（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）常微分算子的辛幾何刻劃與加權(quán)的poincaré不等式.pdf

摘要 本文討論了常微分算子的辛幾何刻劃與加權(quán)的p o i n c a r 6 不等式， 主要內(nèi)容是： 1 考慮二階實系數(shù)常微分算子l ( ”) ：一( p ( z ) ”7 + 口( 咖( z en 利用辛幾 何，對l ( ，) 的自伴域進行了分類，給出了f ( ，) 自伴域是n 一級的充要條件 2 考慮高階常型實系數(shù)微分算子l ( p ) ：量( p 。y ) ( t ( ze 】) 利用辛 幾何，對f ( ，) 的自伴域進行了分類，給出了z ( ，) 自伴域是k 一級的充要條 件( o ksn ) 3 討論了j 一對稱常微分算子的j 一對稱擴張的j 一辛幾何刻 劃 4 在加權(quán)s o b o l o ?？臻gw ( i 2 m ，) 中討論了加權(quán)的p o i n c a r 不等式， 給出了加權(quán)的p o m 。e 不等式成立的充分與必要條件 5 在一維無界域上討論了加權(quán)的p o i n c a r 6 不等式 6 利用一階m 。1 。i k o 。函數(shù)，討論了擾動系統(tǒng)的h o p f 環(huán)性數(shù) 關(guān)鍵詞微分算子；自伴域；辛幾何；子流形；p o i n c a r 6 不等式；h o p f 分 支；環(huán)性數(shù) a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sr e p o r ti st or e s e a r c hs o m eo nc o m p l e xs y m p l e c t i c g e o m e t r yc h a r a c t e r i z a t i o no fo r d i n e r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa n dw e i g h t e d p o i n c a r 6i n e q u a l i t i e s 1 l e t2 ( 可) = 一( p v + q 掣b ear e a ls y m m e t r i cd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n d e f i n e do ni n t e r v a li i nl 2 ( ，) ，w ec l a s s i f yt h es e l f - a d j o i n td o m a i n sg e n e r a t e db yff 1a n dg i v et h ec o m p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o nf o rk - g r a d es e l f - a d j o i n t d o m a i n sw i t hc o m p l e xs y m p l e c t i cg e o m e t y 2 l e tl ( u ) = 量( p n k y ( “) ) ( 。) b ear e a ls y m m e t r i c d i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n d e f i n e do ni n t e r v a lf ：hb 1 i nl 2 ( n w e c l a s s i f yt h es e l g a d j o i n td o m a i n s g e n e r a t e db yt ( y ) a n dg i v e t h ec o m p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o nf o rs e l l a d j o i n t d o m a i n sw i t hc o m p l e xs y m p l e c t i cg e o m e t y 3 w eg i v ec o m p l e xj s y n l p l e c t i cg e o m e t r y c h a r a c t e r i z a t i o n sf o rj s y m m e t r i c e x t e n s i o n so fj s y m m e t r i co r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s 4 w ed i s c u s st h ew e i g h t e dp o i n c a r 6i n e q u a l i t i e si nw e i g h t e d s o b o l e v s p a c e sw “，9 ( q ；w ) u ) a n dg i v es