第十章 第五節(jié) 古典概型.ppt

第五節(jié)古典概型 1 古典概型具有以下兩個特征的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型 1 有限性 試驗的所有可能結(jié)果 每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果 2 等可能性 每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性 只有有限個 相同 2 古典概型的概率公式如果試驗的所有可能結(jié)果 基本事件 數(shù)為n 隨機事件A包含的基本事件數(shù)為m 那么事件A的概率規(guī)定為P A 3 互斥事件定義 在一個隨機試驗中 把一次試驗下 的兩個事件A與B稱作互斥事件 P A B 概率公式 P A1 A2 An 不能同時發(fā)生 P A P B P A1 P A2 P An 4 對立事件的概率在每一次試驗中 相互對立的事件A和事件不會同時發(fā)生 并且一定有一個發(fā)生 對立事件也稱為逆事件 其計算公式 P 1 P A 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 我們所說的試驗都是古典概型 2 在適宜條件下 種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽 屬于古典概型 其基本事件是 發(fā)芽與不發(fā)芽 3 擲一枚硬幣兩次 出現(xiàn) 兩個正面 一正一反 兩個反面 這三個結(jié)果是等可能事件 4 兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生 5 兩個事件對立時一定互斥 但兩個事件互斥時不一定對立 解析 1 錯誤 在一次試驗中 可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個 并且每個試驗結(jié)果的可能性是均等的 這樣的試驗才是古典概型 2 錯誤 它不符合古典概型的定義中每個事件發(fā)生的可能性相等 3 錯誤 擲一枚硬幣兩次 出現(xiàn) 正 正 正 反 反 正 反 反 這四個事件是等可能事件 4 錯誤 兩個事件的和事件是指兩個事件至少有一個發(fā)生 不一定是同時發(fā)生 5 正確 由互斥事件與對立事件的概念可知該說法正確 答案 1 2 3 4 5 1 從甲 乙 丙三人中任選兩人參加志愿者服務 甲 乙均被選中的概率是 B C D 解析 選B 任選兩人為志愿者的結(jié)果有 甲 乙 甲 丙 乙 丙 共3種 所以甲 乙均被選中的概率是故選B 2 連續(xù)拋擲兩枚骰子得到的點數(shù)分別是m n 則向量a m n 與向量b 1 1 共線的概率是 A B C D 解析 選C 由向量a m n 與向量b 1 1 共線 可得m n 連續(xù)拋擲兩枚骰子得到的點數(shù) m n 的可能結(jié)果共有36種 m n的有6種 分別是 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 所以所求概率 3 設a是拋擲一枚骰子得到的點數(shù) 則方程x2 ax 2 0有兩個不相等的實數(shù)根的概率為 A B C D 解析 選A 由方程x2 ax 2 0有兩個不相等的實數(shù)根 得 a2 8 0 故a 3 4 5 6 根據(jù)古典概型的概率計算公式有 4 在第3 6 16路公共汽車的一個?？空?假定這個車站只能停靠一輛公共汽車 有一位乘客需在5分鐘之內(nèi)乘上公共汽車趕到廠里 他可乘3路或6路公共汽車到廠里 已知3路公共汽車 6路公共汽車在5分鐘之內(nèi)到此車站的概率分別為0 20和0 60 則該乘客在5分鐘內(nèi)能乘上所需要的車的概率為 A 0 12 B 0 20 C 0 60 D 0 80 解析 選D 能上車 記為事件A 則3路或6路公共汽車有一輛路過即事件發(fā)生 故P A 0 20 0 60 0 80 5 三張卡片上分別寫有字母A A B 將三張卡片隨機地排成一行 恰好排成B A A的概率是 解析 三張卡片共有6種排法 排成B A A有兩種 故答案 6 已知集合A 2 5 在A中可重復地依次取出三個數(shù)a b c 則 以a b c為邊恰好構(gòu)成三角形 的概率是 解析 在A中可重復地依次取出三個數(shù)a b c 的基本事件總數(shù)為23 8 事件 以a b c為邊不能構(gòu)成三角形 分別為 2 2 5 2 5 2 5 2 2 所以答案 考向1簡單古典概型的概率 典例1 1 十一 