清北學(xué)堂 2014年暑假高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽班型知識(shí)點(diǎn)梳理1

2014 年暑假高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽班型知識(shí)點(diǎn)梳理 （第一次） 資料 說(shuō)明 本 導(dǎo)學(xué)用于學(xué)員在實(shí)際授課之前，了解授課方向及重難點(diǎn)。同時(shí)還附上部分知識(shí)點(diǎn)的詳細(xì)解讀。 本 班型導(dǎo)學(xué)共由 4 份 書面資料構(gòu)成。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳 理 （ 2014 年 暑假 集中培訓(xùn)課程使用） QBXT/JY/ZSD2014/6-1-1 2014-6-20 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂學(xué)科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學(xué)競(jìng)賽郵箱 物理競(jìng)賽郵箱 化學(xué)競(jìng)賽郵箱 生物競(jìng)賽郵箱 理科精英郵箱 清北學(xué)堂官方博客 /tsba 清北學(xué)堂微信訂閱號(hào) 學(xué)習(xí)資料最新資訊 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁(yè) 2014 年暑假高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽班型知識(shí)點(diǎn)梳理 (代數(shù)部分 ) 一、課程重點(diǎn)及難點(diǎn)概述 . 3 二、清北導(dǎo)學(xué) . 4 數(shù)列部分 . 4 重點(diǎn)及難點(diǎn) . 4 知識(shí)點(diǎn) . 4 思考題 . 5 不等式 . 6 重點(diǎn)及難點(diǎn) . 6 知識(shí)點(diǎn) . 6 不等式常用證明方法 . 8 不等式的若干技巧 . 9 利用不等式求最值 . 9 不等式的綜合應(yīng)用 . 10 函數(shù) . 10 重點(diǎn)及難點(diǎn) . 10 知識(shí)點(diǎn) . 10 復(fù)數(shù) . 12 重點(diǎn)及難點(diǎn) . 12 知識(shí)點(diǎn) . 12 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁(yè) 一、 課程重點(diǎn)及難點(diǎn)概述 本次培訓(xùn)的重點(diǎn)為數(shù)列、函數(shù)、不等式和復(fù)數(shù)。其中數(shù)列、函數(shù)、不等式及其三者的交叉綜合問(wèn)題是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。提高班以真題講解為主，穿插相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，訓(xùn)練同學(xué)的解題思路。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁(yè) 二、清北導(dǎo)學(xué) 數(shù)列部分 重點(diǎn)及難點(diǎn) 數(shù)列部分，等差數(shù)列及其性質(zhì)、等比數(shù)列及其性質(zhì)、數(shù)列前 n 項(xiàng)和求法、通項(xiàng)公式的求法、遞歸數(shù)列處理方法是該部分的重點(diǎn)；而數(shù)列的極限、數(shù)列相關(guān)不等式的證明技巧、新數(shù)列構(gòu)造等問(wèn)題是該部分的難點(diǎn)。 知識(shí)點(diǎn) 1. 等差數(shù)列： 1 ()nna a d const 2. 等比數(shù)列： 1 ( , 0 )nna q const qa 3. 幾種數(shù)列遞推關(guān)系式求通項(xiàng)方法 （ 1） 11, , ,nna p a q a p q 已 知 1 ( ) ,1 1 1n n nq q qa p a ap p p 為 一 個(gè) 新 的 等 比 數(shù) 列 故 11()11nn qqa a ppp （ 2） 1 1 1 2, , , ,n n na p a q a a a p q 已 知 該遞推關(guān)系式對(duì)應(yīng)的特征方程為 2x px q，如果方程有不等兩根 12,xx，那么12nnna Ax Bx，由 12,aa定得 ,AB，從而確定數(shù)列通項(xiàng)公式；如果特征方程有重根12xx ，那么 1()nna An B x，由 12,aa定得 ,AB，從而確定數(shù)列通項(xiàng)公式。 （ 3）不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng) 對(duì)于一個(gè)函數(shù) ()y f x ，該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)指的是方程 ()x f x 的根，也就是()y f x 與直線 yx 的交點(diǎn)。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁(yè) 假設(shè)1 nn naa ba ca d ，已知 1, , , ,abc d a 令 () ax bfx cx d ，可求函數(shù) ()y f x 的不動(dòng)點(diǎn)滿足 ax bx cx d ，即 2 ( ) 0cx d a x b ，令方程的兩根為 12,xx 1 若 12xx ，則有1 1 11 1 2()nncppa x a x a d 其 中 2 若 12xx ，則有 1 1 1 11 2 2 2()nna x a x a c xqqa x a x a c x 其 中 從而可以求出 na 的通項(xiàng)公式。 