2012年數(shù)學(xué)教師招聘試題

2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整 理，歡迎下載： /yanchang1985 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整理，歡迎下載： /yanchang1985 一、選擇題： (本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分 .在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 ) 1 設(shè)復(fù)數(shù)121 2 , 1 ,z i z i 則復(fù)數(shù)12zz z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（ C ） A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D第四象限 2 下列選項(xiàng)中，說(shuō)法正確的是 ( D ) A命題 “若 22am bm ，則 ab ”的逆命題是真命題； B設(shè) ,ab是向量，命題 “若 ab ，則 ab ” 的否命題是真命題； C命題 “pq ”為真命題，則命題 p 和 q 均為真命題； D命題 0, 2 xxx R ”的否定是 “ 2,0x R x x ”. 3.已知向量 a, b，其中 | a | 2 ， | b | 2 ，且 ( a b ) a，則向量 a 和 b 的夾角是 （ A ） A4 B2 C43 D 4.已知 1 0 2 1 00 1 2 1 01 1 1 1x a a x a x a x ，則8a ( B ) A. 180 B. 180 C. 45 D. 45 5. 已知方程 ()fx 2 2x ax b 的兩個(gè)根分別在區(qū)間（ 0， 1）和（ 1， 2）內(nèi)，則 22( 4)ab的取值范圍為 (D ) A. ( 17 , 20 ) B. 95( , 20)5 C. (17,20) D. ( ,20)815 6. 已知33)6cos( x，則 )3cos (cos xx （ C ） A33 B33 C 1 D 1 7 若 橢圓 22 1 ( 0 , 0 )xy mnmn 與曲線 22|x y m n 無(wú)交點(diǎn) ，則橢圓的離心率 e 的取值范圍是 ( D ) A 3( ,1)2 B 3(0, )2 C 2( ,1)2 D 2(0 )2， 8 若對(duì)于定義在 R 上的 函數(shù) f(x)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù) ( R)使得 f(x+)+ f(x)=對(duì)任意實(shí)數(shù) x 都成立，則稱 f(x)是一個(gè)“ 伴隨函數(shù) ” .有下列關(guān)于“ 伴隨函數(shù) ”的結(jié)論： f(x)=是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“ 伴隨函數(shù) ”； f(x)= x 不是“ 伴隨函數(shù) ”； f(x)= x2 是“ 伴隨函數(shù) ”； “ 12 伴隨函數(shù) ”至少有一個(gè)零點(diǎn) 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ( B )個(gè) A 1 B 2 C 3 D 4 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整 理，歡迎下載： /yanchang1985 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整理，歡迎下載： /yanchang1985 二、填空題： (本 大題共 7 小題，考生共需作答 5 小題，每小題 5 分，共 35 分 .請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上 .答錯(cuò)位置，書寫不清，摸棱兩可均不得分 .) 9 曲線 3c o s ( 0 )2y x x 與坐標(biāo)軸所圍成的面積 是 _3_. 10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積為 _ 32_. 11 執(zhí)行如圖所示的 程序框圖， 若輸入 x=10，則輸出 y 的值為 _ 54 _ .12 定義 maxa,b= ,a a bb a b，設(shè)實(shí)數(shù) x,y 滿足約束條件 | | 2| | 2xy， z=max4x+y,3x-y，則z 的取值范圍是 10,7 13 直線 l 的 極坐標(biāo)方程為 324C : c o s ( )，圓 C： cossinxy（ 為參數(shù)）上的點(diǎn)到直線 l 的 距離 值為 d，則 d 的最大值為 . 3 2 1 14.如圖，已知： ABC 內(nèi)接于 圓 O，點(diǎn) D 在 OC 的延長(zhǎng)線上， AD 是 圓 O 的切線， 若 30B ， 1AC ，則 AD 的長(zhǎng)為 3 215. 4xx k xx =+若 關(guān) 于 的 方 程 有 四 個(gè) 不 同 的 實(shí) 數(shù) 解 ， 則 k 的 取 值 范 圍 是 22 22 1 1 22 1 22 1 正視圖 側(cè)視 圖 俯視圖 A C D B O 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整 理，歡迎下載： /yanchang1985 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整理，歡迎下載： /yanchang1985 )1 +4 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分 .解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟 . 