《Desargues定理》PPT課件.ppt

4.1Desargues定理,一、Desargues定理(代沙格定理),1、兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)關(guān)系,若兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)共點(diǎn)，則稱(chēng)這對(duì)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形具有透視中心，透視中心也稱(chēng)為Desargues點(diǎn).,若兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線(xiàn)，則稱(chēng)這對(duì)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形具有透視軸，透視軸也稱(chēng)為Desargues線(xiàn).,問(wèn)題,請(qǐng)問(wèn)你是怎樣畫(huà)出這兩個(gè)圖的？,畫(huà)圖過(guò)程演示,一、Desargues定理,2、Desargues定理,定理,(Desargues定理及其逆定理),證明：1.對(duì)于兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)行，存在透視中心存在透視軸,這張美麗的圖是如何畫(huà)的？,納悶,證明：以A、B、C、既表示點(diǎn)，又表示這些點(diǎn)的坐標(biāo)矢量。設(shè)三直線(xiàn)A、B、C的公共點(diǎn)為O,、A、O三點(diǎn)共線(xiàn)，所以O(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)矢量O一定可表示為A和的線(xiàn)性組合：（表示組合系數(shù)）同樣有：比較這三式，得：,（1）式由左端觀(guān)察表示兩點(diǎn)與聯(lián)線(xiàn)上的一點(diǎn)，由右端觀(guān)之，它代表兩點(diǎn)、聯(lián)線(xiàn)上的一點(diǎn)。所以它代表直線(xiàn)與的交點(diǎn)X。其余依次類(lèi)推，（2）式表示直線(xiàn)與的交點(diǎn)Y，（3）式表示直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)Z。由于X、Y、Z三點(diǎn)的坐標(biāo)矢量間有明顯的線(xiàn)性關(guān)系式：X+Y+Z=0三點(diǎn)X、Y、Z共一直線(xiàn),Desargues定理畫(huà)圖過(guò)程演示,注1、Desargues定理與其逆定理實(shí)際是一對(duì)對(duì)偶命題.,注2、滿(mǎn)足Desargues定理的一對(duì)三點(diǎn)形稱(chēng)為透視的三點(diǎn)形.,2、Desargues定理,注3、關(guān)于Desargues構(gòu)圖.左圖表示了一對(duì)透視的三點(diǎn)形ABC,ABC.,左圖中共有十個(gè)點(diǎn)、十條直線(xiàn)，過(guò)每個(gè)點(diǎn)有三條直線(xiàn)；在每條直線(xiàn)上有三個(gè)點(diǎn).這十點(diǎn)、十線(xiàn)地位平等，此圖稱(chēng)為Desargues構(gòu)圖.,分析：為證X,Y,Z三點(diǎn)共線(xiàn),試在圖中找出一對(duì)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形,具有透視中心，且對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)恰為X,Y,Z即可.,二、應(yīng)用舉例,1、證明共線(xiàn)點(diǎn)與共點(diǎn)線(xiàn)問(wèn)題,證明:由題給,X,Y,Z分別為三對(duì)直線(xiàn)的交點(diǎn),此三直線(xiàn)涉及到六個(gè)字母A,B,C,D,E,F.由代沙格定理有:,例1在歐氏平面上,設(shè)ABC的高線(xiàn)分別為AD,BE,CF.而B(niǎo)CEF=X,CAFD=Y,ABDE=Z.求證：X,Y,Z三點(diǎn)共線(xiàn).,二、應(yīng)用舉例,分析：因?yàn)镽是動(dòng)點(diǎn)，作R的另一個(gè)位置R.得到P,Q,設(shè)PQ,PQ交于C.只要證明A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn).,由OX,OY,OZ共點(diǎn)于O,只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形，其三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別在OX,OY,OZ上,且三雙對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)恰為A,B,C即可.,如圖，PQR,PQR正是所需.,思考:,條件“AB經(jīng)過(guò)O”對(duì)于本題結(jié)論純屬多余！,例2設(shè)OX,OY,OZ為三條定直線(xiàn),A,B為定點(diǎn),其連線(xiàn)經(jīng)過(guò)O.R為OZ上的動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)RA,RB分別與OX,OY交于P,Q.求證：PQ經(jīng)過(guò)AB上的一個(gè)定點(diǎn).,二、應(yīng)用舉例,證明：考察三點(diǎn)形PQR與ABC，它們有透視中心S，從而他們有透視軸，即A1,B1,C1三點(diǎn)共線(xiàn).,引申：同理可證,例3已知完全四點(diǎn)形PRQS,其對(duì)邊三點(diǎn)形為ABC.設(shè)A1=BCRQ,B1=ACRP,C1=ABPQ.