（應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)論文）不完全市場(chǎng)中的最優(yōu)投資.pdf

碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s l s 摘要 本文主要研究不完全市場(chǎng)中的最優(yōu)投資問(wèn)題。自上世紀(jì)7 0 年代，m e r t o n 首次 提出連續(xù)時(shí)間模型的最優(yōu)投資消費(fèi)理論以后，隨著鞅理論及對(duì)偶理論等數(shù)學(xué)概念 的相繼出現(xiàn)，眾多學(xué)者都置身于最優(yōu)投資理論的研究到現(xiàn)在為止，不允許負(fù)定資 產(chǎn)的最優(yōu)投資問(wèn)題的解的存在唯一性定理已經(jīng)得到完滿(mǎn)解決。但是，其中對(duì)偶理論 中的重要內(nèi)容勒讓得變換，眾多學(xué)者僅給出公式，并沒(méi)有給出具體的過(guò)程。本文 首先在有限概率空間中，運(yùn)用經(jīng)典的最值定理得到了勒讓得變換；而后利用它陳述 和證明了最優(yōu)投資的存在唯一性定理及其與對(duì)偶問(wèn)題的關(guān)系，進(jìn)而將該結(jié)論推廣 到無(wú)限概率空間中；最后在前人研究的基礎(chǔ)上，考慮了允許負(fù)定資產(chǎn)、具有隨機(jī)稟 賦的投資人的最優(yōu)投資問(wèn)題，并得到了相應(yīng)地解的存在唯一性定理。 關(guān)鍵詞：不完全市場(chǎng)；隨機(jī)稟賦；最優(yōu)投資；勒讓得變換：漸進(jìn)彈性。 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt l l i sp a p e r ，w em a i l d ys t u d yt h ep r o b l e mo ft h eo p t i m a li n v e s t m e n ti ni n c o m - p l e t em 缸k e t s s i n c em e r t o n 矗r s ts t u d i e dt h i sp r o b l e mo fc o n t i n u o u 爭(zhēng)t i m em o d e l si n l a s t7 0 s ，m a n yl e a r n e r sd e v o t e di nt 1 1 i ss t u d y r 0t h i sd a 弘t h et h e o r e i 璐o fe ) ( i s t e n c e a n du n i q u e n e s sf o ro p t i m a li n v e s t m e n tv i r t u a l l l ys e t t l e d ，w l l i c hd i d n ta i l l o wn e g 扣 t i v ew e a l l t h b u tt h el e g e n d r e - t r 齜l s f o r m ，a ni m p o r t a n tp a r t so fd u a l i t ym e t h o d s ， l e 盯n e r so n l yg a 鵬t h ef o n l m l a ，n o tc o n c r e t e u r s e s w e 丘r s tc o n s i d e rt h ec l a s s i c a l l c a s ew h e r et h eu n d e r l y i n gp r o b a b i l i t ys p a u c ei sf i i l i t e i nt 1 1 i ss e t t i n g ，印p l y i n gt h e n l i i l i m a xt h o e r e m ，w eg e tt h ec r u c i a lr o l eo fl e g e n d r 爭(zhēng)t r 鋤1 s f o r m ，t h e nw ep r 0 、r ea n e 妞s t e n c ea j l dm l i q u e n e s st h e o r e mf o rt h eo p t i m a li i e s t m e n ta n di t sr e l a t i o nt ot h e d u a lp r o b l e m ，a n dp a s st h i sr e s m tt ot h eg e n e r a lc a s eo fi n f i n i t ep r o b a b i l i t ys p a u c e f i n a u y ，w es t u d yt h eo p t i m a lp r o b l e mo fa na g e n tw h o ，i na d d i t i o nt oa i ni i l i t i a l l c a p i t a l ，r e c e i v 鎢r a n d o me n d l 加e n t s ，w h e nn e g a t i v e 陀a l t ha l l o w e d a n dt h e n r e o b t a i na ne 對(duì)8 t e n c ea n du 1 1 i q u e n e s st h