o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o rt h e mt oh o l d 5 ，w ed i s c u s st h ew e i g h t e dp o i n c a r 6i n e q u a l i t i e so no n e d i m e n s i o n a lu n b o u n d e dd o m a i n sa n dg i v es u 嗣c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e m t oh o l d 6 ，w ed i s c u s st h em a x i m a ln u m b e ro fl i m i tc y c l e sw h i c ha p p e a rt i n d e r p e r t u r b a t i o n si nh o p f b i f u r c a t i o n sb yu s i n gd e g e n e r a t e f i r s t o r d e rm e l n i k o v f u n c t i o nw i t hm u l t i p l ep a r a m e t e r s ， k e y w o r d s d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ；s e l g a d j o i n td o m a i n ；s y m p l e c t i cg e o m e t y ；s u b m a n i f 0 1 d ：p o i n c a 拍i n e q u a l i t i e s ；h o p f b i f u r c a t i o n ，c y c l i c i t y 二階常微分算子自伴域的辛幾何刻劃 摘 要考慮二階實系數(shù)常微分算子l ( y ) = 一( p ( z ) y ，) ，+ q ( x ) y ( z i ) ，利用辛幾何，對l ( 拶) 的自伴域進行了分類，給出了l ( y ) 自伴 域是k 一級的充要條件 關(guān)鍵詞微分算子；自伴域；辛幾何；子流形 m r ( 1 9 9 1 ) 主題分類3 4 8 0 5 ，3 4 l 0 5 ，4 7 8 0 5 ，5 8 f 0 5 中圖分類0 1 7 5 3 1 引言 設(shè) f ( 可) = - ( p y ，) + 鯽 是i 上的二階實系數(shù)微分算式，p ，p 7 ，g 在，上連續(xù)，且p ( x ) 0 當(dāng)i = 【a ，b 時，由 1 1 知，f ( 可) 的虧指數(shù)必為( 2 , 2 ) 且必可生成自 伴算子如何去描述f ( 可) 的自伴域呢? 1 9 5 4 年，e a c o d d i n g t o n 在 1 3 】中給出了這個問題的完全解答同一時期，m 。a n a i m a r k 在 4 】 中給出了由“擬導(dǎo)數(shù)”定義的對稱微分算子自伴域的完全刻劃。1 9 6 2 ， w n e v e r i t t 在( 1 4 中應(yīng)用微分方程l ( y ) = a y 的解給出了自伴域的 描述 當(dāng)i = 【a ，+ ) 時，由h ，e y l 和e c t i t c h m a r s h 關(guān)于二階奇 型自伴微分算子的經(jīng)典理論 1 3 1 4 知，f ) 的虧指數(shù)僅為( 1 ，1 ) 與 ( 2 ，2 ) 兩種情形，前者稱為極限點型，后者稱為極限園型當(dāng)l ( y ) 為極 限點型時，w e y l t i t c h m a r s h 域是l ( y ) 自伴域的完全描述當(dāng)( 薌) 為 極限園型時，w e y l t i t c h m a r s h 域僅是z ( ) 自伴域的一種特殊描述 如何得到f ( 可) 自伴域的完全描述呢? 1 9 8 2 年，曹之江教授在f 2 1 中， 給出了f ( 可) 自伴域直接而完全的描述( 以下簡稱為c a o 域) ，并證明了 w e y l t i t c h m a r s h 域作為一種特例包含在c a o 域中，從而完全解決了 二階奇型自伴微分算子的解析描述問題1 9 9 9 年，w n e v e r i t t 和 l m a r k u s 在文 1 中利用辛幾何也給出了微分算子f ( 掣) 自伴擴張的完 全刻劃 微分算子理論是當(dāng)代量子力學(xué)的數(shù)學(xué)支柱，是解決數(shù)學(xué)物理方程以及 大量科學(xué)技術(shù)應(yīng)用問題的重要數(shù)學(xué)工具微分算子自伴擴張問題是微分 算子理論的基礎(chǔ)問題之一，受到大家的廣泛關(guān)注，如文 1 - 1 4 等以前 的大部分研究工作是利用分析、算子等方法對自伴域進行描述，并未對 自伴域進行分類 本文討論二階實系數(shù)對稱常微分算子f ( 可) ，利用辛幾何的方法，對其 自伴域進行了分類，同時也給出了自伴域是k 級的充分必要條件 2 預(yù)備知識 定義2 1 一個復(fù)的辛空間s 是一個復(fù)的線性空間，且?guī)в幸粋€辛形 式即 ( 1 ) ： 是一個半雙線性型， u ，u 。 