高中數(shù)學(xué) 黃金100題系列 第66題 空間幾何體的外接球與內(nèi)切球 文.doc

第66題 空間幾何體的外接球與內(nèi)切球3i題源探究黃金母題【例1】一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為，求球的體積【解析】設(shè)球的半徑為，由正方體與球的組合結(jié)構(gòu)特征知，正方體的體對角線為球的直徑，所以，即，所以球的體積為 ii考場精彩真題回放【例2】【2017課標3文9】已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（ ）abc d【答案】b【解析】如果，畫出圓柱的軸截面，所以，那么圓柱的體積是，故選b.【例3】【2017課標ii文15】長方體的長、寬、高分別為，其頂點都在球的球面上，則球的表面積為 【答案】【解析】球的直徑是長方體的體對角線，所以【例4】【2017課標1文16】已知三棱錐s-abc的所有頂點都在球o的球面上，sc是球o的直徑若平面sca平面scb，sa=ac，sb=bc，三棱錐s-abc的體積為9，則球o的表面積為_【答案】【解析】取的中點，連接因為所以因為平面平面，所以平面設(shè)所以，所以球的表面積為【例5】【2016全國新課標卷】在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球，若，則的最大值是（）abc）6d【答案】b【解析】要使球的體積最大，必須球的半徑最大由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時，球的半徑取得最大值，此時球的體積為，故選b【例6】【2016全國卷】體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為（）abcd【答案】a【解析】因為正方體的體積為8，所以棱長為2，所以正方體的體對角線長為，所以正方體的外接球的半徑為，所以球面的表面積為，故選a【例7】【2014全國大綱卷】正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積是()ab16c9d【答案】a【解析】由已知條件可知球心在正四棱錐的高上，設(shè)球的半徑為，球心為，正四棱錐底面中心為為,則垂直棱錐底面，,所以，解得，所以球的表面積=，故選a【例8】【2013新課標i卷】如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為( )abcd【答案】 a【解析】設(shè)球的半徑為，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為，則，解得，球的體積為=，故選a精彩解讀【試題來源】人教版a版必修二第28頁練習(xí)第2題【母題評析】本題是球的正方體構(gòu)成的組合體問題，因這種題型能充分考查學(xué)生的邏輯思維能力與空間想象能力，以及綜合分析與解決問題的能力這在高考中常常以單獨考查的方式出現(xiàn)在選擇題與填空題中，在解答題中通常不會出現(xiàn)【思路方法】根據(jù)所涉及到幾何體組合的結(jié)構(gòu)特征，尋求代表它們的幾何量間的關(guān)系，通常建立方程簡單的等式來求解，主要體現(xiàn)為方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用【命題意圖】本類題主要考查空間幾何體結(jié)構(gòu)特征、的表面積與體積的計算，以及考查邏輯思維能力、空間想象能力、運算求解能力、方程思想的應(yīng)用【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，不會滲透于解答時中，難度中等或中等偏上【難點中心】求組合體的表面積與體積，主要兩類難點：（1）不能作出或想象兩個幾何體間的組合方式與結(jié)構(gòu)特征；（2）不能正確建立兩個幾何量間的關(guān)系iii理論基礎(chǔ)解題原理考點一棱體的表面積計算棱體（棱柱、棱錐、棱臺）的表面積主要是通過把它們展成平面圖形，利用求平面圖形的面積法求解n棱柱的展開圖由兩個全等的邊形與個平行四邊形組成；棱錐的展開圖由一個邊形與個共頂點三角形組成；棱臺的展開圖由兩個相似的邊形與個梯形組成這些平面圖形的面積即為相應(yīng)的棱柱、棱錐、棱臺的表面積特別地，棱長為的正方體的表面積，長、寬、高分別為的長方體的表面積考點二圓體的表面積圓體（圓柱、圓錐、圓臺）的表面積公式表現(xiàn)為兩部分，即側(cè)面積與底面積，其側(cè)面積可以利用側(cè)面展開圖得到其中圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，其寬是圓柱母線的長，長為圓柱底面周長；圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其半徑為圓錐母線長，弧長為圓錐底面周長；圓臺的側(cè)面展開圖為扇環(huán)，其兩弧長分別為圓臺的兩底周長，兩“腰”為圓臺的母線長考點三柱體的體積柱體（棱柱、圓柱）的體積由底面積和高確定，即特別地，底面半徑是，高是的圓柱的體積是根據(jù)公式求棱柱的體積，“定高”是至關(guān)重要的考點四錐體的體積錐體（棱錐、圓錐）的體積等于它的底面積是和高的積，即特別地，底面半徑是，高是的圓錐的體積是考點五球的體積與表面積根據(jù)球的表面積公式與體積公式，知球的表面積和體積只須求一個條件，那就是球的半徑r關(guān)于兩個球的體積比與表面積比