e o r e mc o r r 笛p o n d i n g l y k e yw o r d s ：i n c o m p l e t em a r k e t s ；r a n d o me n d 哪艦【t s ；o p t i m a li n v 鏹t m e n t ；l e g e n d r e t r a n s f o r m ；舾y m p t o t i ce l a s t i c i t y i i 碩士學(xué)位論文 m a s t e r ，st h e s i s 華中師范大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說(shuō)明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作 所取得的研究成果。除文中已經(jīng)標(biāo)明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或 集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果。對(duì)本文的研究做出貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在 文中以明確方式標(biāo)明。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 作者簽名：和i k 弓 日期：潮彥年r 月l8 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán) 保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借 閱。本人授權(quán)華中師范大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn) 行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。同時(shí)授權(quán) 中國(guó)科學(xué)技術(shù)信息研究所將本學(xué)位論文收錄到中國(guó)學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)，并通 過(guò)網(wǎng)絡(luò)向社會(huì)公眾提供信息服務(wù)。 作者簽名：和i 及i 日期：叼孑年r 月1 8 日 本人已經(jīng)認(rèn)真閱讀“c a l i s 高校學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)發(fā)布章程 ，同意將本人的 學(xué)位論文提交“c a l i s 高校學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)中全文發(fā)布，并可按“章程”中的 規(guī)定享受相關(guān)權(quán)益。園童途塞握童卮進(jìn)卮! 旦坐生；旦二生；旦三生筮查! 作者簽名：知j 及主， 日期：諺吩年j 月i8 日 導(dǎo)師簽名： 銹解 日期：增年s _ 月w 日 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 第一節(jié)引言 數(shù)學(xué)金融學(xué)是一門(mén)用數(shù)學(xué)工具來(lái)定量研究金融問(wèn)題的學(xué)科，主要研究風(fēng)險(xiǎn)管 理和效用最優(yōu)化。最優(yōu)投資問(wèn)題是微觀(guān)金融學(xué)研究的中心內(nèi)容之一，是金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 資產(chǎn)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理等問(wèn)題的基礎(chǔ)。最優(yōu)投資模型建立了虛擬經(jīng)濟(jì)( 證券) 與實(shí)體 經(jīng)濟(jì)( 儲(chǔ)蓄) 相聯(lián)系的紐帶，對(duì)實(shí)現(xiàn)投資、儲(chǔ)蓄和消費(fèi)的動(dòng)態(tài)平衡具有很強(qiáng)的指導(dǎo) 意義。隨著概率論和隨機(jī)過(guò)程等近代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用，用隨機(jī)數(shù)學(xué)方法研究 和解決最優(yōu)投資問(wèn)題已成為數(shù)理金融學(xué)中定量研究最活躍的領(lǐng)域之一。在上世紀(jì) 7 0 年代，m e r t o n 首次研究了連續(xù)時(shí)間模型下投資消費(fèi)組合理論，后來(lái)隨著鞅及對(duì) 偶理論等數(shù)學(xué)概念的相繼應(yīng)用，金融資產(chǎn)的投資組合理論得到了空前的發(fā)展。同 時(shí)，投資組合與最優(yōu)消費(fèi)策略理論的產(chǎn)生使得鞅理論及對(duì)偶理論真正進(jìn)入到投資 領(lǐng)域，使得鞅理論與對(duì)偶理論乃至整個(gè)數(shù)理金融學(xué)作為金融學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支迅 速發(fā)展起來(lái)了。