u ： ，s s c ， c ，“+ c 2 v ：叫 = c 1 阻：叫 + c 2 v ：訓(xùn)】 ( 2 ) ：】是一個反h e r m i t i a n 型 阻：。 = 一網(wǎng)，陋：c i v + c 2 w = 百陋： + 瓦阻：】 【：s = 0 = 亭“= 0 ， 對v u i v l w s ，v c l ，c 2 c 定義2 2 復(fù)辛空間s 的一個線性流形l 被稱為是l a g r a n g i a n 的， 若f l ：l = 0 ，眠對v u ，釘l 有阻：。 _ 0 s 的一個l a g r a n g i a n 子流形l 被稱為是完全的，若札s 且 ( “：l = o 爿“l(fā) 定義2 3 設(shè)s 是一個復(fù)辛空間若s 和s + 是s 的線性子流形， 且滿足： ( 1 ) s = s p a n s 一，s + ) ； ( 2 ) s 一：s + _ o ； 則稱s 一和s + 在s 中是辛正交互補，記作s = s 一0 s + 有關(guān)辛幾何的概念詳細見文f 1 1 3 二階常型微分算子 設(shè)，= a ，6 1 由f ( 可) 生成的最大算子與最小算子定義如下： z 一- “( 可) = f 匆) ，y d ( 了1 m 。) = ( y ：，_ c l y ，y 7 a c ( i ) 且 ? ( 秒) l 2 ( ，) ) ； 7 _ t m ! j 、= 2 9 ) ，可d ( z m z ，) = 可| d ( 瓦，。) j ( n ) ：y ，( n ) ： y ( b ) = ) = o ， 一 曼常微分算子理論知，互n u ，和z n a x 是閉線性算子，且焉。= t i i l i n l 霉j ! 】 令 s = d ( z ，m x ) d ( z i i l 。) ， 在s 中定義辛形式【： 為： 【f ：g = ，+ d ( i n ) ：g + d ( t m i 。) = i ，g 弛，v ，夕ed ( 互。) 其中o = ，+ d ( i n ) ，g = 9 + d ( | 1 1 ) s ， ，9 業(yè)是i 廠與9 的契合 式君令 ，夕業(yè)= ，：夕 ， 則由文 1 和 1 1 知，d ( i 。) 可表示為 d ( i n ) = ，ed ( 。) d ( t m 。) _ o ) ， t m i 。是一個對稱算子。 由文f l 】可得如下幾個引理： 引理3 1 s = d ( t m 。) d ( j 。) 是一個復(fù)辛空間，且d i m s ：4 引理3 2 s = s 0 s + ，其中 s 一2 f e s ，( 6 ) = ，( 6 ) = o ) ， s + 2 f s i f ( a ) = ，( n ) = o ) ， 且d i m s 一= d i ms ；= 2 引粵3 3 ( 平衡相交原理) 若l 是s 的一個完全l a g r a n g i a n 子流 形，則 即 0s1 一d i m l n s 一= 1 一d i m ln s + s 1 定義3 l 設(shè)l 是s 的一個完全l a g r a n g i a n 子流形，令 憊= l d i m ln s 飛= 1 一d i m l n s + nlm 出一一一吣 吣 n d m 一 n ( ，j 阻 星 3 a l ，a 2 ，b l ，b 2 c ，使得l 滿足以下條件之 ( 1 ) 當(dāng)a l 與a 2 中僅有一個數(shù)為零，b l 與6 2 中僅有一個數(shù)為零時 不妨設(shè)a 2 = b 2 = 0 ，則 l = f s l a ) = ，( 6 ) = o ) ( 2 ) 當(dāng)a l ，a 2 ，b l ，b 2 中只有一個數(shù)為零時，不妨設(shè)b 2 = 0 ，則 且怯 ( 3 ) l = f s l a 2 f ( a ) = a l p ( a ) f 弘) ，( b ) = o ) l = f s l a 2 f ( a ) = a l p ( a ) f 如) ，b 2 f ( b ) = b l p ( b ) f ”) ) 且舊：。2 象脊n 注從推論3 5 可以看出，s 的o - 級完全l a g r a n g i a n 子流形可以 用邊界條件來描述，但邊界條件全部是分離的 例3 1 l = s p a n e 1 + e 2 ，e 3 + e 4 ) = f s f ( a ) = p ( a ) f 協(xié)) ，f ( b ) = p ( b ) f ( 6 ) ) 是s 的一個0 一級完全l a g r a n g i a n 子流形 定理3 6l 是s 的1 一級完全l a g r a n g i a n 子流形車j | 啦，b i c ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得 l = s p a n a 1 8 1 + 8 2 e 2 + 8 3 e 3 + 8 4 e 4 ，b l e l + 6 2 e 2 + b a e 3 + 6 4 e 4 ) 且滿足： 1 1 時零非全 鞏 o 2 | l m 叫引0 0面當(dāng) ( 1 ) 舊毒 o j 恢 ( 2 ) a l a 石2 。