國慶假期 甲 乙兩人一起去游玩 他們約定 各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽 每個景點參觀一小時 則最后一小時他們同在一個景點的概率是 A B C D 2 2012 江蘇高考 有10個數(shù) 它們能構(gòu)成一個以1為首項 3為公比的等比數(shù)列 若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù) 則它小于8的概率是 思路點撥 1 由于每個景點被參觀的可能性相等 且構(gòu)成的基本事件個數(shù)有限 因此該問題能歸結(jié)到古典概型解決 2 從等比數(shù)列的通項公式和等可能事件的概率兩方面處理 規(guī)范解答 1 選D 若用 1 2 3 4 5 6 代表6處景點 顯然甲 乙兩人最后一小時游覽的景點可能為 1 1 1 2 1 3 6 6 共36種 其中滿足題意的 最后一小時他們同在一個景點 包括 1 1 2 2 3 3 6 6 共6個基本事件 所以所求的概率為 2 這10個數(shù)是1 3 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 所以它小于8的概率等于答案 互動探究 在本例題 2 中 將 抽取一個數(shù) 則它小于8 改為 抽取兩個數(shù) 則它們都小于8 則結(jié)果如何 解析 基本事件共有 45個 都小于8的事件有 15個 所以 它們都小于8的概率為 拓展提升 1 求古典概型的概率的基本步驟 1 算出所有基本事件的個數(shù)n 2 求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m 3 代入公式P A 求出P A 2 基本事件個數(shù)的確定方法 變式備選 在正四面體的6條棱中隨機抽取2條 則其2條棱互相垂直的概率為 A B C D 解析 選C 總的取法有15種 由正四面體的性質(zhì)可知 對棱垂直 故互相垂直的有3種 所求概率為 選C 考向2互斥事件 對立事件的概率 典例2 1 在一次投擲骰子的試驗中 記事件A1 出現(xiàn)4點 A2 出現(xiàn)大于3點 A3 出現(xiàn)小于6點 A4 出現(xiàn)6點 下列等式中正確的是 A P A1 A2 P A1 P A2 B P A1 A3 P A1 P A3 C P A2 A3 P A2 P A3 D P A1 A4 P A1 P A4 2 從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個 質(zhì)量小于4 8g的概率是0 3 質(zhì)量不小于4 85g的概率是0 32 那么質(zhì)量在 4 8 4 85 g范圍內(nèi)的概率是 A 0 62 B 0 38 C 0 7 D 0 68 3 已知在6個電子元件中有2個次品 4個正品 每次任取1個進行測試 測試后不再放回 直到2個次品都找到為止 求經(jīng)過4次測試恰好將2個次品都找到的概率 思路點撥 1 由于選項中的公式只有兩個互斥事件的和事件的概率才滿足 所以只需判斷A1與A2 A1與A3 A1與A4以及A2與A3是否互斥即可 2 利用概率的性質(zhì)及互斥事件概率的公式即可解決 3 4次測試恰好將2個次品都找到可分為 前3次測試僅有一次取到次品 第4次測試恰好取到次品 與 前4次測試都取到正品 兩種情況 規(guī)范解答 1 選D 由題設 只有事件A1與A4是互斥事件 因此P A1 A4 P A1 P A4 即選D 2 選B 設一個羽毛球的質(zhì)量為 g 則P 4 8 P 4 8 4 85 P 4 85 1 所以P 4 8 4 85 1 0 3 0 32 0 38 3 設A表示事件 前3次測試僅有一次取到次品 第4次測試恰好取到次品 B表示事件 前4次測試都取到正品 則因為A B互斥 所以P A B P A P B 故經(jīng)過4次測試恰好將2個次品都找到的概率是 拓展提升 求復雜的互斥事件的概率的兩種方法 1 直接求法 將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和 運用互斥事件概率的加法公式計算 2 間接求法 先求此事件的對立事件的概率 再用公式P A 1 P 求得 即運用逆向思維 正難則反 特別是 至多 至少 型題目 用間接求法會較簡便 提醒 應用互斥事件概率的加法公式 一定要注意首先確定各個事件是否彼此互斥 然后求出各事件發(fā)生的概率 再求和 變式訓練 一個口袋里共有除顏色外其他均相同的7個白球和4個紅球 現(xiàn)在一次取出三個球 則這三個球中至少有一個紅球的概率是多少 