到現(xiàn)在為止，不允許負(fù)定資產(chǎn)的各種最優(yōu)投資問(wèn)題解的存在唯一性 定理已經(jīng)得到了完滿(mǎn)解決，但是其中對(duì)偶理論中重要的內(nèi)容勒讓得變換，眾多學(xué)者 僅僅只給出了變換的公式，并沒(méi)有給出具體的過(guò)程。在本文中，我們通過(guò)經(jīng)典的最 值定理得到了勒讓得變換，并利用它陳述和證明了投資人在各種情形下的最優(yōu)投 資問(wèn)題；最后在前人研究的基礎(chǔ)上，考慮了在允許負(fù)定資產(chǎn)、具有隨機(jī)稟賦時(shí)的投 資人的最優(yōu)投資問(wèn)題，并得到了相應(yīng)地解的存在唯一性定理。 假設(shè)證券市場(chǎng)有d + 1 種資產(chǎn)，記s = ( ( g ) o t t ) o d 是d 種股票和一種無(wú)風(fēng) 險(xiǎn)證券的價(jià)格過(guò)程，且假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的價(jià)格伊是一個(gè)常數(shù)( 利率為0 ) ，不妨設(shè) 印蘭1 。過(guò)程s 是濾子空間( q ，丁，f = ( 五) o 。 t ，p ) 中的半鞅，濾子f 滿(mǎn)足通常 的完備以及右連續(xù)的假設(shè)條件，t 是有限的交割時(shí)間。注意，該方面的結(jié)果可以推 廣到t 是無(wú)限的情況。 我們首先考慮q 是有限的情況。此時(shí)，s 的路徑除了在有限個(gè)時(shí)間點(diǎn)跳躍外其 余時(shí)間是連續(xù)函數(shù)，于是s 的形式也可以記為( & ) o t r = ( 島，& ，曲) ，t n 。 假設(shè)z 是投資組合的初始資產(chǎn)，日= ( 日) l i d 是可料( 即每一個(gè)風(fēng)是五一1 可測(cè)的) 的爭(zhēng)可積過(guò)程，表示組合中各持有股票所占的份額，則亡時(shí)刻投資組合 = ( ，日) 的價(jià)值過(guò)程x = ( 咒) o 一。) 內(nèi)部是可微的，且嚴(yán)格凹的。并且還假設(shè)邊際效應(yīng)函數(shù)滿(mǎn)足： ( o 。) = l i m 礦 ) = 0 王_ 下面我們來(lái)介紹下文中將要涉及到的兩種不同的邊際效應(yīng)的情況 情況1 ( 不允許負(fù)資產(chǎn)) 此時(shí)假設(shè)u 滿(mǎn)足條件：當(dāng)z o 時(shí)，v ( z ) 一o 。，且 u ，( 0 ) = 1 i 職( z ) = + u 例如 u ( z ) = l i l z ； 巾口 u ( z ) 2 詈，o o 從經(jīng)濟(jì)意義上講，當(dāng)財(cái)富z 趨于它的下確界時(shí)，邊際效應(yīng)自然趨于o o 。 定義價(jià)值函數(shù)： u ) = s u pe 【u + ( 日s ) r 】， 日咒 z d ( u ) ( 1 3 ) 其中冗是容許的g 可積的交易策略集，口( u ) 表示【u 一) 的內(nèi)部。這里總假 設(shè)u ) 是不減函數(shù)。 經(jīng)濟(jì)上，上面關(guān)于函數(shù)u 的假設(shè)是明確的，即，u 滿(mǎn)足效應(yīng)遞增，邊際效應(yīng)遞 減的原則，且顯然當(dāng)z 一。時(shí)，若上述優(yōu)化問(wèn)題存在解，邊際效應(yīng)必然遞減到0 ， 否則，若u 7 ( ) 0 ，上述優(yōu)化問(wèn)題無(wú)解。 假設(shè)1 2 存在z d ( u ) ，使得亂( z ) o ，使得s 是一 個(gè)q 一鞅。 2 1完全市場(chǎng)的最優(yōu)投資 稱(chēng)市場(chǎng)是完全的，如果該市場(chǎng)中任何一種預(yù)期投資的收益在任何一種狀態(tài)下 都能夠通過(guò)適當(dāng)?shù)耐顿Y組合實(shí)現(xiàn)。 在完全市場(chǎng)中，集合m ( s ) 是一個(gè)單點(diǎn)集 q ) 。此時(shí)考慮a r r o w d e b r e u 證券 1 ，由于曰三1 ，則可以得到t = o 時(shí)刻a r r o w - d e b r e u 證券的價(jià)格關(guān)系式 e q 【1 u 。】_ q h 】 于是固定一個(gè)可料的交易策略日，a r r o w - d e b r e u 證券1 可以表示為1 u 。= q 】+ ( 日s ) t 。從而，固定初始稟賦。d ( u ) ，優(yōu)化問(wèn)題可以簡(jiǎn)單的記為 心) 2 警e p 【u ( 冽5 圣刪甜 ( 2 1 1 ) 1 5 c q 盼】- 靠z ( 2 1 2 ) t i = 1 現(xiàn)在我們來(lái)給出優(yōu)化問(wèn)題的一些記號(hào)。 記 c 0 ) = 坼c o ( q ，乃，p ) ：e q 【坼】z ) 其中，( q ，乃，p ) 表示所有乃一可測(cè)的隨機(jī)變量婚的全體。 記磁( ) = 矗，求解問(wèn)題( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 。 