2014年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題（天津卷）

2014 年 全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題 （天津卷） 第 卷 注意事項(xiàng)： 1.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。 2 本卷共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。 參考公式： 如果事件 A ， B 互斥，那么 如果事件 A ， B 相互獨(dú)立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P BU ( ) ( ) ( )P A B P A P B . 圓柱 的體積公式 V Sh . 圓錐 的體積公式 13V Sh. 其中 S 表示 圓 柱的底面面積， 其中 S 表示圓錐的底面面積， h 表示 圓 柱的高 . h 表示圓錐的高 . 一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的 . （ 1） i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 734ii+ =+（ ） （ A） 1 i- （ B） 1 i-+ （ C） 17 3125 25i+ （ D） 17 2577i-+ （ 2）設(shè)變量 x ， y 滿(mǎn)足約束條件 0,2 0 ,12,yxyyx 則目標(biāo)函數(shù) 2z x y 的最小值為（ ） （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 （ 3） 閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的 S 的值為 （ ） （ A） 15 （ B） 105 （ C） 245 （ D） 945 （ 4） 函數(shù) ( ) ( )212l o g 4f x x=-的單調(diào)遞增區(qū)間 是 （ ） （ A） ( )0,+ （ B） ( ),0- （ C） ( )2,+ （ D） ( ),2- ? （ 5） 已知雙曲線 221xyab-=( )0, 0ab的一條漸近線平行于直線 l ： 2 10yx=+，雙曲線的一 FEDCBA個(gè)焦點(diǎn)在直線 l 上，則雙曲線的方程為 （ ） （ A） 2215 20xy-= （ B） 22120 5xy-= （ C） 223312 5 1 0 0xy-= （ D） 223311 0 0 2 5xy-= （ 6） 如圖， ABCD 是圓的內(nèi)接三角形， BAC 的平分線交圓于點(diǎn) D ，交 BC 于點(diǎn) E ，過(guò)點(diǎn) B 的圓的切線與 AD 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F .在上述條件下，給出下列四個(gè)結(jié)論： BD 平分 CBF ； 2FB FD FA=?； A E C E B E D E?； A F B D A B B F?. 則所有正確結(jié)論的序號(hào)是 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） （ 7） 設(shè) ,abR ，則 |“ ab ”是“ a a b b ”的 （ ） （ A） 充要不必要條件 （ B） 必要不充分條件 （ C） 充要條件 （ D） 既不充要也不必要條件 （ 8） 已知菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2， 120BAD? o ，點(diǎn) ,EF分別在 邊 ,BC DC 上， BE BCl= ，DF DCm= .若 1AE AF?uuur uuur ， 23C E C F?-uuur uuur ，則 lm+=（ ） （ A） 12 （ B） 23 （ C） 56 （ D） 712 第 卷 注意事項(xiàng)： 1用黑色墨水鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上。 2本卷共 12 小題，共 110 分。 二、填空題（本大題共 6 個(gè)小題，每小題 5 分，共 30 分 .把答案填在題中橫線上 .） （ 9） 某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為 300 的樣本進(jìn)行調(diào)查 .已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為 4： 5： 5： 6，則應(yīng) 從一年級(jí)本科生中抽取 _名學(xué)生 . （ 10）已知一個(gè) 幾何體的三視圖如圖所示（單位： m），則該幾何體的體積為 _ 3m . （ 11） 設(shè) na是首項(xiàng)為1a，公差為 -1 的等差數(shù)列，nS為其前 n 項(xiàng)和 .若1 2 4,S S S成等比數(shù)列，則1a的值為 _. 244242俯視圖側(cè)視圖正視圖 （ 12）在 ABCD 中，內(nèi)角 ,ABC 所對(duì)的邊分別是 ,abc.已知 14b c a-=， 2 s in 3 s inBC= ，則 c o s A的值為 _. （ 13） 在以 O 為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓 4sinrq= 和直線 sin arq= 相交于 ,AB兩點(diǎn) .若 AOBD 是等邊三角形，則 a 的值為 _. （ 14） 已知函數(shù) ( ) 2 3f x x x=+， x R .若方程 ( ) 10f x a x- - =恰有 4 個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 _. 三、解答題（本題共 6 道大題，滿(mǎn)分 80 分 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 ） （ 15）（ 本小題滿(mǎn)分 13 分 ） 已知函數(shù) 2 3c o s s i n 3 c o s34f x x x x ， x R . （ ）求 fx的最小正周期； （ ）求 fx在 閉 區(qū)間 ,44 上的最大值和最小值 . （ 16）（ 本小題滿(mǎn)分 13 分 ） 某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有 6 名男同學(xué)， 4 名女同學(xué) . 在這 10 名 同學(xué)中， 3 名 同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余 7 名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院 . 現(xiàn)從這 10 名同學(xué)中隨機(jī)選取 3 名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同） . （ ）求 選出的 3 名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率 ； （ ） 設(shè) X 為選出的 3 名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù) ，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 . （ 17）（ 本小題滿(mǎn)分 13 分 ） 如圖，在四 棱錐 P ABCD- 中， PA 底面 ABCD ， AD AB ， /AB DC ， 2A D D C A P= = =，1AB= ，點(diǎn) E 為棱 PC 的中點(diǎn) . （ ）證明 BE DC ； （ ）求 直線 BE 與平面 PBD 所成角的正弦值 ； （ ） 若 F 為棱 PC 上一點(diǎn)，滿(mǎn)足 BF AC ， 求二面角 F AB P-的余弦值 . （ 18）（ 本小題滿(mǎn)分 13 分 ） 設(shè)橢圓 221xyab（ 0ab）的左 、右 焦點(diǎn)為12,FF， 右頂點(diǎn)為 A ，上頂點(diǎn)為 B .已知1232A B F F= . （ ）求橢圓的 離心率 ； （ ）設(shè) P 為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段 PB 為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)1F，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線 l 與該圓 相切 . 求直線的斜率 . （ 19）（ 本小題滿(mǎn)分 14 分 ） 已知 q 和 n 均為給定的大于 1 的自然數(shù) .設(shè)集合 0 , 1, 2 ,1, qM = -L ，集合 112 , , 1 , 2 , ,nniA x x x x q x q x M i n-+?= = + + LL. （ ）當(dāng) 2q= ， 3n= 時(shí)，用列舉法表示集合 A ； （ ）設(shè) ,stA ，1 12 nns a a q aq -= + + +L，1 12 nnt b b q bq -= + + +L，其中 （