h 耄a 五, 。t l 證明( 仁) 對于任意f ， 翟 0 ； t b t6 2i l b ab 4i l a la 2 l5 。5 。i 2 l5 3 謝l5 。5 2 g l ，則存在o z i ，, o z 2 ，_ 臼l ，國 f = “l(fā) ( ( l lc l + 0 2 e 2 + n 3 e ：+ n 4 c 1 ) + l ( 6 l e 3 + 6 2 e 4 + 6 3 e 3 + b 4 e 。1 ) ：( a 1 8 1 + p 1 6 1 ) e 1 + ( a 1 。2 + 盧1 b 2 ) e 2 + ( a 1 8 3 + 9 1 b 3 ) e 3 + ( q 1 。4 + p l b 4 ) e 4 g ：a 2 ( 。1 e 1 + 0 2 e 2 + 血3 e 3 + 。4 e 4 ) + f 1 2 ( b l e 3 + b 2 e 4 + b 3 e 3 + b 4 e 4 ) ：( a 2 。1 + 盧2 b 1 ) 一+ ( d 2 。2 + 3 , ，b 2 ) e 2 十( 口2 。3 + p 2 b 3 ) e 3 + ( a 2 。4 + _ 8 2 b 4 ) e 4 則由定理3 2 和條件( 2 ) 得 f ：g 】= ( a 1 0 1 + 盧1 6 l ，a , l a 2 + f l l b 2 ，o q a 3 + 盧1 6 3 ，o q a 4 + 3 1 b 4 ) h ( a 2 。l + 僥b 1 ，。2 0 2 + 3 2 b 2 ，0 2 孟3 + 瘍6 3 ，o e 2 a 4 + p 2 b 4 ) 4 = 0 故【l ：l = 0 即l 是s 的l a g r a n g i a n 子流形由( 1 ) 知，秩 ( ：雹甕翟) = 2 ，于是d i m l = 2 - 故由引理3 4 知，l 是s 的完全l a g r a n g i a n 子流形由( 1 ) 知， d i m lns 一= d i m l ns + = 0 因此l 是1 一級的 ( = 亭) 因為l 是s 的1 一級完全l a g r a n g i a n 子流形，所以 d i m l ：2 ，d i m l ns 一= d i m lns + = 0 ， l ：l = 0 - 因此3 a i ，b i c ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得 l ：s p a n 。1 e 1 + n 2 e 2 + 血3 e 3 + n 4 e 4 ，b l e l + b 2 e 2 + b 3 e 3 + 6 4 e 4 ) 易證明l 滿足條件( 1 ) 與( 2 ) 推艙3 7l 是s 的l 一級完全l a n g r a n g i a n 予流形牟j n i ，b i c ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得 l 鄧吲( 口a 。l ：。1 ，- 1 ( p ( 職n ) ) = ( n a 。3 且滿足 ( p 。徘，) ， 9 k 孕9 b 鯽 = e 得 ( 1 ) 舊引 ( 2 ) i 甚a 到= 證明( ) 沒 o ， 譽翟 o ； 1 a 3a 4l 1 b lb 21 1 b 3 i 面3 舀4m 15 2l 2 l5 3 f l 、則由定理3 6 知， i0 3 0 4 一i5 35 4 2 c ，使 f = 刪1 ( 0 1 e 1 + n 2 e 2 + a 3 c 3 十o d e 4 ) + 2 ( b i e l + b 2 e 2 + b 3 e 3 + b 4 e 4 ) = ( 。l 理l + 6 l 2 ) e 1 + ( n 2 1 + 6 2 d 2 ) e 2 + ( 。3 9 1 + b 3 c y 2 ) e 3 + ( 0 4 a l + b 4 2 ) e 4 由f = ( ，( n ) ，p ( a ) f b ) ，( b ) ，p ( b ) f ( 6 ) ) 得 fa l a l + 6 1 a 2 = f ( a ) 1 凸2c l ：1 + 6 2 。2 = p ( a ) f a ) fa 3 a 1 + 6 3 a 2 = f ( b ) 1n 4 嘰+ b 4 0 1 2 = p ( b ) f ( 6 ) 由定理3 6 ( 1 ) 知，方程組( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的解唯一，因此 ( a lb 1 ) 。1 ( p 。職。，) = ( 瓣5 3 , ，、l - 1 ( p 。) 故結(jié)論成立 ( 車= ) 對于任意f l ，令 ( 夏) = ( a 。l ：( p 。端n ，) = 則( 3 1 ) ，( 3 2 ) 式成立故 l = s p a n a l e l + a 2 e 2 + a 3 e 3 + a 4 e 4 ， ( ：i b l e l + b 2 e 2 + b 3 e 3 + b 4 e 4 ) ( 3 2 ) 由定理3 6 知結(jié)論成亞。 