng)按能控性分解，即令,k,n-k,再分別對k維能控子系統(tǒng)、nk維不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解,Fo1為kk維非奇異方陣，F(xiàn)o2為(nk)(nk)維非奇異為方陣。,綜合以上三次變換，系統(tǒng)的動態(tài)方程為,結構分解形式惟一性和結果的不惟一性。,作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣G(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測部分。,u,y,系統(tǒng)結構規(guī)范分解方塊圖,作為輸入輸出描述的傳遞函數(shù)矩陣G(s)只能反映系統(tǒng)的能控能觀測部分。,例：設線性時不變系統(tǒng)如下，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測性進行結構分解。,解：1.系統(tǒng)能控性判別陣,rankQc=2n=3,所以系統(tǒng)是不完全能控的。,取,其中q3是任意的，只要能保證P非奇異即可。,2.按能控性進行結構分解,變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：,顯然，不能控子空間是能觀測的，無需再進行分解。將能控子空間按能觀測性進行分解。,能控子系統(tǒng)為,3.對能控子系統(tǒng)按能觀測性進行結構分解,顯然，能控子系統(tǒng)不完全能觀測,即,綜合以上兩次變換結果，系統(tǒng)按能控性和能觀測性分解為,能控能觀測：x1，x2,能控不能觀測：x3，x5,不能控能觀測：x4,不能控不能觀測：x6,結構分解的另一種方法,按此順序重新排列，可導出；,4.11最小實現(xiàn),由描述系統(tǒng)輸入輸出動態(tài)關系的微分方程式或傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，這樣的問題叫實現(xiàn)問題。由于狀態(tài)變量的選擇是非唯一的，因此實現(xiàn)也是非唯一的。而且并非任意的微分方程式或傳遞函數(shù)都能求得其實現(xiàn)，實現(xiàn)存在的條件是,從工程的觀點看，在無窮多個內部不同結構的系統(tǒng)中，其中維數(shù)最小的一類實現(xiàn)就是所謂的最小實現(xiàn)。,對于給定傳遞函數(shù)陣G(s)，若有一狀態(tài)空間描述,使之成立,則稱為傳遞函數(shù)陣G(s)的一個實現(xiàn)。,當mn時，D0,當m=n時，,標量傳遞函數(shù)的實現(xiàn)(單輸入單輸出系統(tǒng)),上式中的d就是下列動態(tài)方程中的直接傳遞部分,所以只需討論上式中的嚴格真有理分式部分。給定嚴格真有理函數(shù),設給定有理函數(shù),要求尋找A,b,c，使得,并且在所有滿足上式的A,b,c中，要求A的維數(shù)盡可能的小。,當g(s)的分子和分母無非常數(shù)公因式的情況，即無零、極點對消時，系統(tǒng)能控能觀測。,a、能控規(guī)范形實現(xiàn),b、能觀規(guī)范形實現(xiàn),這時A陣的規(guī)模不可能再減小了，因為再減小就不可能得出傳遞函數(shù)的分母是n次多項式的結果。,傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)(多輸入多輸出系統(tǒng)),一個元素為多項式的矩陣，可以寫成系數(shù)為矩陣的多項式。,將單輸入單輸出系統(tǒng)的能觀規(guī)范形和能觀測規(guī)范形推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)中。,真有理分式矩陣可以化為嚴格真有理分式矩陣。問題的提法是：給定嚴格真有理分式矩陣,a、能控規(guī)范形實現(xiàn),能控規(guī)范形實現(xiàn)為np維,b、能觀測規(guī)范形實現(xiàn),能觀測規(guī)范形實現(xiàn)為nq維,是否滿足轉置關系？,G(s)的最小公倍式,能控規(guī)范形實現(xiàn),能觀測規(guī)范形實現(xiàn),例：試建立的狀態(tài)空間描述。,能控測規(guī)范形實現(xiàn),能觀規(guī)范形實現(xiàn)的維數(shù)？,對于一個可實現(xiàn)的傳遞函數(shù)矩陣來說，從工程角度看，尋求維數(shù)最小的一類實現(xiàn)具有重要現(xiàn)實意義。,最小實現(xiàn)定義,傳遞函數(shù)G(s)的一個實現(xiàn)為,如果G(s)不存在其他實現(xiàn),使的維數(shù)小于x的維數(shù)，則稱式（）的實現(xiàn)為最小實現(xiàn)。,從系統(tǒng)的結構分解了解到，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（陣）實際上只表示系統(tǒng)既能控又能觀子系統(tǒng)。,定理：設p個輸入和q個輸出的系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣G(s)是嚴格的有理真分式，則由(A，B，C)所表示的n階系統(tǒng)是G(s)的最小實現(xiàn)的充要條件是(A，B，C)為完全能控并完全能觀測的。,定理：若系統(tǒng)(A1，B1，C1)與(A2，B2，C2)同是給定傳遞函數(shù)陣G(s)的最小實現(xiàn)時，則它們一定是代數(shù)等價的，即存在一個非奇異矩陣T使,一個具有嚴格真有理分式的傳遞函數(shù)矩陣G(s)的最小實現(xiàn)，可以按照以下步驟進行。,1.對給定傳遞函數(shù)G(s)，先初選一種實現(xiàn)(A，B，C)，通常最方便的是選能控規(guī)范形實現(xiàn)或能觀測規(guī)范形實現(xiàn)。2.對初選的實現(xiàn)(A，B，C)，找出其完全能控能觀測部分(Aco，Bco，Cco)，即為G(s)的最小實現(xiàn)。,例題:給定有理函數(shù)矩陣如下,求出G(s)的最小實現(xiàn)。,解:,能控規(guī)范形實現(xiàn),按能觀測分解,G(s)的一個最小實現(xiàn)為：,第5章系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性,51外部穩(wěn)定性和內部穩(wěn)定性,定義：稱一個系統(tǒng)的外部穩(wěn)定（BIBO）是指對任何一個有界輸入u(t)，即：u(t)10，使得滿足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運動(t；x0，t0)都滿足不等式：,李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定通常時變系統(tǒng)的與t0有關，時不變系統(tǒng)的與t0無關。