求證：A1,B1,C1三點(diǎn)共線(xiàn).,二、應(yīng)用舉例,證明：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的另一個(gè)位置為P,依題意作圖,得交點(diǎn)X,Y.,考察三點(diǎn)形AXX與BYY,因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)P,C,P共線(xiàn)，所以其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)AB,XY,XY共點(diǎn),此點(diǎn)為AB上的定點(diǎn).,2、不可及點(diǎn)的作圖問(wèn)題,例4設(shè)A,B,C為不共線(xiàn)三點(diǎn),P是過(guò)C的定直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),APBC=X,ACBP=Y.求證：XY經(jīng)過(guò)定點(diǎn).,思考：考察三點(diǎn)形PXY與PXY進(jìn)行證明.,二、應(yīng)用舉例,2、不可及點(diǎn)的作圖問(wèn)題,例5.已知平面上二直線(xiàn)a,b,P為不在a,b上的一點(diǎn).不定出a,b的交點(diǎn)ab,過(guò)P求作直線(xiàn)c,使c經(jīng)過(guò)ab.,解.作法：,(1).在a,b外取異于P的一點(diǎn)O.,過(guò)O作三直,線(xiàn)l1,l2,l3.,設(shè)l1,l2,分別交a,b于A1,A2;B1,B2.,(2).連PA1,PB1分別交l3于A3,B3.,(3).連A2A3,B2B3交于Q.,(4).PQ=c為所求直線(xiàn).,證明：由作法，三點(diǎn)形A1A2A3,B1B2B3有透視中心O.故其對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)P=A1A3B1B3,Q=A2A3B2B3以及ab三點(diǎn)共線(xiàn)，即c=PQ經(jīng)過(guò)a,b的交點(diǎn).,作業(yè):課本66頁(yè)第1,2,4,5題.,4.2完全四點(diǎn)（角）形與完全四線(xiàn)（邊）形,定理1：平面內(nèi)無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)的四點(diǎn)及其兩兩聯(lián)線(xiàn)所構(gòu)成的圖形稱(chēng)為完全四點(diǎn)形（完全四角形），它的代號(hào)是：,P,R,C,E,A,B,F,D,頂點(diǎn)：A，B，C，D。邊：AB，AD，BD，AC，BC，DC。對(duì)應(yīng)點(diǎn)：P，Q，R,對(duì)角三角形：,圖形含四點(diǎn)及六直線(xiàn)，每一點(diǎn)稱(chēng)為頂點(diǎn)，每一直線(xiàn)稱(chēng)為邊。不過(guò)同一頂點(diǎn)的兩邊稱(chēng)為對(duì)邊，六邊稱(chēng)為三對(duì)。每一對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)邊點(diǎn)（對(duì)角點(diǎn)）。三個(gè)對(duì)邊點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱(chēng)為對(duì)角三角形。,Q,圖（1）,定理2：平面內(nèi)無(wú)三線(xiàn)共點(diǎn)的四直線(xiàn)及其兩兩交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形稱(chēng)為完全四線(xiàn)形（完全四邊形），它的代號(hào)是：,四直線(xiàn)，六個(gè)頂點(diǎn),對(duì)角三角形,圖形含四直線(xiàn)及六點(diǎn)，每一直線(xiàn)稱(chēng)為邊，每一點(diǎn)稱(chēng)為頂點(diǎn)，不在同一邊上的兩個(gè)頂點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)頂，六個(gè)頂點(diǎn)分為三對(duì)。每一對(duì)對(duì)頂?shù)穆?lián)線(xiàn)稱(chēng)為對(duì)定線(xiàn)（對(duì)角線(xiàn)）。三條對(duì)頂線(xiàn)構(gòu)成的三角形稱(chēng)為對(duì)角三角形。,完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)：完全四點(diǎn)形通過(guò)每一個(gè)對(duì)角點(diǎn)有一組調(diào)和線(xiàn)束，即通過(guò)這對(duì)對(duì)角點(diǎn)的兩邊和對(duì)角三角形的兩條邊。,證明：如上圖（1）延長(zhǎng)PQ交AR于點(diǎn)F，已知A，B，C，D為完全四點(diǎn)形的四個(gè)頂點(diǎn)，P，Q，R為對(duì)角點(diǎn)，PQ交BC于點(diǎn)E,則有：,a,b,c,d,p,q,r,圖（2）,代號(hào):,=,=,同理可證：,完全四線(xiàn)形的調(diào)和性質(zhì)：完全四線(xiàn)形的每一條對(duì)角線(xiàn)上有一組調(diào)和點(diǎn)列。即這直線(xiàn)上的兩個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn),證明：設(shè)AB，QS，RT為完全四線(xiàn)形的三條對(duì)角線(xiàn)，,而,將導(dǎo)致四點(diǎn)A，B，C，D中有某兩點(diǎn)重合與情況不合,同理可得另外兩組調(diào)和點(diǎn)列,可以用定理1來(lái)證明定理2，也可以用定理2來(lái)證明定理1,例1：已知共線(xiàn)三點(diǎn)A，B，C，求作點(diǎn)D使（AB，CD）=-1,作法：過(guò)C點(diǎn)任作一直線(xiàn)L，L與A，B，C所在直線(xiàn)不同,在其上任取與C不同的兩點(diǎn)Q，S，作R=,則D為所求,證明：如圖：四點(diǎn)形RSTQ為完全四點(diǎn)形，由定理可得,故D為所求,代沙格對(duì)合定理：,定理