例3 2 l ：s p a n e 1 + e 3 ，e 2 + e 4 ) = ( f s l f ( a ) = ，( 6 ) ，p ( a ) f 弘) = p ( b ) f ，( 6 ) ) 是s 的一個1 一級完全l a g r a n g i a n 子流形 注從推論3 7 可以看出，s 的1 一級完全l a g r a n g i a n 子流形也可 以用邊界條件來描述，但邊界條件不是分離的，而是耦合的 4 二階奇型微分算子 設(shè)，= 【o ，o 。) ，由f ( 刎生成的壤大算子與最小算子定義如下 哆嘰_ 2 毗一h 一 唯k k 在存 、 九，p ，、 一 、 如如 z z m ( 可) = f ( 可) ，y d ( z 。) = 可：，- - + c 阿，y 7 在 o ，。) 的任何 緊子集上絕對連續(xù)，! ，l ( v ) l 2 ( ，) ) ； z “t t ( f ) = f ( 耵) ，y d ( z ，。) = y d ( z 。) l y ( o ) = ! ，7 ( o ) ：0 且 對于v z d ( z 。) 有 掣z ( 。) = o ) ； 其中 y z ( x ) 是l ( y ) 的l a g r a n g e 雙線性型，即 可暑 ( 。) = y 7 ( p o 孑) 一y ( p 0 2 7 ) ) ( z ) 由常微分算子理論知，n 和t m a x 是閉線性算子，且瑤。，= t r a i n , 焉i 。 l f m a x 令 s = d ( z 。) d ( 互。i ) ， 在s 中定義辛形式 ： 為： f ：到= f f + d ( z 。i 。，) ：g 十_ d ( z 。i 1 1 ) 】= 廠9 】鏟，v f ，g d ( t m a x ) 其中f = f4 - d ( t m i n ) ，g = g 4 - d ( t m i 。) s i ，9 鏟是f 與夕的契合 式若令 f o 。0 = ，：9 i ， 則由文 1 】、 2 和 1 1 得， d ( t m i n ) = f d ( t m 。) l ，：d ( b 。) 】= o ) ， 易知i 。是一個對稱算子 由文 2 得： 引理4 1 設(shè)妒，砂是f ( 可) = o 的兩個實解，且滿足 糾( n ) = 1 ，則 糾( 。) = l ，且 d ( t m i n ) = f d ( 焉“) t f ( 0 ) = ，( 0 ) = o ， ，糾( ) = 【f t p ( o o ) = o ) ， 由文 1 可得如下幾個引理： 引理4 2 s = d ( z 。) d ( 咒i 。) 是一個復(fù)辛空間 引理4 3s = s os + ，其中 s = f s | ，糾( o 。) = ，妒】( o 。) = o ) s + = f s l f ( o ) = ，( 0 ) = o ) 弓i n4 4 ( 平衡相交7 ；7 理) 若l 是s 的一個完全l a g r a n g i m l 子流 形，則 os ic l i r a s d i i n n s 一= ；【l i m s + 一d i n l l n s + ；l n i i l c l i l n s 一，( 1 i i n s + ) 定義4 1 設(shè)l 是s 的一個完全l a g r a n g i a n 子流形，令 七= ；d i m s 一一d i m l n s = 去d i m s + 一d i m l n s + 則稱l 是七一級的，也稱d ( 死) 是七一級的 引理4 5 ( g k n 定理) ( 1 ) i 。有自伴擴張車號s 有完全l a - g r a n g i a n 子流形 ( 2 ) s 的l a g r a n g i a n 子流形l 是完全的車號d i m l = ：d i m s ( 3 ) 若t 是z 謝。的一個自伴擴張，自伴域為d ( t ) ，則s 有唯一的 完全l a g r a n g i a n 子流形l t 與其對應(yīng)，使得 l t = d ( t ) d ( t m i n ) ( 4 ) 若l 是s 的一個完全l a g r a n g i a n 子流形，則t m i 。有唯一的自 伴擴張t t 與其對應(yīng)，使得 d ( 死) = c l f l + + 島，n + d ( 互。i 。) ， 其中f l ，f 2 ，一一，厶是l 的一個基，f l ，- - - ， d ( t m a x ) ，c l ，c 2 ， 是任意復(fù)數(shù) 注由引理4 5 知，討論r m i 。的自伴擴張問題等價于討論復(fù)辛空間 s = d ( t m a 。) d ( t m i 。) 