4. 等差乘等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 nS 的求法：錯(cuò)項(xiàng)相減法 思考題 1.（ 2008 年） 設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和 滿足： ， ，則 通項(xiàng) =_。 2.（ 2009 年） 一個(gè)由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個(gè)數(shù)之和，最后一行僅有一個(gè)數(shù)，第一行是前 個(gè)正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是（可以用指數(shù)表示） 3.（ 2009 年） 已知 ， 是實(shí)數(shù)，方程 有兩個(gè)實(shí)根 ， ，數(shù)列 滿足 ， ， () 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式（用 ， 表示）； () 若 ， ，求 的前 項(xiàng)和 4.（ 2010 年） 已知 是公差不為 的等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，其中， 且 存 在 常 數(shù) 使 得 對(duì) 每 一 個(gè) 正 整 數(shù) 都有，則 . na n nS 1( 1)nn nSa nn 1,2,nna100p 0qq 2 0x px q na1ap 22a p q 12 34n n na p a q a n ， ，na 1p 14q na nna 0 nb352211 3,1,3 bababa , n nn ba log 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁(yè) 不等式 重點(diǎn)及難點(diǎn) 不等式部分，常用不等式、應(yīng)用不等式求極值、不等式證明技巧是該部分的重點(diǎn)；其中柯西不等式、排序不等式、不等式證明中的換元法、不等式的綜合應(yīng)用是不等式學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。 知識(shí)點(diǎn) 1. 均值不等式 12, na a a R，有 22111111 nnn nna a a an aannaa 2. 柯西不等式 若 , , 1, 2, ,iia b R i n ，則 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )n n ni i i ii i ia b a b ，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)1212nnaaab b b 常用變形一： RbRa ii ，若 (i=1,2,n) ，則 niniiniiiibaba11212 注：要求 bi為正數(shù) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 7 頁(yè) 常用變形二： 若 Rba ii， (i=1,2,n) ，則 niiiniini iibaaba1211 注：要求 ai， bi 均為正數(shù)。 3. 排序不等式 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組 12 na a a 及 12 nb b b ，則 1 1 2 2 ()nna b a b a b 同 序 和 1 1 2 2 ()j j n jna b a b a b 亂 序 和 1 2 1 1 ()n n na b a b a b 逆 序 和 其中 12,nj j j 為 1,2, ,n 的任意一個(gè)排列。當(dāng)且僅當(dāng) 12 na a a 或12 nb b b 時(shí)等號(hào)（對(duì)任一排列 12,nj j j ）成立。 4. 琴生不等式 如果在定義域 ,ab 上函數(shù) ()y f x 為上凸函數(shù)，則 12, , , ,nx x x a b，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn ； 如果在定義域 ,ab 上函數(shù) ()y f x 為下凸函數(shù)，則 12, , , ,nx x x a b，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn 。 加權(quán)的琴生不等式 : 對(duì)于 定義域 ,ab 上 的 上 凸函數(shù)，若 11 ni ia，則 ni iini ii xfaxaf 11 5. 車比雪夫不等式 若 1 2 1 2,nna a a b b b ，則 1 1 2 2 1 2 1 2n n n na b a b a b a a a b b bn n n 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁(yè) 6. 絕對(duì)值不等式 a b a b a b 1 2 1 2nna a a a a a 不等式常用證明方法 1 比較法 ：依據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及大小順序之間的關(guān)系，通過(guò)兩個(gè)實(shí)數(shù)的差或商的符號(hào)（范圍）確定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系的方法?；窘忸}步驟是：作差（商） 變形 判號(hào)（范圍） 定論。證題時(shí)常用到配方、因式分解、換元、乘方、恒等式、重要不等式、優(yōu)化假設(shè)、放縮等變形技巧。 2 分析綜合法 ：所謂 “綜合 ”指由 “因 ”導(dǎo) “果 ”，從已知條件出發(fā)，依據(jù)不等式的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)、重要不等式等逐步推進(jìn)，證得所要證的不等式。