引入拉格朗日函數(shù) nn l ( 1 ，知，耖) = 礦( 靠) 一y ( g n 矗一z ) 4 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s l s 2 善椰( 小嗟卅弦 n = 1 ” 用y 0 代替一般的拉格朗日乘子a o 。 并記 西( “一，臼) 2 溉l ( “知，! ，) ，厶d ( u ) 皿( y ) = s u pl ( l ，耖) ，y 0 顯而易見(jiàn)， s u p 西( 6 ，知) = s u p u ( 矗) = 牡( z ) n 走n ( e 1 。，e ，登鼽如s 茁) n = 1( e 1 。，e ，鼽如s 茁) “1 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 固定y 0 ，利用拉格朗日函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)( 2 1 4 ) 式的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解 m a x ( 厶) 一嗟靠】，矗刃( u ) 從而定義凹函數(shù)u 的共軛函數(shù)y ( 形式上就是l e g e n d r e 變換) 如下 y ( y ) = s u p 【廠(chǎng)( z ) 一y z 】，夕 o ( 2 1 5 ) z d ( u ) 下面是一些眾所周知的結(jié)論：若u 滿(mǎn)足前面的經(jīng)典假設(shè)，則y 是可微的，且 在( 0 ，o 。) 內(nèi)是嚴(yán)格凸的，并且還滿(mǎn)足 、 y ，( 0 ) 2 辮y b ) = 一o o ，y ( o ) 2 渤y ( ! ，) = v ( 。o ) 其中y 7 ( 秒) = 一j ( 秒) ，j ( y ) 表示u 7 ( z ) 的反函數(shù)。 考慮y 在o o 時(shí)的性質(zhì)，下面來(lái)區(qū)分一下相應(yīng)于情況1 ，情況2 的情況 1 i 雹y ( y ) = u 哩u 0 ) ，l i my 7 ( y ) = o 冒1 z _ u ”_ l i m | y ( y ) = 。，1 i my ( 夕) = o 。 v o v - + y 的這些性質(zhì)和前面所述的u 的性質(zhì)是等價(jià)的。同樣地，我們還可以得到 v ) 2 磐5 【y ) + y z 】，z d ( u ) 5 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 現(xiàn)在我們來(lái)計(jì)算皿( 可) 。應(yīng)用y 的定義以及( 2 1 4 ) 式，則有 吣) = 耋肌峋賽) 協(xié)= e p 【嘞器) z n 一1 r n 于是定義對(duì)偶價(jià)值函數(shù)u ( y ) 如下 咖) - e 咿( 可渤= 耋洲y 秒 。 ( 2 - 1 6 ) 則函數(shù)u 與y 具有相同的性質(zhì)。于是由y 的性質(zhì)，我們可以得到：固定 z 口( v ) ，存在唯一的雪= 雪( z ) o ，使得 7 ( 雪) = 一z 且它是使得皿( ) 達(dá)到最小 的唯一解。固定拉格朗日乘子雪0 ) ，則上述定義的拉格朗日函數(shù)有最大值，最大值 點(diǎn)假設(shè)為( 6 ，白) ，則它滿(mǎn)足 ( 己) = 多( z ) 蚤，靠= 喲( z ) 賽) 由( 2 1 6 ) 式，于是有 瓣皿( y ) 2 騁5 ( u ( 可) + z y ) = ( 雪( z ) + z 多( z ) = 三( 6 ，知，雪( z ) ) 注意到色d ( u ) ，1 n ，所以三在點(diǎn)( 矗，雪( z ) ) 是連續(xù)可微的，表 明南l ( a ，西，雪扛) ) = o 。于是由雪 ) o 以及上述拉格朗日函數(shù)可以推出 ( 2 1 2 ) 式的限制是可以忽略的，即， 且 u ( 己) = l ( a ，酋，多 ) ) n = 1 特別地， u ( z ) = 肌u ( 己) n = l 事實(shí)上，由讓的定義可以推出u ( z ) p n u ( 己) ，而 膽l u ( 矗) 三( 矗，知，雪( z ) ) l ( a ，雪( z ) ) 6 z = 矗 - l 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 即u ( z ) 苧肌u ( 己) ，從而上式成立。 n = 1 注意到價(jià)值函數(shù)u ，口是共軛的 蕊( 口( y ) + z y ) = ( 多( 圳+ z 雪( z ) = 缸( z ) ，z d ( u ) 且由前面的分析可以推出函數(shù)u 與u 具有相同的性質(zhì)，關(guān)系式( 多( z ) ) = 一z ，也 可變?yōu)?u 7 ( z ) = 雪( z ) ，z d ( u ) 現(xiàn)在我們來(lái)總結(jié)一下上面的分析結(jié)果 定理2 1 在完全的金融市場(chǎng)中，即朋( s ) = ( q ) ，假設(shè)價(jià)格過(guò)程s = ( & ) o t t 是 定義在有限濾子空間( q ，歹，f = ( 五) 畦t ，p ) 中的半鞅，效應(yīng)函數(shù)u 滿(mǎn)足前面的 經(jīng)典假設(shè)，記 亂 ) =s u pe u ( ? 