17 （本小 題滿分 12 分） 在 ABC 中， 三內(nèi) 角 CBA , 的對(duì)邊分別為 ., cba 且滿足（ 2b-c）cosA= acosC （ ）求 角 A 的大小 ；（ ） 若 | | 1A C A B，求 ABC 周長(zhǎng) l 的取值 范圍 解： （ ）在 ABC 中， ( 2 ) c o s c o sb c A a C， 由正弦定理有 ： ( 2 s i n s i n ) c o s s i n c o sB C A A C， 2 分 2 s i n c o s s i n ( )B A A C，即 2 s i n c o s s i nB A B ， sin 0B ， 1cos2A，又 (0, )A ， 3A 6 分 （） 由已知 | | 1A C A B， | | 1BC ，即 1a ， 由正弦定理得： BABab sin32sinsin ， Cc sin32， 8 分 221 ( s i n s i n ) 1 ( s i n s i n ( ) )33l a b c B C B A B 311 2 ( s i n c o s )22BB 1 2 s in ( )6B 10 分 3A， )32,0( B， )65,6(6 B， 1,21()6sin( B， 故 ABC 的 周長(zhǎng) l 的取值范圍是 3,2( 12 分 解法二：周長(zhǎng) 1l a b c b c ，由（ ）及余弦定理得 ： 221 2 c o sb c b c A ， 122 bccb ， 8 分 22 )2(3131)( cbbccb ， 2cb ， 11 分 又 1b c a ， 3,2( cbal ， 即 ABC 的周長(zhǎng) l 的取值范圍是 (2,3 12 分 18 （本小題滿分 12 分） 紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員 A、 B、 C 進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì) A，乙對(duì) B，丙對(duì) C 各一盤，已知甲勝 A，乙勝 B，丙勝 C 的概率分別為 0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。 （）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率； （）用 表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E . 解：（ I）設(shè)甲勝 A 的事件為 D， 乙勝 B 的事件為 E，丙勝 C 的事件為 F， 則 ,D E F 分別表示甲不勝 A、乙不勝 B，丙不勝 C 的事件。 因?yàn)?( ) 0 . 6 , ( ) 0 . 5 , ( ) 0 . 5 ,P D P E P F 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整 理，歡迎下載： /yanchang1985 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整理，歡迎下載： /yanchang1985 由對(duì)立事件的概率公式知 ( ) 0 . 4 , ( ) 0 . 5 , ( ) 0 . 5 ,P D P E P F 紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有： , , , .D E F D E F D E F D E F 由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立， 因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為 ( ) ( ) ( ) ( )0 . 6 0 . 5 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 5 0 . 4 0 . 5 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 50 . 5 5 .P P D E F P D E F P D E F P D E F （ II）由題意知 可能的取值為 0， 1， 2， 3。 又由（ I）知 ,D E F D E F D E F是兩兩互斥事件， 且各盤比賽的結(jié) 果相互獨(dú)立， 因此 ( 0 ) ( ) 0 . 4 0 . 5 0 . 5 0 . 1 ,P P D E F ( 1 ) ( ) ( ) ( )P P D E F P D E F P D E F 0 . 4 0 . 5 0 . 5 0 . 4 0 . 5 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 50 . 3 5 ( 3 ) ( ) 0 . 6 0 . 5 0 . 5 0 . 1 5 .P P D E F 由對(duì)立事件的概率公式得 ( 2 ) 1 ( 0 ) ( 1 ) ( 3 ) 0 . 4 ,P P P P 所以 的分布列為： 0 1 2 3 P 0 1 0 35 0 4 0 15 因此 0 0 . 1 1 0 . 3 5 2 0 . 4 3 0 . 1 5 1 . 6 .E 19 （本小題滿分 12 分） 如圖，在四棱錐 P ABCD 中， 側(cè)面 PCD 底 面 ABCD ， PDCD,E 為 PC 中點(diǎn) ，底面 ABCD 是 直角梯 形 ， AB CD， ADC=90 , AB=AD=PD=1， CD=2 （ ） 求 證 ： BE 平面 PAD；（ ） 求 證 ： BC 平面 PBD ( )設(shè) Q 為側(cè)棱 PC 上一點(diǎn)，PQ PC ，試確定 的值，使得二面角 QBDP 的大小為 45 證 ：（） 取 PD 的中點(diǎn) F ，連結(jié) EF AF， ，因?yàn)?E 為 PC 中點(diǎn)，所以 EF CD ，且 1 12EF CD， 在梯形 ABCD 中， AB CD ， 1AB ， 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整 理，歡迎下載： /yanchang1985 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整理，歡迎下載： /yanchang1985 所以 EF AB ， EF AB ，四邊形 ABEF 為平行四邊形，所以 BE AF ， 又因?yàn)?BE 平面 PAD ， AF 