所謂 “分析 ”指的是執(zhí) “果 ”索 “因 ”，從欲證不等式出發(fā)，層層推求使之成立的充分條件，直至已知事實(shí)為止。一般先用分析法分析證題思路，再用綜合法書寫證明過(guò)程。 3 重要不等式法： 主要有均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。 4 換元法 ：適當(dāng)引入新變量，通過(guò)代換簡(jiǎn)化原有結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)某種變通，給證明的成功帶來(lái)新的轉(zhuǎn)機(jī)。具體地講，就是化超越式為代數(shù)式，化無(wú)理式為有理式，化分式為整式，化高次式為低次式等等 。比較常見(jiàn)的有三角代換、均值代換、增量代換、對(duì)稱代換、復(fù)數(shù)代換、局部代換、整體代換、比值代換、常量代換等。至于到底如何代換，因題而異。應(yīng)用換元法時(shí)，要注意新變量的取值范圍，即代換的等價(jià)性。 5 放縮法 ：要證 AB（或 AB） , 可以先證明 AC（或 AC），再證明 CB（或 CB），由傳遞性得證。證明不等式的實(shí)質(zhì)就是如何把不等式的一邊經(jīng)過(guò)適當(dāng)放縮得到另一邊。放縮法的常用技巧： 在恒等式中舍掉或添加一些項(xiàng)； 在分式中放大或縮小分子或分母； 應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、有界性等）進(jìn)行放縮； 應(yīng)用基本不等 式進(jìn)行放縮。運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)，要注意目標(biāo)明確和放縮適度。 6 數(shù)學(xué)歸納法 ：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式。對(duì)于某些較弱的不等式，可以加強(qiáng)命題后再作歸納法證明。 7 構(gòu)造法 ：針對(duì)要證的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，展開(kāi)類比、聯(lián)想，抓住知識(shí)間的橫向聯(lián)系，構(gòu)造出數(shù)列、函數(shù)、圖形等輔助模型，通過(guò)轉(zhuǎn)化達(dá)到目的。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁(yè) 8 反證法 ：通過(guò)否定結(jié)論 ,導(dǎo)出矛盾 ,從而肯定結(jié)論 .一般用于證明否定性、唯一性、存在性命題，或用于直接證明比較困難的命題。 9 調(diào)整法： 在含有多個(gè)變?cè)牟坏仁街?，我們常將一個(gè)或幾個(gè)變?cè)闹颠m當(dāng)調(diào)整（增大或減小 ），使它們等于定值或其他變量，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為新的更強(qiáng)的不等式，而新的不等式變?cè)獪p少或更易證明。 不等式的若干技巧 無(wú)論用什么方法來(lái)證明不等式，都需要對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?.這種變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法 ,去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，找到突破口 . 1變形技巧 2引入?yún)⒆兞?3數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造 （ 1） 構(gòu)造重要不等式的結(jié)構(gòu)，再利用相關(guān)的重要不等式來(lái)證明不等式 . （ 2） 構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)證明不等式 .特別注意好利用二次函數(shù)。 （ 3） 構(gòu)造圖形，利用幾何知識(shí)來(lái)證明不等式 . 4遞推 5 “特殊 ”到 “一般 ”的轉(zhuǎn)化 6 “整體 ”與 “部分 ”合理巧妙轉(zhuǎn)化 利用不等式求最值 利用平均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意 “正數(shù)、定值和相等 ”三個(gè)條件缺一不可，有時(shí)需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個(gè)條件為了用好該不等式，首先要正確理解該不等式中的三個(gè)條件（三要素）：正（各項(xiàng)或各因式均為正值）、定（和或積為定值）、等（各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值，即具備等號(hào)成立的條件），簡(jiǎn)稱 “一正、二定、三相等 ”，這三條缺清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 10 頁(yè) 一不可，當(dāng)然還要牢記結(jié)論：積定 和最小，和定 積最大。但是在具體問(wèn)題中，往往所給條件并非 “標(biāo)準(zhǔn) ”的正、定、等（或隱含于所給條件之中），所以還必須作適當(dāng)?shù)刈冃?，通過(guò)湊、拆（拼）項(xiàng)、添項(xiàng)等技巧，對(duì) “原始 ”條件進(jìn)行調(diào)整、轉(zhuǎn)化，使其符合標(biāo)準(zhǔn)的正、定、等，以保證使用該不等式。 