的完全l a g r a n g i a n 子流形因此，對s 的完 全l a g r a n g i a n 子流形的分類與描述，就等價于對2 ( 可) 的自辦域進行的 分類與描述 4 1 極限點型 引理4 1 1 若2 ( y ) 為極限點型，則 d ( t m i n ) = ，d ( t m 。) l f ( o ) = ，( o ) = o ) 證明設(shè)! ( 籮) 為極限點型，則其虧指數(shù)為( 1 ，1 ) 由文 1 1 第五章g 理4 1 知，對于v f ，g d ( r m a x ) 有 ，g ( 。) = 0 引理4 1 2 s + = s ，s 一= o ) 引理4 1 3d i ms = d i m d ( t 盼x ) i d ( t m i n ) = 2 定理4 1 4s 只有0 一一級完全l a g r a n g i a n 子流形 證明由定義4 1 和b j 理4 5 ，4 1 ，2 ，4 1 3 知 因為d i ms = 2 ，所以s 與c 2 線性同構(gòu)因此我自 可以利用c 2 的 單位基向量 e 1 = ( 1 ，0 ) e 2 = ( 0 ，1 ) 來表示s ，即s = s p a n e 1 ，e 2 ) 設(shè)f s ，則可以如下選取f 的坐標： f = ( ，( o ) ，p ( o ) f ( o ) ) = ，( o ) e 1 + p ( o ) f ，( o ) e 2 ， 使得有結(jié)論： 定理4 1 5 對于v f ，g s 有 f ：g = f h g + ， 其中 h = ( ：一0 1 ) 證明由s 的辛形式的定義有 f ：g = ，g o o = ( f ( ，) ，9 ) 一( f ，f ( 9 ) ) = ( 一p f l 互+ p f 9 1 ) l 鏟= f h g + 定理4 1 6l 是s 的( 0 一級) 完全l a g r a n g i a n 子流形號 | n 1 ，a 2 c ，使得l = s p a n a l e l + a 2 e 2 ) ，且滿足 ( 1 ) a l ，a 2 不全為零； 圳1 1 1 2i ：0 證明( 牟= )對于任意f ，g l ，則存在o i ，盧c ，使得 f = a ( n l e l + a 2 e 2 ) = o l a l e l + c t a 2 e 2 g = 聲( 8 1 e 1 + 0 2 e 2 ) = 盧a l e l + 盧q 2 e 2 則由定理4 1 5 和條件( 2 ) 得 ”fg - ( 血a 1 ，a a 2 ) h ( 盧a l ，9 a 2 ) + = 0 故 l ：l = 0 ，即l 是s 的l a g r a n g i a n 子流形由( 1 ) 知， d i m l = 1 因此，由引理4 5 知，l 是s 的( 0 一級) 完全l a g r a n g i a n 子流形 ( = 專) 因為l 是s 的( 0 一級) 完全l a g r a n g i a n 子流形，所以 d i m l = 1 ，d i m l n s 埔= 0 ，d i m l n s + 2 1 且 l ：l 】= 0 因此3 a l ，a 2 c ，使得 l = s p a n a l e l + a 2 e 2 ， 易證i 劌l 滿足條件( 1 ) 與( 2 ) 推論4 1 7 l = s p a n a l e l + a 2 e 2 ) 是s 的( 0 一級) 完全l a _ g r a n g i a n 子流形仁號3 a l ，0 , 2 c ，使得l 滿足以下條件之一： ( 1 ) 當(dāng)a l ，a 2 。p 有一個為零時，不妨設(shè)a 2 = 0 則 l = f s i r ，( o ) = o ) ( 2 ) 當(dāng)a l ，a 2 全非零時，則 l = f s a 2 f ( 0 ) = a l p ( o ) f ，( 0 ) ) 且滿足l a 一1 1 2l ：o f “l(fā)“2f 4 2 極限園型 設(shè)2 ( 可) 為極限園型，則其虧指數(shù)為( 2 ，2 ) 由文 1 可知 引理4 2 1d i m s = 4 ，d i m s 一= d i m s + = 2 定理4 2 2 s 的完全l a g r a n g i a n 予流形有且僅有0 一級和1 一級 的 證明由引理4 4 和文1 1 的定理5 知 因為d i ms = 4 ，所以s 與c 4 線性同構(gòu)因此我們可以和用c 4 的 單位基向量 e 1 = ( 1 ，0 ，0 ，o ) ，e 2 = ( 0 ，1 ，0 ，o ) ，e 3 = ( 0 ，0 ，1 ，o ) ，e 4 = ( 0 ，0 ，0 ，1 ) 來表示s ，即s = 8 p a n e 1 ，e 2 ，e 3 ，e 4 ) 設(shè)f s ，f d ( a x ) ，則可以 如下選取f 的坐標： f = ( ，( o ) ，p ( o ) f 7 ( o ) ， ，糾( 。) ， ，糾( o 。) ) = ，( o ) e 1 + p ( o ) f 1 ( o ) e 2 + ， ( ) e 3 + ，妒 ( 。) e 4 且有以下結(jié)論： 定理4 2 3 對于v f ，g s 有 f ：g = f h g + 1 7 肚卜1 。0 。0 00 0 0 。l 一1 、 、00一l0 i f ：g = ，9 鏟= ，9 ( 。) 一 ，9 ( o ) = ，9 】( o 。) 