只要與t0無關，這種平衡狀態(tài)稱為一致穩(wěn)定的。,穩(wěn)定的幾何解釋,時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定屬性時不變系統(tǒng)李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定和一致穩(wěn)定必為等價。,李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的實質實質上是工程意義下的臨界不穩(wěn)定。,漸近穩(wěn)定,稱自治系統(tǒng),的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時刻t0為漸近穩(wěn)定，如果)Xe=0在時刻t0為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定;)對實數(shù)(，t0)0和任給實數(shù)0，都存在實數(shù)T(，t0)0使得滿足不等式X0-Xe(，t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運動(t;x0,t0)滿足不等式|(t;x0,t0)xe|,tt0+T(,t0),漸近穩(wěn)定的幾何解釋,一致漸近穩(wěn)定,時不變系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定屬性漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定,小范圍和大范圍漸近穩(wěn)定,大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件：xe唯一,線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定屬性漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定的工程含義漸近穩(wěn)定工程意義下穩(wěn)定,吸引區(qū)S(),不穩(wěn)定,稱自治系統(tǒng),的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時刻t0為不穩(wěn)定，如果不管取實數(shù)0為多么大，都不存在對應一個實數(shù)(，t0)0，使得滿足不等式X0Xe(，t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運動(t；x0，t0)滿足不等式(t；x0，t)Xe，tt0,不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)。為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定,Q稱為二次型的矩陣,設x=x1,x2,xnT，則實二次型可記為：f(x1,x2,xn)=xTQx,定義：(實)二次型是xRn的標量函數(shù)f(x1,x2,xn)=xTQx，式中，Q為一實對稱nn矩陣x0,若xTQx0,則稱二次型f為正定的，Q稱為正定矩陣，記為Q0。x0,若xTQx0,，則稱二次型f為半正定的，Q稱為半正定矩陣，記為Q0。若xTQx0(0),稱f為負定的(半負定的)，Q稱為負定(半負定)矩陣，記為Q0(i=1,2,n)，則Q為正定的。,f(x1,x2,xn)=xTQx正定,f(x1,x2,xn)=xTQx負定,f(x1,x2,xn)=xTQx半正定,f(x1,x2,xn)=xTQx半負定,f(x1,x2,xn)=xTQx,53李亞普諾夫第二方法的主要定理,基本思路：從能量觀點進行穩(wěn)定性分析：,1)如果一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存的能量隨時間的推移逐漸衰減，到達平衡狀態(tài)時，能量將達最小值，則這個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；2)反之，如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量，儲能越來越大，則這個平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；3)如果系統(tǒng)的儲能既不增加，也不消耗，則這個平衡狀態(tài)就是Lyapunov意義下的穩(wěn)定。,由于實際系統(tǒng)的復雜性和多樣性，往往不能直觀地找到一個能量函數(shù)來描述系統(tǒng)的能量關系;于是Lyapunov定義了一個正定的標量函數(shù)，作為虛構的廣義能量函數(shù)，用其一階微分的符號特征來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,結論7：對連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng),x=0為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，若可構造對x和t具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，且對狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)X滿足如下條件：,）V(x,t)正定且有界，即存在兩個連續(xù)的非減標量函數(shù)(x)和(x)，(0)0，(0)0，使對所有tt0,)和x0有：(x)V(x,t)(x)0)V(x,t)對時間t的導數(shù)負定且有界。即存在一個連續(xù)的非減標量函數(shù)(x)，(0)0，使對所有tt0,)和x0有：(x)0)當x，有V(x,t)則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)x=0為大范圍一致漸近穩(wěn)定。,大范圍漸近穩(wěn)定的判別定理,結論8：對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng),X=0為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，若可構造對x具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)V(x)，V(0)=0，且對狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)X滿足如下條件：,）V(x)為正定)為負定)當x，有V(x)則系統(tǒng)原點的平衡狀態(tài)x=0為大范圍一致漸近穩(wěn)定。