島) 】，z 口( u ) ( 2 1 7 ) 咖) = e 【嘞箬) 】y o ( 2 1 6 ) 則 ( i ) 函數(shù)u ，口是共軛的，且t 與函數(shù)u 具有相同的性質(zhì)： ( i i ) ( 2 1 7 ) 式存在唯一的優(yōu)化因子薪( z ) ，并且它還滿(mǎn)足 薪( z ) = 地器) = 一叭y 箬) ，可箬= 叭薪( 砌 ( 2 1 8 ) 其中z 口( u ) ，y 0 。事實(shí)上，上述關(guān)系是通過(guò)0 ) = 3 ，或z = 一u 7 ( ) 得到的； ( ) 關(guān)于導(dǎo)函數(shù)釷，滿(mǎn)足 ( z ) = e p 【e ，7 ( 島( z ) ) 】，u b ) = e q 叭y 器) 】 ( 2 1 9 ) 州( z ) = e p 瞎( z ) ( 島( 圳】，! ，t ，b ) = e p b 器y b 器) 】 ( 2 1 1 0 ) 證明( i ) ，( ) 由上述討論即得，以下只需證明( ) 。 ( 2 1 9 ) 式，( 2 1 1 0 ) 式中關(guān)于口7 的公式可由下面的式子 咖) - e 職y 黝= 參m 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 求導(dǎo)司得。 當(dāng)然( 2 1 1 0 ) 式中關(guān)于u 7 的等式只是( 2 1 9 ) 式的變形，在這里只是為了強(qiáng)調(diào)關(guān) 于公式的對(duì)稱(chēng)性。( 2 1 9 ) 式中關(guān)于u 7 的等式只需要將( i i ) 中y 器= 7 ( 薪 ) ) 以及u 7 ( z ) = y 代入 y _ e p 【y 勢(shì) 即可證明。 現(xiàn)在將( z ) = y 和z = 一口7 ( 可) 代入( 2 1 1 0 ) 式中公式y(tǒng) u ( y ) = e p 阿器y 7 ( 秒貉) 】， 則有 z ( 壚巾協(xié)) = - e p 【y 器叭y 瓢 = 一e p ( 一島( z ) ) ( 薪( z ) ) 】- e p 【薪( z ) ( 島( z ) ) 】 注2 2 ( 1 ) 等式u ( 島( z ) ( ) ) = y ( ) 器，n = 1 ，表明對(duì)于薪的任何可 能狀態(tài)叫n ，邊際效應(yīng)u 7 ( 島( z ) ( ) ) 與相應(yīng)的a r r o w d e b r e u 證券1 的價(jià)格 和狀態(tài)發(fā)生的概率= p 】的比率成比例的。這個(gè)基本關(guān)系是k a r r o w 和 g d e b r e u 得到的，它的經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)某一時(shí)刻該比例關(guān)系不成立時(shí)，投資者可以 立即推出其投資的邊際變量不是最優(yōu)的，從而對(duì)于一個(gè)投資者來(lái)說(shuō)，該比例關(guān)系式 一定成立。 ( 2 ) 定理2 1 指出價(jià)值函數(shù)u 0 ) 也可以看作是效應(yīng)函數(shù)，其有著原效應(yīng)函數(shù)u 的一切性質(zhì)。這在經(jīng)濟(jì)上也可以理解為u 表示初始稟賦z 為z 的投資者最優(yōu)投資 的期望效應(yīng)。 ( 3 ) 從經(jīng)濟(jì)意義上還可以給出( ) 中公式一個(gè)證明：假設(shè)初始稟賦從z 變 到z + ， 表示很小的數(shù)字，除了最優(yōu)回報(bào)島 ) 外，投資者還利用額外的稟賦 危去融資為九單位的現(xiàn)金流，于是t 時(shí)刻有回報(bào)函數(shù)島( z ) + 九。比較該策略的回 報(bào)與初始稟賦為z + 的最優(yōu)回報(bào)薪+ ) ，則有 l i m 竺! 蘭掣二蘭! 蘭! ：l i m 里【竺( 塹壘掣2 二竺! 塹生2 1 一0 凡 一0 凡 1 墨坐型韭 刪：e 叭薪( 珊 一o 凡 、“ 考慮到缸的可微性，以及九的符號(hào)，即得( 2 1 9 ) 式。該證明的經(jīng)濟(jì)解釋是：最 優(yōu)投資者可以忽略初始資產(chǎn)中的小額投資，即初始資產(chǎn)的小額投資不影響最優(yōu)交 易策略。 8 ( 4 ) 一些互為共軛函數(shù)的例子 u ( z ) = l nz ，z o ；y ( 可) = 一h 1 一l ， u ( z ) = 警，z o ；y ( 秒) = 睪可擊，o q o ；y ( 秒) 2 彳可擊，o o 2 2不完全市場(chǎng)的最優(yōu)投資 現(xiàn)在我們來(lái)考慮集合m ( s ) d 且不是單點(diǎn)集的情況。 為了使得討論簡(jiǎn)單，我們假定m ( s ) 是r 中一個(gè)有限閉凸集，從而有有限個(gè) 頂點(diǎn) q 1 ，q m ) 。記q m = ( 卵，靖) ，1 仇m 固定初始稟賦z d ( u ) ，類(lèi)似前面的討論，則優(yōu)化問(wèn)題( 1 3 ) 可以記為 出) 2 警e p 【u ( 冽2 三刪甜 ( 2 2 1 ) e q m 【坼】- 籪矗z ，m = 1 ，m ( 2 2 2 ) n = l 記 c ) = 坼( q ，乃，p ) ：e q 【坼】z ，v q m ( s ) ) 則價(jià)值函數(shù)如下 u ( z ) 2 戈黧) 腳【u ( 婚) 】，z d ( u ) ( 2 2 3 ) 現(xiàn)在拉格朗日函數(shù)為 = 骱( u ( 島) 一專(zhuān)譬矗) + 叩m z n = 1 m = 1o m = l 其中( 叩l ，叼 f ) r ￥。 