之間的轉(zhuǎn)換可轉(zhuǎn)化為球的半徑立方比與平方比iv題型攻略深度挖掘【考試方向】這在高考中常常以單獨考查的方式出現(xiàn)在選擇題與填空題中，在解答題中通常不會出現(xiàn)【技能方法】1當(dāng)給出的幾何體比較簡單時，可直接通過尋求兩個幾何體的幾何量間的關(guān)系進行求解；2當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計算公式無法運用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補”的技巧， (1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進而求之(2)幾何體的“補形”：與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等另外補臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法【易錯指導(dǎo)】（1）不能作出或想象兩個幾何體間的組合方式與結(jié)構(gòu)特征而出現(xiàn)思維上的障礙；（2）不能正確建立兩個幾何量間的關(guān)系而致錯v舉一反三觸類旁通考向1球與棱柱的組合體【例1】【2017云南第二次統(tǒng)一檢測】已知體積為的長方體的八個頂點都在球的球面上，在這個長方體經(jīng)過同一個頂點的三個面中，如果有兩個面的面積分別為、,那么球的體積等于（）abcd【答案】a【解析】設(shè)這兩個面的邊長分別為,則不妨設(shè),則,則該長方體的外接球的直徑,故球的體積為，故選a【解法指導(dǎo)】長方體（或正方體）外接球的組合問題，主要抓住的幾何特征是：長方體（或正方體）的體對角線等于球體的直徑【例2】【2018屆四省名校大聯(lián)考】已知正三棱柱（上下底面是等邊三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）的高為2，它的6個頂點都在體積為的球的球面上，則該正三棱柱底面三角形邊長為（ ）a. b. c. 3 d. 【答案】a【跟蹤練習(xí)】1【山東省濟寧市2018屆高三期末】已知正三棱柱 (底面是正三角形，且側(cè)棱垂直于底面)的底面邊長為4，側(cè)棱長為，則該正三棱柱外接球的表面積為( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】由正三棱柱的底面邊長為4,所以底面正三角形的外接圓的半徑為又由正三棱柱的高為，則球心到圓o的球心距d=，根據(jù)球心距，截面圓半徑，球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們易得球半徑r滿足：r2=r2+d2 所以該正三棱柱外接球的表面積為故選b點睛：本題考查的是棱柱的幾何特征及球的體積，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，其中根據(jù)已知求出三棱柱的外接球半徑是解答本題的關(guān)鍵2【2018云南民族大學(xué)附屬中學(xué)二次月考】九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示（單位：cm），則該陽馬的外接球的體積為（ ）a. 100cm3 b. cm3 c. 400cm3 d. cm3【答案】b【例2】【2017重慶市巴蜀中學(xué)上期期中】一個正方體的體積是8，則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是（）ab cd【答案】c【解析】正方體的體積為8，故邊長為2，內(nèi)切球的半徑為1，則表面積，故選c【解法指導(dǎo)】正方體內(nèi)切球的組合問題，主要抓住的幾何特征是：正方體的棱長等于球體的直徑【跟蹤練習(xí)】1.【2017山西孝義市上期期末】邊長為a的正方體的內(nèi)切球的表面積為_【答案】【解析】內(nèi)切球的半徑，故內(nèi)切球的表面積【例3】【2016浙江省紹興縣魯迅中學(xué)上期期中】已知一個全面積為24的正方體，有一個與每條棱都相切的球，此球的體積為_【答案】 【解法指導(dǎo)】正方體的每條棱球相切的組合問題，主要抓住的幾何特征是：長方體的面對角線等于球體的直徑【跟蹤練習(xí)】1.【2017銀川一中期末】棱長為3的正方體內(nèi)有一個球，與正方體的12條棱都相切，則該球的體積為_【答案】【解析】對于球與正方體的各棱相切，則球的直徑為正方體的面對角線長，即，所以2.【2018長沙模擬】一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖2所示，將石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（ ）a.1 b.2 c.3 d.4【答案】b【解析】由圖可得該幾何體為三棱柱,因為正視圖,側(cè)視圖,俯視圖的內(nèi)切圓半徑最小的是正視圖(直角三角形)所對應(yīng)的內(nèi)切圓,所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑,則,故選b.【例4】【2016山西太原二?！咳粽庾〉乃欣忾L均為，且其體積為，則此三棱柱外接球的表面積是（）a b c d【答案】b【技巧點撥】球內(nèi)接正棱柱的組合體問題，主要抓住的幾何特征：正棱柱的上下底面中心連線段的中點與正棱柱的頂點連線為球的半徑【跟蹤練習(xí)】1.