解析 方法一 記 三個球中至少有一個紅球 為事件A 三個球中恰有一個紅球 為事件A1 三個球中有兩個紅球 為事件A2 三個球全是紅球 為事件A3 則A A1 A2 A3 且A1 A2 A3這三個事件兩兩互斥 故得P A P A1 P A2 P A3 方法二 記 三個球中至少有一個紅球 為事件A 則 三個球全是白球 為事件A的對立事件 故得 考向3構(gòu)建不同的概率模型解決問題 典例3 1 2013 淮北模擬 一個袋中裝有四個形狀 大小完全相同的球 球的編號分別為1 2 3 4 先從袋中隨機取一個球 該球的編號為m 將球放回袋中 然后再從袋中隨機取一個球 該球編號為n 則n m 2的概率為 2 2013 大連模擬 同時投擲兩粒骰子 求向上的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率 思路點撥 1 將兩次取出的球的編號看作有序?qū)崝?shù)對 列舉出基本事件及滿足n m 2的事件 轉(zhuǎn)化為古典概型及對立事件的概率求解 2 適當選取觀察角度以減少復雜的計數(shù) 角度一 通過坐標法列出所有基本事件 角度二 把一次試驗的所有可能結(jié)果取為 奇 奇 奇 偶 偶 奇 偶 偶 角度三 把一次試驗的所有可能結(jié)果取為 點數(shù)之和為奇數(shù) 點數(shù)之和為偶數(shù) 規(guī)范解答 1 依題設 一切可能結(jié)果 m n 有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16個 又滿足條件n m 2的事件為 1 3 1 4 2 4 共3個 所以滿足條件n m 2的事件的概率為故滿足條件n m 2的事件的概率為P 1 P1 答案 2 方法一 從下圖可以看出基本事件與所描點一一對應 有36種 記 向上的點數(shù)之和為奇數(shù) 為事件A 從圖中可以看出 事件A包含的基本事件共有18個 因此 方法二 由于兩粒骰子中出現(xiàn)奇 偶數(shù)的機會相同 且每粒骰子中的奇 偶數(shù)的個數(shù)也相同 若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為 奇 奇 奇 偶 偶 奇 偶 偶 基本事件總數(shù)為4 且每個事件出現(xiàn)是等可能的 事件A 點數(shù)之和為奇數(shù) 包含的基本事件個數(shù)為2 故 方法三 由于兩粒骰子中出現(xiàn)奇 偶數(shù)的機會相同 且每粒骰子中的奇 偶數(shù)的個數(shù)也相同 若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為 點數(shù)之和為奇數(shù) 點數(shù)之和為偶數(shù) 則基本事件總數(shù)為2 且每個事件出現(xiàn)是等可能的 事件A 點數(shù)之和為奇數(shù) 包含的基本事件個數(shù)為1 故 拓展提升 建立概率模型的原則 要求及作用 1 原則 建立概率模型的一般原則是 結(jié)果越少越好 這就要求選擇恰當?shù)挠^察角度 把問題轉(zhuǎn)化為易于解決的古典概型問題 2 要求 每次試驗有一個并且只有一個基本事件出現(xiàn) 3 作用 一方面 對于同一個實際問題 有時可以通過建立不同的 模型 來解決 即 一題多解 在這 多解 的方法中 再尋求較為 簡捷 的解法 另一方面 又可以用一種 模型 去解決很多 不同 的問題 即 多題一解 變式訓練 已知 p 3 q 3 當p q Z時 求方程x2 2px q2 1 0有兩個相異實數(shù)根的概率 解析 由方程x2 2px q2 1 0有兩個相異實數(shù)根 可得 2p 2 4 q2 1 0 即p2 q2 1 當p q Z時 設點M p q 如圖 直線x 3 2 1 0 1 2 3和直線y 3 2 1 0 1 2 3的交點 即為點M 共有49個 其中在圓p2 q2 1上和圓p2 q2 1內(nèi)的共有5個 圖中黑點 當點M p q 落在圓p2 q2 1外時 方程x2 2px q2 1 0有兩個相異實數(shù)根 所以方程x2 2px q2 1 0有兩個相異實數(shù)根的概率 易錯誤區(qū) 基本事件判斷不準致誤 典例 2012 廣東高考 從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個 其個位數(shù)為0的概率是 A B C D 誤區(qū)警示 本題易出現(xiàn)的錯誤主要有兩個方面 1 基本事件弄錯 由于0與1 2 3 9這十個數(shù)字被取到不是等可能的 因此誤認為本題不是古典概型 2 