f 記可= 叼1 + + 7 7 m ，= 警，p = ( p 1 ，脅) ，q = 脅q m ， 9 力 一 矗費(fèi) - l m - l 一 靠 u - l = m吼m6 “ 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s l s 則有 l ( 乳，知幽q ) 2 圣( u ) 一y 賽& ) + 妒 = e p 【u ( 坼) 】一可( e q 【曬一z 】) 該表達(dá)式與前面類(lèi)似，唯一區(qū)別就是v q m ( s ) 代替了原來(lái)固定的概率測(cè) 度。定義 圣( f 1 一，知) 2 伽，罐m ( s ) l ( 6 ，婦，可，q ) 皿( y ，q ) = s u pl ( f 1 ，知，y ，q ) g l ， 類(lèi)似完全市場(chǎng)中情形，可以得到 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) s u p 圣( l ，知) = u ( z ) ，z d ( u ) ， 皿( y ，q ) = 陬y ( 警) + 弘3 ， o ，q 朋( s ) 其中q = ( g l ，) m ( s ) 。 現(xiàn)在分兩步來(lái)計(jì)算皿的最小值。 首先固定可 0 ，定義 皿( y ) 2 口域s 皿( 可，q ) ，y o 則連續(xù)函數(shù)( y ) 在緊集q 朋( s ) 上達(dá)到其最小值。由y 的嚴(yán)格凸性可知最小 值點(diǎn)國(guó)( ! ，) 是唯一的，記國(guó)( 可) = ( 口1 ( ) ，秈( y ) ) ，又由y 7 ( o ) = 一o o 可以得到 靠( y ) o ，忍= l ，。 定義對(duì)偶價(jià)值函數(shù) 吣) 2 q ；洲可賽) 2 三 掣) ( 2 2 6 ) 類(lèi)似上面完全市場(chǎng)的討論，可以證明( 6 ，知，雪 ) ，國(guó)( ) ) 是上述拉格朗日函數(shù) 的唯一駐點(diǎn)，且雪 ) 滿(mǎn)足( 雪( z ) ) = 一z 以及己= ( 雪( z ) 掣，并且價(jià)值函數(shù)缸， 是互為共軛的。 結(jié)合上述分析，我們得到如下定理 1 0 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 定理2 3 在不完全金融市場(chǎng)中，f 段設(shè)價(jià)格過(guò)程s = ( & ) o o ( 2 2 6 ) 則 ( i ) 函數(shù)u ，u 是共軛的，且u 與函數(shù)u 具有相同的性質(zhì)； ( i i ) ( 2 2 3 ) ，( 2 2 6 ) 式分別存在唯一的優(yōu)化因子島( z ) ，國(guó)( y ) ，且國(guó)( y ) 朋( s ) 滿(mǎn)足 薪叫y 掣) 叫協(xié)掣m 掣圳( 鰳 ( 2 2 7 ) 其中z 刃( ) ，y 0 。事實(shí)上，上述關(guān)系是通過(guò)( z ) = 可或z = 一口( ! ，) 得到的； ( ) 關(guān)于u 7 ，滿(mǎn)足 讓協(xié)) = e p 【叭薪( 圳】，以y ) = e q 釅 掣) 】 ( 2 2 - 8 ) 州( z ) = e p 【薪( 妒7 ( 薪( 砒y 銣) = e p 阿掣y b 掣) 】 ( 2 2 9 ) 證明( i ) ( i i ) 是上述討論的結(jié)果，而( ) 中( 2 2 8 ) 式，( 2 2 9 ) 式的公式推導(dǎo)過(guò) 程則類(lèi)似于完全市場(chǎng)中的情形。 1 1 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s l s 第三節(jié)無(wú)限概率空間上的最優(yōu)投資 前面我們仔細(xì)地分析了當(dāng)概率空間有限時(shí)的優(yōu)化問(wèn)題，并且給出了相應(yīng)地證 明。現(xiàn)在我們考慮在什么條件下，定理2 3 可作進(jìn)一步推廣。具體來(lái)說(shuō)，在什么條 件下， 函數(shù)u ， 分別存在優(yōu)化因子島( z ) ，國(guó)0 ) ? 對(duì)偶公式薪( z ) = j ( 可等筍) = 一v 7 ( ! ，筍) 或y 號(hào)筍= 礦7 ( 薪 ) ) 成立? 價(jià)值函數(shù)t | ，t ，互為共軛? 價(jià)值函數(shù)u 和u 具有相同的性質(zhì)? 關(guān)于的公式成立? 在兩個(gè)前提條件下我們可以給出以上問(wèn)題肯定的答案。首先，要給合適的集合 使得硒，q 是變化的，該條件和情形1 ，情形2 中關(guān)于的定義域的條件是不同 的；其次，效應(yīng)函數(shù)u 除了滿(mǎn)足上述經(jīng)典性質(zhì)外，還要具有”理性漸進(jìn)彈性”。 在u 具有”理性漸進(jìn)彈性”的假定下，下面定理中關(guān)于對(duì)偶理論本質(zhì)上與有 限的情形相同。