不等式的綜合應(yīng)用 不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中諸如集合問(wèn)題，方程 (組 )的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問(wèn)題，無(wú)一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問(wèn)題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。這類問(wèn)題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值 函數(shù) 重點(diǎn)及難點(diǎn) 函數(shù)部分，單調(diào)性、周期性、常用初等函數(shù)的性質(zhì)是該部分的重點(diǎn)；可導(dǎo)性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)極值、函數(shù)不等式是該部分的難點(diǎn)。 知識(shí)點(diǎn) 1. 函數(shù)的基本要素及性質(zhì) 定義域、值域、連續(xù)性、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性、初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、可導(dǎo)性、高階導(dǎo)數(shù)、極值點(diǎn)（以上為基本概念，學(xué)員可查閱高中數(shù)學(xué)教材學(xué)習(xí)） 偏導(dǎo)數(shù)：以二元函數(shù)為例，若以下極限存在，則記為 z 對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)，0( , ) ( , )l i mxz f x x y f x yxx 。同理0( , ) ( , )l imyz f x y y f x yyy 。 混合偏導(dǎo)數(shù)定理：如果 ( , )z f x y 的混合偏導(dǎo)數(shù)存在，則 22zzx y y x 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 11 頁(yè) （注 2 ()zzx y x y ） 凸性： ()y f x 在區(qū)間 I 上有定義，若 12(0 ,1), ,x x I ，有1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x ，則稱 ()y f x 為區(qū)間 I 上凸函數(shù)。 若 ()y f x 的二階導(dǎo)數(shù)存在，則 ()y f x 為區(qū)間 I 上凸函數(shù) , ( ) 0x I f x 2. 函數(shù)的值域（最值）的求法 配方法：如果所給的函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的形式，一般采用配方法，但在求解時(shí)，要注意作為二次函數(shù)形式的自變量的取值范圍。 判別式法：將所給函數(shù) y f x 看作是關(guān)于 x 的方程。若是關(guān)于 x 的一元二次方程則可利用判別式大于等于 0 來(lái)求 y 的取值范圍，但要注意取等號(hào)的問(wèn)題。 換元法：將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)中某個(gè)式子當(dāng)作整體，通過(guò)換元可化為我們熟知的表達(dá)式，這里要注意所換元的表達(dá)式的取值范圍。 利用函數(shù)單調(diào)性法：如果所給的函數(shù)是熟悉的已知函數(shù)的形式，則可利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)示值域，但要注意其單調(diào)區(qū)間。 反函數(shù)法：若某函數(shù)存在反函數(shù)，則可利用互為反函數(shù)兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域互換，改求反函數(shù)的定義域。 利用均值不等式法。 構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)圖形，數(shù)形結(jié)合求出最值。 3. 函數(shù)不等式 對(duì)于 定義域 ,ab 上 的 上 凸函數(shù)，若 11 ni ia，則 ni iini ii xfaxaf 11 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，如：求證 ( ) ( )f x g x ，可證 ( ) ( )f x g xee 配方法證明函數(shù)不等式：求證 22, , 3 3 3 0x y R x y x y x y 利用導(dǎo)函數(shù)及單調(diào)性證明：求證 0, 1xx e x 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程知識(shí)點(diǎn)梳理 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 12 頁(yè) 復(fù)數(shù) 重點(diǎn)及難點(diǎn) 復(fù)數(shù)部分，復(fù)數(shù)的四種表示方式、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是該部分的重點(diǎn)；復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的幾何意義、復(fù)數(shù)模及其相關(guān)運(yùn)算是該部分的難點(diǎn)。 知識(shí)點(diǎn) 1. 復(fù)數(shù)的四種表示方法 復(fù)數(shù)是能寫成以下形式的數(shù)： 2( , ) , 1z a b i a b R i 代數(shù)形式： ( , )z a bi a b R 幾何形式：復(fù)平面上的點(diǎn) z 或由原點(diǎn)出發(fā)的向量 OZ 三角形式： ( c o s s i n ) , 0 , ,z r i r r R 且 指數(shù)形式： ( c o s s i n )