【2017華南師大附中月考】已知直三棱柱的個頂點都在球的球面上，若，則球的表面積為為（）abcd【答案】c【解析】由題意，三棱柱為直三棱柱，底面為直角三角形，把直三棱柱補成四棱柱，則四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，所以外接球半徑為，則三棱柱1外接球的表面積是故選c【例5】【2017重慶一中高三下適應(yīng)性】三棱柱的各個頂點都在球的球面上，且，平面若球的表面積為，則這個三棱柱的體積是（）a b cd【答案】c【技巧點撥】球內(nèi)接直三棱柱的組合體問題，如果棱柱底面是直角三角形，常?？刹捎醚a形法，即將直三棱柱補為一個長方體來解決，主要抓住的幾何特征：補形的長方體的體對角線為球的直徑【跟蹤練習(xí)】1.【2018江西贛中南五校第一次聯(lián)考】一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，若該球的體積是，則這個三棱柱的體積是（）abcd【答案】d【解析】由球的體積是，可得，所以正三棱柱的高為4，底面是邊長為的正三角形，所以三棱柱的體積是；故選d【例6】【2013遼寧高考】已知直三棱柱的6個頂點都在球的球面上，若a，則球的半徑為（）ab2cd3【答案】c【例7】【2014陜西高考】已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（）abcd【答案】d【解析】根據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對角線，故，即得，所以該球的體積，故選d【跟蹤練習(xí)】1.【2017天津文11】已知一個正方形的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為 .【答案】 【解析】設(shè)正方體邊長為 ，則 ，外接球直徑為.2【江西省撫州市臨川區(qū)第一中學(xué)2017-2018期末】已知直三棱柱中， ，側(cè)面的面積為，則直三棱柱外接球的半徑的最小值為_【答案】2【解析】設(shè)bc=2x，bb1=2y，則4xy=8，直三棱柱abca1b1c1中，bac=90，直三棱柱abca1b1c1外接球的半徑為，直三棱柱abca1b1c1外接球半徑的最小值為2故答案為：2. 3【遼寧省凌源市實驗中學(xué)、凌源二中2018屆高三月考】我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三 角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱，其中，若，當(dāng)“陽馬”即四棱錐體積最大時，“塹堵”即三棱柱外接球的體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】b考向2球與棱錐的組合體【例1】【廣東省汕頭市達濠華橋中學(xué)2017-2018學(xué)年期末】九章算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑若三棱錐為鱉臑， 平面， ，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】三棱錐將四個面都為直角三角形，所以只能為直角，將三棱錐補成長方體，可得為球的直徑， 球的半徑為球的表面積為，故選c.【跟蹤練習(xí)】2【2018銀川一中月考】一個四面體的頂點都在球面上，它們的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是右圖圖中圓內(nèi)有一個以圓心為中心邊長為的正方形則這個四面體的外接球的表面積是( ) a. b. c. d. 【答案】b【解析】由三視圖可知：該四面體是正方體的一個內(nèi)接正四面體此四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長.此四面體的外接球的表面積為4()23.故選：b.2.【2017云南玉溪市質(zhì)檢】已知三棱錐的外接球為球，球的直徑，且都是等邊三角形，則三棱錐的體積是（）a b c d【答案】a【方法點睛】球內(nèi)接三棱錐的組合體問題，情況較多，須根據(jù)具體題型進行具體分析，如本題條件中已知很明確知道，球的直徑為三棱錐的一條棱【例2】【2017衡水中學(xué)高三摸底聯(lián)考】在四面體中，則該四面體外接球的表面積是（ ）a b c d【答案】d，設(shè)外接圓半徑為，則，所以，故選d.【方法點睛】解答本題的關(guān)鍵：（1）由條件中垂直確定球心在平面上的投影為的斜邊中點；（2）由條件中垂直確定球心在平面上的投影為的外心；（3）由（1）（2）確定出球的球心【跟蹤練習(xí)】1.【2017山西太原市二?！恳阎忮F中，底面為邊長等于的等邊三角形，垂直于底面，那么三棱錐的外接球的表面積為（）a bcd【答案】d【解析】根據(jù)已知中底面是邊長為的等邊三角形，垂直于底面，可得此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球，是邊長為的正三角形，的外接圓半徑，球心到的外接圓圓心的距離，故球的半徑，故三棱錐外接球的表面積故選d2【2018屆黑龍江省大慶實驗中學(xué)模擬】將邊長為2的正方形沿對角線折起，則三棱錐的外接球表面積為（ ）a b c d【答案】c 【例3】【2016江西贛州市上期期末】在正三棱錐內(nèi)，有一半球，其底面與正三棱錐的底面重合，且與正三棱錐的三個側(cè)面都相切，若半球的半徑為2，則正三棱錐的體積最小時，其高等于_【答案】【解析】由題意，設(shè)側(cè)棱長為，底面邊長為，化簡可得，令，故可知，即當(dāng)時，三棱錐體積取到最小值，此時高，【思路點睛】本題半球與三棱錐的組合體中的最值問題，解答時注意到球的半徑為球心（底面三角形中心）到側(cè)面的距離，然后通過建立函數(shù)來解決【跟蹤練習(xí)】1.