尋找基本事件時 誤認為0與1 2 3 9的地位是一樣的 致使基本事件個數(shù)不正確 規(guī)范解答 選D 首先確定符合條件的兩位數(shù)的所有個數(shù) 再找到個位數(shù)是0的個數(shù) 利用公式求解 設個位數(shù)與十位數(shù)分別為y x 則如果兩位數(shù)之和是奇數(shù) 則x y分別為一奇數(shù) 一偶數(shù) 第一類 x為奇數(shù) y為偶數(shù) 共有 種 情況 第二類 x為偶數(shù) y為奇數(shù) 共有 種 情況 兩類共計45種情況 其中個位數(shù)是0 十位數(shù)是奇數(shù)的兩位數(shù)有10 30 50 70 90這5個數(shù) 所以其中個位數(shù)是0的概率為 思考點評 1 基本事件的特點 1 任何兩個基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 本題中基本事件是個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù) 2 古典概型的判斷標準判斷一個概率問題是否是古典概型問題 其主要依據(jù)有以下兩個標準 1 有限性 試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個 2 等可能性 每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等 1 2013 鷹潭模擬 分別寫有數(shù)字1 2 3 4的4張卡片 從這4張卡片中隨機抽取2張 則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是 A B C D 解析 選D 從寫有數(shù)字1 2 3 4的4張卡片中隨機抽取2張 有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共6種 取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的取法有 1 2 1 4 2 3 3 4 共4種 故取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是 2 2013 合肥模擬 設函數(shù)若a是從0 1 2三數(shù)中任取一個 b是從1 2 3 4四數(shù)中任取一個 那么f x b恒成立的概率為 A B C D 解析 選A 當a 0時 因為f x b恒成立 所以恒成立 若b 1 則a 1 2 若b 2 則a 1 2 若b 3 則a 1 2 若b 4 則a 2 共7種情況 a 0時 b 1適合 故概率為 3 2012 上海高考 三位同學參加跳高 跳遠 鉛球項目的比賽 若每人都選擇其中兩個項目 則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是 結(jié)果用最簡分數(shù)表示 解析 本題中三位同學參加三個不同項目的比賽 每人都選擇兩個項目 則所有結(jié)果為種 有且只有兩人選擇的項目相同時分三步 定哪兩個人相同有種 定哪兩個項目相同有種 定第三個人 此人必須選前兩人未選的項 有種 結(jié)果為種 所以概率為答案 4 2013 新余模擬 甲 乙兩顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風 在同一時刻 甲 乙兩顆衛(wèi)星準確預報臺風的概率分別為0 8和0 75 則在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預報準確的概率為 解析 由對立事件的性質(zhì)知在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預報準確的概率為1 1 0 8 1 0 75 0 95 答案 0 95 5 2012 重慶高考 某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文 數(shù)學 外語三門文化課和其他三門藝術課各一節(jié) 則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔一節(jié)藝術課的概率為 用數(shù)字作答 解析 6節(jié)課共有種排法 相鄰兩節(jié)文化課之間最多隔1節(jié)藝術課 排法分三類 1 兩節(jié)相鄰文化課之間沒有藝術課間隔 可將三節(jié)課捆綁為一個元素 然后再與另三節(jié)藝術課進行全排 排法有種 2 三節(jié)文化課間都有1節(jié)藝術課間隔