而s 除了無(wú)套利假設(shè)外，不需要增加額外的條件限制。另一方面， 關(guān)于u 具有”理性漸進(jìn)彈性”的假定條件是必須的，不能放寬條件，即使s 滿(mǎn)足 一個(gè)較強(qiáng)的條件( 比如：具有連續(xù)的路徑，定義在完全市場(chǎng)等) 。 稱(chēng)效應(yīng)函數(shù)v 具有”理性漸進(jìn)彈性”，如果 l i m s u p 梨 o 時(shí)，l i 竺囂p 芬導(dǎo) 0 ，y 0 ，則無(wú)窮維條件下的拉格朗日函數(shù)形式如下 o n 釅 v ( 曬，q ) = e p ( 曬) 】- 可( e q 盼卜z ) = e p u ( 曬) 一可器曬】+ 可z 其中斯是非負(fù)，斤可測(cè)的，q m ( s ) 。 假設(shè)嶄滿(mǎn)足條件廷、釅，v ( 坼，q ) 一o 。一 f 0 ，q m ( s ) 可 。，戳( s r ( 硒，q ) 一兮e q 【婚】z ，q 朋( s ) ( 3 l 1 ) 在未定權(quán)益坼上應(yīng)用基本的結(jié)論( 【3 】，( 4 】，【1 0 】) ，類(lèi)似有限維的情況則有結(jié)論： 非負(fù)昂可測(cè)的的隨機(jī)變量磁滿(mǎn)足( 3 1 1 ) 式，當(dāng)且僅當(dāng)，存在容許的交易策略 日，使得坼z + ( 日s ) t 。令 c ( z ) = 叉j 三暈( q ，廳，p ) ：叉j z + ( 日s ) r ) 1 3 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s i s 記c = c ( 1 ) ，注恿到c ( z ) = z c 。 由( 3 1 1 ) 式，哳l 暈( q ，廳，p ) ， 坼c 兮盼】= e p 盼籌】1 ，q m ( 觀(guān) 記 d = 許l 宰( q ，廳，p ) ：( q n ) 甚。m ( s ) ，昂熙芳) 其中恕警是指幾乎處處成立的。 記d ) = y d ，秒 o ，則有d = d ( 1 ) 。 由d 的定義以及f a t o u 引理，下面的結(jié)論成立嶄l 暈( q ，廳，p ) ， 硒g e p 【坼硌】1 ，埽d 可以觀(guān)察到g ，d 之間有對(duì)稱(chēng)關(guān)系埽碑( q ，乃，p ) ， 埒d 兮e p 【坼剮1 ，曬a 至此，關(guān)于曬，q 可以變化的集合c ，d 已經(jīng)找到。 集合d 的構(gòu)造有多種形式。除了上面的形式以外，也可以定義d 是所有隨機(jī) 變量許l 宰( q ，乃，p ) 的集合，其中過(guò)程( k ) 0 9 t 條件為：對(duì)于任何非負(fù)過(guò)程 ( 五) o s t s r = + ( 日s ) ) o o ( 可) = e 【! 圣學(xué)】，籮 。 3 2允許負(fù)定資產(chǎn)的最優(yōu)投資 允許負(fù)定資產(chǎn)，即，刃( u ) = r 。在該情況下效應(yīng)函數(shù)有一個(gè)特例：u ( z ) = 一e 一億，7 0 ?，F(xiàn)在我們來(lái)構(gòu)造類(lèi)似于前面的集合g ，d 。粗略地講，集合g ，d 的構(gòu)造與上面有些不同，因?yàn)樽顑?yōu)投資組合薪現(xiàn)在可以取到負(fù)值。假定s 是 一個(gè)局部有界半鞅，在集合g 為給出合適的定義之前，我們先沿用前面的定 義，u ( z ) = s u pe f u 缸+ ( 日s ) 1 ，z o ，其中咒表示容許交易策略集，即，過(guò)程。 日h 。 一 ( ( 日s ) t ) o 。 t 是下一致有界的。經(jīng)濟(jì)上該概念可以理解為投資人的可能交易策 略有一個(gè)有限的信用下界。但是最優(yōu)投資策略日卻沒(méi)辦法找到，在經(jīng)典的情況 下，m e r t o ( f m 6 9 】，f m 7 1 】) 得到的最優(yōu)解不是下一致有界的。在文獻(xiàn)【1 6 】中，該困難 得到了解決。首先，存在一個(gè)容許策略日，定義 ( z ) = g r l o ( q ，乃，p ) ：g t z + ( 日s ) t ，e 【i u ( g r ) l 】 。o ) 其次，定義 ( z ) = 坼l o ( q ，乃，p ；r u + ，) ：i u ( 坼) 帆p ) 紗( 劬) ：g t 錫( z ) ” 則有 t 正( z ) = s u p e 【v ( x i ) 】，z 乏( 3 2 1 ) 勛c b ( 動(dòng) 對(duì)于劬( z ) 的定義有下面兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：首先，曬劬( z ) 允許取值到無(wú)窮點(diǎn)：事 實(shí)上，在指數(shù)效應(yīng)下u ( o 。) o 。于是 相應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題就變?yōu)?相應(yīng)的對(duì)偶問(wèn)題為 u ( z ，g ) = s u p e 【u ( ( 昂) 】 g g ( 工，g ) 口( ”) 2 日t 域”) e 【y ( 剮】- ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 定理3 3 在不完全市場(chǎng)中，假設(shè)存在( z ，口) r + 1 ，使得牡( z ，口) o 。