【2017江西九江市下期三?！咳鐖D所示，半徑為的球內(nèi)切于正三棱錐中，則此正三棱錐體積的最小值為_【答案】【解析】設(shè)正三棱錐的底面積為，側(cè)面積為，高為，斜高為，底面邊長為，內(nèi)切球的半徑為.由等積轉(zhuǎn)換得，即，解得，令得，故當(dāng)時，2.【江西省南康中學(xué)、于都中學(xué)2017-2018學(xué)年高二聯(lián)考】四面體的一條棱長為，其余棱長為3，則當(dāng)此四面體體積最大時，該四面體的外接球表面積為_【答案】 , ,故球的表面積故答案為： 點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(2)若球面上四點p，a，b，c構(gòu)成的三條線段pa，pb，pc兩兩互相垂直，且paa，pbb，pcc，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4r2a2b2c2求解考向3球與圓柱的組合體【例1】【2016湖南常德市石門一中期中】如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比分別為（ ）a，1b，1c，d，【答案】c【點睛】球外切于圓柱的組合體問題，解答時注意到球的直徑為圓柱的高、底面直徑相等【跟蹤練習(xí)】1.【2017容城縣二?！堪霃綖榈那蛑杏幸粋€內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該圓柱的表面積的比值為（）ab1cd2【答案】d【解析】設(shè)圓柱的上底面半徑為，球的半徑與上底面夾角為，則，圓柱的高為，圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，圓柱的側(cè)面積最大，圓柱的側(cè)面積為，球的表面積為，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之比為，故選d考向4球與圓錐的組合體【例1】【2017山西晉城市下期三?！康酌姘霃綖?，母線長為的圓錐的外接球的表面積為（）abcd【答案】d【點睛】球內(nèi)接圓錐的組合問題，解答時抓住圓錐底面圓心與球心連線段、底面半徑、球的半徑間的勾股關(guān)系求解【跟蹤練習(xí)】1.【2018廣東實驗中學(xué)上期期末】一個透明的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個公共底面的圓錐如右圖，且這兩個圓錐的頂點和底面圓周都在這個球面上，如圖，已知圓錐底面面積是這個球面面積的，則較大圓錐與較小圓錐的體積之比為_【答案】3:1【解析】（1）不妨設(shè)球的半徑為4；則球的表面積為，圓錐的底面積為，圓錐的底面半徑為；由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離，球的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個直角三角形由此可以求得球心到圓錐底面的距離是，所以圓錐體積較小者的高為：4-2=2，同理可得圓錐體積較大者的高為：4+2=6；又由這兩個圓錐的底面相同，較大圓錐與較小圓錐的體積之比等于它們高之比，即3：1【例2】【2016上海金山中學(xué)下期期末】已知三棱錐，若兩兩垂直，且，則三棱錐的內(nèi)切球半徑為_【答案】【解析】由題意得，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，球心為，則，即，解得【方法點撥】棱柱內(nèi)切球的組合問題，通常利用球心到各面的距離為半徑，將棱錐化為若干棱錐，利用其體積關(guān)系求解【跟蹤練習(xí)】1.【2018上海金山中學(xué)下期期末】如圖，中，在三角形內(nèi)挖去半圓，圓心在邊ac上，半圓與bc、ab相切于點c、m，與ac交于點n，則圖中陰影部分繞直線ac旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為_【答案】考向5圓柱與棱柱的組合體【例1】【2018廣東梅州聯(lián)考】如圖，圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，且底面是正三角形圓柱側(cè)面積為，其底面直徑與母線長相等，則此三棱柱的體積為（ ）ab12cd【答案】c【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，解得正三棱柱的底面邊長為棱柱的高為棱柱的體積，故選c【點睛】圓柱與棱柱的組合主要有兩種方式：（1）圓柱內(nèi)有一直棱柱，圓柱柱與棱柱底面重疊，解答時利用棱柱底面多邊形與圓柱底面半徑間關(guān)系求解；（2）棱柱內(nèi)一圓柱，它們底面重疊，圓柱側(cè)面與棱柱側(cè)面相切，解答時主要是利用棱柱底面多邊形與內(nèi)切圓的有關(guān)系求解【跟蹤練習(xí)】1.【2017鹽湖區(qū)三?！繄A柱內(nèi)有一個四棱柱，四棱柱的底面是圓柱底面的內(nèi)接正方形，已知圓柱的表面積為，且底面圓直徑與母線