西妒 ( ) 一 f g ( o ) = 醐捌鰳f 引一 ，州。， = 晦糾( o 。) ，糾( 。) 囟糾( 。) ，糾( 。) + p ( o ) f 7 ( o ) 雪( o ) 一p ( o ) ，( o ) 雪7 ( o ) = f h g + 定理4 2 4 s 一= s p a n e 1 ，e 2 ) ，s + = s p a n e 3 ，e 4 ) 證明若f s 一，則f s , f d ( 互。) 且 ，糾( ) 0 因此 f = f ( o ) e 1 + p ( o ) f 1 ( o ) e 2 s p a n e 1 ，e 2 ) = ，叫( 。) = 若f s p a n e 1 ，e 2 ) ，則f = f ( o ) e 1 + p ( o ) 廠1 ( o ) e 2 因此【，妒】( ) = ，砂 ( ) = 0 從而f s 一這就證明了s 一= s p a n e 1 ，e 2 ) ，類似可證 s + = s p a n e 3 ，e 4 ) 定理4 2 5l 是s 的0 一級完全l a g r a n g i a n 子流形 號，j n l ，a 2 ，b t ，b 2 c ，使得l = s p a n a l e l + a 2 e 2 ，b l e 3 + b 2 e 4 ) ，且滿足 ( 1 ) a l 與a 2 不全為零，b l 與b 2 不全為零； 舊到= 恢昝o 證明( 車= ) 對于任意f ，g l ，則存在o q ，q 2 ，盧l ，盧2 c ，使得 f = o la l e l + 0 2 e 2 ) + 盧1 ( 6 1 e 3 + b 2 e 4 ) = d l n l e l + o q a 2 e 2 + f i l b l e 3 + f i l b 2 e 4 g = a 2a l e l + 0 2 e 2 ) + 9 2 ( b l e 3 + b 2 e 4 ) = c e 2 a l e l + a 2 a 2 e 2 + f l = b l e 3 + 5 2 6 2 e 4 則由定理4 ，2 3 和條件( 2 ) 得 【f ：g = ( o q a l ，口1 0 2 ，盧1 6 1 ，聲l b 2 ) h ( a 2 a l ，a 2 0 2 ，島6 l ，屈b 2 ) + = 0 故【l ：l = 0 ，即l 是s 的l a g r a n g i a n 子流形由( 1 ) 知， d i m l = 2 因此，由引理4 5 知，l 是s 的完全l a g r a n g i a n 子流 形由( 1 ) 知， d i m ln s 一2 蟲m l n s + 21 ， 所以l 是0 級的 ( 仁) 因為l 是s 的0 級完全l a g r a n g i a n 子流形，所以 d i m l = 2 ，d i m l n s 一= d i m ln s + 因此 o 】，a 2 ，b l ，b 2 c ，使得 1 ， l ：l = 0 l = s p a n a l e l + a 2 e 2 ，b l e 3 + b 2 e 4 易證明l 滿足條件( 1 ) 與( 2 ) 推論4 2 6l = s p a n a , e 1 + a 2 e 2 ，b l e 3 + b 2 e 4 ) 是s 的0 一級完 全l a g r a n g i a n 子流形 = j 0 1 ，a 2 ，b l ，b 2 c ，使得l 滿足以下條件 之一： ( 1 ) 當(dāng)a l 與a 2 中僅有一個為零， b l 與b 2 中僅有一個為零時，不 妨設(shè)a 2 = b 2 = 0 ，則 l = f s i r ，( 0 ) = 0 ， ，妒】( ) = o ) ( 2 ) 當(dāng)a l ，a 2 ，b l ，b 2 中只有一個為零時，不妨設(shè)b 2 = 0 ，則 l = f s l a 2 f ( o ) = a l p ( o ) f + ( o ) ， ，糾( 。) = o ) 且l ! ! zl ：0 io l0 2i ( 3 ) 當(dāng)a l ，a 2 ，b z ，b 2 全非零時，則 l = f s l a 2 f ( o ) = a l p ( o ) f ，( 0 ) ，b 2 f ( i o ( o o ) = 6 1 ，糾( 。) ) l = s p a n e 1 + e 2 ，e 3 + e 4 ) = ，s f ( o ) = p ( o ) f 7 ( o ) ， 廠 ( ) = ，妒 ( 。) ) 是s 的一個0 一級完全l a g r a n g i a n 子流形 類似可得如下結(jié)論： 定理4 2 7l 是s 的1 一級完全l a g r a n g i a n 子流形車辛3 a i ，b i c ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得 l = s p a n a l e l + n 2 e 2 + n 3 e 3 + n 4 e 4 ，b l e l + 6 2 e 2 + b a e 3 + b 4 e 4 且滿足 0 = 比一幻“一h | | l眈一眈幺4 吼西例 且 ( 1 ) 舊引o ) 舊刮0 1 舊引= 怯孫：芝馴害意窨囂 推論4 2 8l 是s 的1 一級完全l a g r a n g i a n 子流形# 號3 a i ，b i c ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得 l = f e s l ( 。