,說明：(1)該判據(jù)適用線性和非線性、時變和時不變等各類動態(tài)系統(tǒng)；(2)Lyapunov函數(shù)V(x)不等同于能量；(3)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的判別，歸結為V(x)的選取，一般選取V(x)為狀態(tài)x的二次型函數(shù)，需要研究者的經(jīng)驗與技巧；(4)充分條件(5)“多次試取，退求其次”,例；設系統(tǒng)狀態(tài)方程為,試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。,為一負定的標量函數(shù)，且x，有V(x)，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,解：由平衡狀態(tài)方程得,解得唯一的平衡狀態(tài)為x1=0,x2=0,即xe=0,為坐標原點。選取一正定的標量函數(shù),結論9：對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng)若可構造對x具有連續(xù)一階偏導數(shù)的一個標量函數(shù)V(x)，V(0)=0，且對狀態(tài)空間n中所有非零狀態(tài)x，滿足如下條件：()V(x)為正定；()()()當x，有V(x)；,為負半定；,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。,對為數(shù)不少的系統(tǒng)，結論8中的條件“為負定”是構造Lyapunov函數(shù)V(x)的主要困難，可適當放寬該條件。,例；設系統(tǒng)狀態(tài)方程為,x1=0,x2=0為系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。,且x，有V(x)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,解：選取一正定的標量函數(shù),0,x20或x2-1,x10或,矛盾！,結論10：對連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)若可構造對x和t具有連續(xù)一階偏導數(shù)的一個標量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x和所有tt0,)滿足如下條件：,()V(x,t)為正定且有界；,()為負定且有界；,則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)x=0在域內為一致漸近穩(wěn)定。,小范圍漸近穩(wěn)定的判別定理,結論11：對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng)若可構造對x具有連續(xù)一階偏導數(shù)的一個標量函數(shù)V(x),V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x滿足如下條件：()V(x)為正定；,()為負定；,則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)x=0在域內為漸近穩(wěn)定,結論12：對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng)若可構造對x具有連續(xù)一階偏導數(shù)的一個標量函數(shù)V(x)，V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x滿足如下條件：()V(x)為正定；()(),為負半定；,則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)x=0在域內為漸近穩(wěn)定。,李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的判別定理,結論13：對連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)若可構造對x和t具有連續(xù)一階偏導數(shù)的一個標量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x和所有tt0,)滿足如下條件：,()V(x,t)為正定且有界；,()為負半定且有界；,則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)x=0在域內為李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定。,結論14：對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng)若可構造對x具有連續(xù)一階偏導數(shù)的一個標量函數(shù)V(x),V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x滿足如下條件：()V(x)為正定；,()為負半定；,則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)x=0在域內為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定。,試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。,例：設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,可見系統(tǒng)在xe=0處是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。,解：取,結論15：對連續(xù)時間非線性時變自治系統(tǒng)若可構造對x和t具有連續(xù)一階偏導數(shù)的一個標量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)域，使對所有非零狀態(tài)x和所有tt0,)滿足如下條件：（）V(x,t)為正定且有界；（）為正定且有界；則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)x=0為不穩(wěn)定。,不穩(wěn)定的判別定理,結論16：對連續(xù)時間非線性時不變自治系統(tǒng)若可構造對x具有連續(xù)一階偏導數(shù)的一個標量函數(shù)V(x),V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對所有非零狀態(tài)x滿足如下條件：()V(x)為正定；,()為正定；,則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)x=0為不穩(wěn)定。,例：設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。,解：顯然，