，而對(duì)所有 的( ，r ) r + 1 ，u ( y ，7 ) 0 ，定義集合 記c = d ，則有 a ( 秒，r ) = ( ( z ，g ) ：z y + ( g ，r ) 1 ) d = u c ( 訓(xùn)) ( z ，口) a ( v ，r ) 旦u p le 【u ( 名g t ) 】= s u pe 【u ( z g t ) 】= s u p 讓( z ，g ) g t c 劬0 扛，口) 二月( 掣，) 。 參看【9 】，進(jìn)一步可以斷言：s u p ( 啪) ：a ( ”) u ( z ，口) o 。事實(shí)上，由于集合a ( y ，7 ) 是有界集，再由已知條件知存在( z ，g ) r + 1 使得讓( z ，g ) o 。，從而根據(jù)函數(shù) 的凹性可以知道上述結(jié)論是正確的。 根據(jù)前面的注釋可以推知協(xié)d ( y ，r ) 兮e 【g r 脅】1 ，v ( 而g 。 參看【1 1 】定理3 1 可知，如果u ( 可，7 ) o 】= 1 ，則由極限的方法可以推出，存在( y ，r ) b ( z ，g ) 使得 島d ( y ，r ) ，且z 可+ ( g ，r ) = z = e 【0 t 島】。即，( 3 3 5 ) 式，( 3 3 6 ) 式成立。 注3 4 當(dāng)效應(yīng)函數(shù)u 滿(mǎn)足理性漸進(jìn)彈性的假設(shè)時(shí)，上述定理的結(jié)論自然成立 ( 9 】) 。 1 9 碩士學(xué)位論文 m a s t e r st h e s l s 參考文獻(xiàn) 【1 】w b r a n n a t h ，w n i t e l l i ，( 2 0 0 0 ) ，d n ee 疵s t e n c ed ，m z 禮t m 凹仇口n i 釓9 口f em e 口 s 心他s ，p r e p r i l l t 【2 】f d a l b a u e n ，w s c h a c h e r m a 弘r ，( 1 9 9 4 ) ，ag e 仃e m f 耽r s d 仃盯耽凡佗d 口仇e n 口j 孤e d 他m 盯a s s e t 刑c i 鴨m a t h a n n a l e n ，v o l u m e3 0 0 ，4 6 3 5 2 0 【3 】f d a l b a u e n ，w s d l a c h 咖a y e r ，( 1 9 9 8 ) ，死e 凡仃如仇e 死刪乃e d 他m 巧4 5 j e n 吃c t 叼扣r 6 d 釷n d e d 礬d c 缸cp m c e s s ，m a t h e m a t i 8 c h ea n n m e n ，v - 0 1 3 1 2 ，2 1 5 - 2 5 0 【4 】i e k e l a n d ，r t e m a m ，( 1 9 7 6 ) ，舢銘a 凡。蜘詁o n d 訖n 口統(tǒng)o n 口zp r d 6 z e 鵬， n o r t hh o l l a n d 【5 】c f h u a j l g ，r h l i t z e n b e r g e r ，( 1 9 8 8 ) ，乃釷n 如踟瑚扣r 歷口幾c 矧 眈d 死d m i c s ， n o r t h - h o u a n dp u b l i s l l i n gc o n e wy 0 r k 【6 】j h u g o 疵e ra n dd k r 眥k o v ，( 2 0 0 4 ) ，i 仇口f 饑伽m e 禮塒現(xiàn)覷砌d m 眈 d d t 朋i e n 幻伽h c d 唧f e e 朋西古e 如，a r u l a p p l v ，0 1 1 4 ，n o 2 ，8 4 5 8 6 4 7 】j m h a 盯i s o n ，s r p l i s k a ，( 1 9 8 1 ) ， 庇死i 叼口f e s 口幾d d c 口s 統(tǒng)ci 刑乞脅2 s 饑砘e 譏阿盯c d 億z 譏d 郴f m 咖，s t o c h p r o c a n da p p l ，v b l 1 1 ，2 1 5 2 6 0 【8 】s d j a c l ( a ，( 1 9 9 2 ) ，a l z _ 口n i r w 口f er 9 p r s e 竹t 口i d 仃j 詫s t 正跎n 仃d 口na p p 托c o t f d n d 加c d 竹印f e e 屁n 口n c 口fm a m e 幻，m a t h e m a t i c a lf i n a i l c e ，v b l 2 ，2 3 吼2 5 0 9 】n e lk 缸o(hù) u i ，m - c q u e n e z ，( 1 9 9 5 ) d 妒口m i cp r 叼m m m t 禮9 口他dp c 譏夕d ，c d n 一 統(tǒng)哪e 秕c 2 口i m 5 饑譏c d 唧z e em o 北e 南s i a mj c o n t r o lo p t i m ，v 0 1 3 3 ，2 9 - 6 6 【1 0 】d k r 鋤k 0 v ，w s c h a c h e r m a 歸r ，( 1 9 9 9 ) ，z h ea s 可竹印幻挽c 覷i c i 紉d ，眈i