高一數(shù)學(xué)抽象函數(shù)常見題型解法綜述.doc

.抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問(wèn)題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評(píng)析如下：一、定義域問(wèn)題例1. 已知函數(shù)的定義域是1，2，求f（x）的定義域。解：的定義域是1，2，是指，所以中的滿足從而函數(shù)f（x）的定義域是1，4評(píng)析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f（x）的定義域問(wèn)題，相當(dāng)于已知中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問(wèn)題。例2. 已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對(duì)象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是評(píng)析：這類問(wèn)題的一般形式是：已知函數(shù)f（x）的定義域是A，求函數(shù)的定義域。正確理解函數(shù)符號(hào)及其定義域的含義是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵。這類問(wèn)題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于已知的值域B，且，據(jù)此求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問(wèn)題例3. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)f（x），同時(shí)滿足下列條件：；，求f（3），f（9）的值。解：取，得因?yàn)?，所?又取，得評(píng)析：通過(guò)觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f（3）溝通了起來(lái)。賦值法是解此類問(wèn)題的常用技巧。三、值域問(wèn)題例4. 設(shè)函數(shù)f（x）定義于實(shí)數(shù)集上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域。解：令，得，即有或。若，則，對(duì)任意均成立，這與存在實(shí)數(shù)，使得成立矛盾，故，必有。由于對(duì)任意均成立，因此，對(duì)任意，有下面來(lái)證明，對(duì)任意設(shè)存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對(duì)任意，所以評(píng)析：在處理抽象函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，往往需要對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問(wèn)題1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。例1：已知 ,求.解：設(shè),則2.湊配法：在已知的條件下，把拼湊成以表示的代數(shù)式，再利用代換即可求.此解法簡(jiǎn)潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法。 例2：已知，求解：又，(|1)3.待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。例3 已知二次實(shí)函數(shù)，且+2+4,求.解:設(shè)=，則=比較系數(shù)得4.利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.例4.已知=為奇函數(shù),當(dāng) 0時(shí),求解:為奇函數(shù)，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故先求0,為奇函數(shù)，當(dāng)0時(shí)例5一已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有+， 求,.解：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，,不妨用-代換+= 中的,即顯見+即可消去,求出函數(shù)再代入求出五、單調(diào)性問(wèn)題例6. 設(shè)f（x）定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)時(shí)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾，所以，即有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，而，所以又當(dāng)時(shí)，所以對(duì)任意，恒有設(shè)，則所以，所以在R上為增函數(shù)。評(píng)析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問(wèn)題例7. 已知函數(shù)對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)都有，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因?yàn)闉榉橇愫瘮?shù)，所以為偶函數(shù)。七、對(duì)稱性問(wèn)題例8. 已知函數(shù)滿足，求的值。解：已知式即在對(duì)稱關(guān)系式中取，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，2002）對(duì)稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（2002，0）對(duì)稱。所以將上式中的x用代換，得評(píng)析：這是同一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱問(wèn)題，在解題中使用了下述命題：設(shè)a、b均為常數(shù)，函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱圖形。八、五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù)，是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，f（1）2，求f（x）在區(qū)間2，1上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)f（x）是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f（x）的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，當(dāng)，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域?yàn)?，2。例2、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)：f（x）是yx2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號(hào)，從而可求得不等式的解。 解：設(shè)，當(dāng)，則， 即，f（x）為單調(diào)增函數(shù)。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解為1 a 3。2、指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)例3、設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（，），滿足條件：存在，使得，對(duì)任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）對(duì)任意值x，判斷f（x）值的正負(fù)。分析：由題設(shè)可猜測(cè)f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而猜想f（0）1且f（x）0。解：（1）令y0代入，則，。若f（x）0，則對(duì)任意，有，這與題設(shè)矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，則，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故對(duì)任意x，f（x）0恒成立。例4、是否存在函數(shù)f（x），使下列三個(gè)條件：f（x）0，x N；f（2）4。同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說(shuō)明理由。分析：由題設(shè)可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜測(cè)存在函數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）x1時(shí)，又x N時(shí)，f（x）0，結(jié)論正確。（2）假設(shè)時(shí)有，則xk1時(shí)，xk1時(shí)，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時(shí)。3、對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對(duì)數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例5、設(shè)f（x）是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測(cè)f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f（1）0，f（9）2。解：（1），f（1）0。（2），從而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函數(shù)，故，解之得：8x9。例6、設(shè)函數(shù)yf（x）的反函數(shù)是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正確，試說(shuō)明理由。分析: 由題設(shè)條件可猜測(cè)yf（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又yf（x）的反函數(shù)是yg（x），yg（x）必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g（ab）g（a）g（b）正確。解：設(shè)f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，g（m）a，g（n）b，從而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。4、三角函數(shù)型抽象函數(shù)三角函數(shù)型抽象函數(shù)即由三角函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例7、己知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三條件：當(dāng)是定義域中的數(shù)時(shí)，有；f（a）1（a0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)）；當(dāng)0x2a時(shí)，f（x）0。試問(wèn)：（1）f（x）的奇偶性如何？說(shuō)明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由。分析: 由題設(shè)知f（x）是的抽象函數(shù)，從而由及題設(shè)條件猜想：f（x）是奇函數(shù)且在（0，4a）上是增函數(shù)（這里把a(bǔ)看成進(jìn)行猜想）。解：（1）f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且是定義域中的數(shù)時(shí)有，在定義域中。，f（x）是奇函數(shù)。（2）設(shè)0x1x22a，則0x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，進(jìn)而知中的，于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。又，f（a）1，f（2a）0，設(shè)2ax4a，則0x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。設(shè)2ax1x24a，則0x2x12a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)。5、冪函數(shù)型抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù)，即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。 例8、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，當(dāng)時(shí)，。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）