高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3 平面向量的坐標運算學案 新人教A版必修4.doc

2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示2.3.3平面向量的坐標運算學習目標：1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示(難點)2.理解向量坐標的概念，掌握兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標運算法則(重點)3.向量的坐標與平面內點的坐標的區(qū)別與聯(lián)系(易混點)自 主 預 習探 新 知1平面向量的正交分解及坐標表示(1)平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐標表示：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得axiyj，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，a(x，y)叫做向量的坐標表示顯然，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)2平面向量的坐標運算設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，r，則有：加法ab(x1x2，y1y2)減法ab(x1x2，y1y2)數(shù)乘a(x1，y1)重要結論已知點a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)基礎自測1思考辨析(1)若(2，1)，則點a的坐標為(2，1)()(2)若點a的坐標為(2，1)，則以a為終點的向量的坐標為(2，1)()(3)平面內的一個向量a，其坐標是唯一的()解析(1)正確對于從原點出發(fā)的向量，其終點坐標與向量的坐標表示相同(2)錯誤以a為終點的向量有無數(shù)個，它們不一定全相等(3)正確由平面向量坐標的概念可知答案(1)(2)(3)2已知向量(3，2)，(5，1)，則向量的坐標是()abc(8,1)d(8,1)a(5，1)(3，2)(8,1)，.3如圖2314，在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內的一個向量a，若|a|2，45，則向量a的坐標為_圖2314(，)由題意知a(2cos 45i,2sin 45j)(i，j)(，)合 作 探 究攻 重 難平面向量的坐標表示如圖2315，在平面直角坐標系xoy中，oa4，ab3，aox45，oab105，a，b.四邊形oabc為平行四邊形圖2315(1)求向量a，b的坐標；(2)求向量的坐標；(3)求點b的坐標. 【導學號：84352220】解(1)作amx軸于點m，則omoacos 4542，amoasin 4542，a(2，2)，故a(2，2)aoc18010575，aoy45，coy30.又ocab3，c，即b.(2).(3)(2，2).規(guī)律方法求點、向量坐標的常用方法：(1)求一個點的坐標：可利用已知條件，先求出該點相對應坐標原點的位置向量的坐標，該坐標就等于相應點的坐標.(2)求一個向量的坐標：首先求出這個向量的始點、終點坐標，再運用終點坐標減去始點坐標即得該向量的坐標.跟蹤訓練1已知o是坐標原點，點a在第一象限，|4，xoa60，(1)求向量的坐標；(2)若b(，1)，求的坐標解(1)設點a(x，y)，則x4cos 602，y4sin 606，即a(2，6)，(2，6)(2)(2，6)(，1)(，7).平面向量的坐標運算(1)已知ab(1,3)，ab(5,7)，則a_，b_.(2)已知a(2,4)，b(3，1)，c(3，4)，且3，2，求m，n及的坐標思路探究(1)用加減消元法求a，b的坐標(2)法一：設點m，n的坐標，用向量相等的坐標表示列方程求值法二：用向量線性運算的幾何意義直接計算，的坐標(1)(3,5)(2，2)由ab(1,3)，ab(5,7)，所以2a(1,3)(5,7)(6,10)，所以a(3,5)，2b(1,3)(5,7)(4，4)，所以b(2，2)(2)解法一：(待定系數(shù)法)由a(2,4)，b(3，1)，c(3，4)，可得(2,4)(3，4)(1,8)，(3，1)(3，4)(6,3)，所以33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)設m(x1，y1)，n(x2，y2)，則(x13，y14)(3,24)，x10，y120；(x23，y24)(12,6)，x29，y22，所以m(0,20)，n(9,2)，(9,2)(0,20)(9，18)法二：(幾何意義法)設點o為坐標原點，則由3，2，可得3()，2()，從而32，2，所以3(2,4)2(3，4)(0,20)，2(3，1)(3，4)(9,2)，即點m(0,20)，n(9,2)，故(9,2)(0,20)(9，18)規(guī)律方法平面向量坐標的線性運算的方法：(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行.(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算.(3)向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行.跟蹤訓練2若a，b，c三點的坐標分別為(2，4)，(0,6)，(8,10)，求2，的坐標解(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(18,18)，(8,4)(10,14)(8,4)(5,7)(3，3).向量坐標運算的綜合應用探究問題1已知點o(0,0)，a(1,2)，b(4,5)，及t.當t為何值時，點p在x軸上？點p在y軸上？點p在第二象限？提示：t(1,2)t(3,3)(13t,23t)若點p在x軸上，則23t0，t.若點p在y軸上，則13t0，t.若點p在第二象限，則t.2對于探究1條件不變，四邊形oabp能為平行四邊形嗎？若能，求出t的值；若不能，請說明理由提示：(1,2)，(33t,33t)若四邊形oabp為平行四邊形，則，該方程組無解故四邊形不能為平行四邊形(1)已知向量a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若pmanb，則mn_.(2)已知點a(2,3)，b(5,4)，c(7,10)若aaa(r)，試求為何值時，點p在一、三象限角平分線上；點p在第三象限內. 【導學號：84352221】思路探究(1)(2)(1)7由已知得manbm(2，3)n(1,2)(2mn，3m2n)又p(9,4)且pmanb，所以解得所以mn7.(2)解設點p的坐標為(x，y)，則a(x，y)(2,3)(x2，y3)，aa(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)aaa，則若p在一、三象限角平分線上，則5547，當時，點p在一、三象限角平分線上若p在第三象限內，則1，當1時，點p在第三象限內母題探究：1.若本例(2)條件不變，試求為何值時，點p在第四象限解若p在第四象限，則解得1.2若本例(2)條件“”改為“”，其他條件不變，應如何解答？解設點p的坐標為(x，y)，則(x5，y4)，(3，1)(2,6)(32，16)因為，所以則若p在一、三象限角平分線上，則2236，解得.若p在第三象限內，則解得1.規(guī)律方法1.解答本題可用待定系數(shù)法此法是最基本的數(shù)學方法之一，實質是先將未知量設出來，建立方程(組)求出未知數(shù)的值，是待定系數(shù)法的基本形式，也是方程思想的一種基本應用2坐標形式下向量相等的條件：相等向量的對應坐標相等；對應坐標相等的向量是相等向量由此可建立相等關系求某些參數(shù)的值當 堂 達 標固 雙 基1給出下面幾種說法：相等向量的坐標相同； 平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標；一個坐標對應于唯一的一個向量；平面上一個點與以原點為始點，該點為終點的向量一一對應其中正確說法的個數(shù)是()a1b2c3d4c由向量坐標的定義不難看出一個坐標可對應無數(shù)個相等的向量，故錯誤2已知a(2，3)，(3，2)，則點b和線段ab的中點m坐標分別為() 【導學號：84352222】ab(5，5)，m(0,0)bb(5，5)，mcb(1,1)，m(0,0)db(1,1)，mb(2，3)(3，2)(5，5)，(2，3)(3，2).3已知平行四邊形oabc，其中o為坐標原點，若a(2,1)，b(1,3)，則點c的坐標為_(1,2)設c的坐標為(x，y)，則由已知得，所以(x，y)(1,2)4已知點a