a 。l ( p 。徘，) = ( 訓(xùn)a 3b 。3 ) 。1 ( 鼢跏， 且滿足 ( 1 ) 舊毒h 弦刮0 】 舊a 畫。2 a 。3 馴a 4 繼2 陵圳； 注從定理4 2 5 、推論4 2 6 、定理4 2 7 和推論4 2 8 可以看 出，s 的0 一級與1 一級完全l a g r a n g i a n 子流形都可以用邊條件來描 述，0 一級完全l a g r a n g i a n 子流形的邊條件是分離的，而1 一級完全 l a g r a n g i a n 子流形的邊條件不是分離的，是耦合的從這個角度也說明 了，w e y l t i t c h m a r s h 域是不完全的，僅給出了0 一級自伴域的描述； 而c a o 域早自伴域的完全描替 參考文獻 e v e r i t tw n ，m a r k a sl c o m p l e xs y m p l e c t i cg e o m e t r yw i t ha p p l i c a t i o n st oo r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s j t r a n s a c t i o n so f t h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，1 9 9 9 ，3 5 1 ( 1 2 ) ：4 9 0 5 4 9 4 5 c a o z h i j i a n g o ns e l f - a d j o i n td o m a i n so f2 - n do r d e rd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r si nl i m i t c i r c l ec a s e j a c t am a t h s i n i c a ，1 9 8 5 ，1 ( 3 ) ： 2 2 5 - 2 3 0 s u nj i o n g o nt h es e l f - a d j o i n te x t e n s i o n so fs y m m e t r i co r d i n a r y d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t hm i d d e d e f i c i e n c yi n d i e s 【j a c t a m a t h s i n i c a ，1 9 8 6 ，2 ( 1 ) ：1 5 2 1 6 7 n a i m a r kma l i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s m l o n d o nh a r r a p ) 1 9 6 8 ，i i e d m u n d sde ，e v a n sw d s p e c t r a lt h e o r ya n d d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s o x f o r du n i v e r s i t yp r e s s ，o x f o r d ，1 9 8 7 t i t c h m a r s he c e i g e n f u n c t i o ne x p a n s i o n s a s s o c i a t e dw i t hs e c o n d - 2 n o l ，( m ( i i 【i 打【1 l l ，i a ，l ( 、( 1 ，1 i o n s 。1 1 1 1 a ll ，i ，s o c o n de d i ( ，i o n ，o x h ) r d ， 1 9 6 2 f 7 1 e v e r i t tw n ，k a m a rv k o nt h et i t c h m a i s h w e y lt h e o r yo fo r d i n a r ys y m m e t r i c d i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n si ：t h eg e n e r a lt h e o r y j n i e u wa r c h i e fv o o rw i s h u n d e ，1 9 7 6 ，3 4 ( 3 ) ：i - 4 8 f 8 1 e v e r i t twn o nt h et i t c h m a r s h w e y lt h e o r yo fo r d i n a r ys y m - m e t r i cd i f f e r e n t i a le x p r e s s i o n si i ：t h eo d