平面 PAD ， 所以 BE 平面 PAD 4 分 （） 平面 PCD 底面 ABCD ， PD CD ，所以 PD 平面 ABCD ，所以 PD AD 如圖，以 D 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz 則 (1, 0, 0)A ，(1, 1, 0)B ， (0, 2, 0)C ，(0, 0, 1)P ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 )D B B C 所以 0,B C D B B C D B 又由 PD 平面 ABCD ，可得PD BC ，所以 BC 平面 PBD 8 分 （） 平面 PBD 的法向量為 ( 1 , 1 , 0 )BC ， ( 0 , 2 , 1 ) , , ( 0 , 1 )P C P Q P C ，所以(0 , 2 , 1 )Q ， 設(shè)平面 QBD 的法向量為 ( , 1, )n x z ，由 0n DB， 0n DQ，得 102 (1 ) 0xz ， 所以 21 , 1 ,1n ，所以222c o s 4 52| | | | 22 2 ( )1n B Cn B C ， 注意到 (0, 1) ，得 21 12 分 20（本小題滿分 13分） 已知數(shù)列 na是首項(xiàng)1 12a，公比為 12的等比數(shù)列，nS為 數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和，又25 l o g (1 )nnb S t ，常數(shù) *Nt ， 數(shù)列 nc滿足n n nc a b （ ） 若 nc是遞減數(shù)列，求 t 的 最小值； （ ）是否存在 正整數(shù) k，使12,k k kc c c這三項(xiàng)按某種順序排列后成等比數(shù)列？若 存在，試求出 k， t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：（ ）由題意知， nna 21 ，11 1 ( ) 122 1 ( )1 212nnnS ， tntStb nnn 5)21(log5)1(log5 22， nn tnc )21)(5( ， nc 是遞減數(shù)列， 0)21)(52 55(1 nnn tntncc恒成立，即 55 nt 恒成立， 55)( nnf 是遞減函數(shù)， 當(dāng) 1n 時(shí) ()fn 取最大值 0 ， 0t ，又 *Nt ， 1min t 6 分 A BCDPEF Qxyz2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整 理，歡迎下載： /yanchang1985 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整理，歡迎下載： /yanchang1985 （ ） 記 5k t x ，則kkk xtkc )21()21)(5( ，且 *xN ， 111 11( 5 5 ) ( ) ( 5 ) ( )22kkkc k t x ，222 )21)(10()21)(105( kkk xtkc， 若kc是等比中項(xiàng)，則由 212k k kc c c得： kkk xxx 2221 )21()21)(10()21)(5( ，化簡(jiǎn)得： 050157 2 xx ，顯然不成立 . 若1kc是等比中項(xiàng)，則由 221k k kc c c得： 2222 )21()5()21)(10()21( kkk xxx ，化簡(jiǎn)得： 2( 1 0 ) 5x x x ，顯然不成立 若2kc是等比中項(xiàng)，則由 212k k kc c c得： 4221 )21()10()21()21)(5( kkk xxx ，化簡(jiǎn)得： 0100207 2 xx ， 因?yàn)?10 03210 07420 2 不是完全平方數(shù)，因而 x 的值是無(wú)理數(shù)，與 *xN 矛盾 綜上：不存在 tk和 適合題意 . 13 分 21 （本小題滿分 13 分） 已知橢圓 22 10xy abab 的兩焦點(diǎn)與短軸的一 個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線 0 byx 是拋物線 xy 42 的一條切線 （ ）求橢圓的方程； （ ）過點(diǎn) )31,0( S的動(dòng)直線 L 交橢圓 C 于 A B 兩點(diǎn)問：是否存在一個(gè)定點(diǎn) T，使得以 AB 為直徑的圓恒過點(diǎn) T ? 若存在，求點(diǎn) T 坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。 解：（ ）由 0)42(:4 0 222 bxbxyxy byx 得消去 因直線 xybxy 42 與拋物線 相切， 04)42( 22 bb ， 1b ， 2 分 圓 )0(1:2222 babyaxC的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角 形， 22 ba 故所求橢圓方程為 .12 22 yx （ ）當(dāng) L 與 x 軸平行時(shí)，以 AB 為直徑的圓的方程： 222 )34()31( yx 當(dāng) L 與 x 軸垂直 時(shí)，以 AB 為直徑的圓的方程： 122 yx 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整 理，歡迎下載： /yanchang1985 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整理，歡迎下載： /yanchang1985 由101)34()31(22222yxyxyx 解得 即兩圓公共點(diǎn)（ 0， 1） 因此，所求的點(diǎn) T 如果存在，只能是（ 0， 1） （ ）當(dāng)直線 L 斜率不存在時(shí)，以 AB 為直徑的圓過點(diǎn) T（ 0， 1） （ ）若直線 L 斜率存在時(shí)，可設(shè)直線 L：31 kxy 由 01612)918(:12312222 kxxkyyxkxy得消去 記點(diǎn) ),( 11 yxA 9181691812),(22122122kxxkkxxyxB 則 )34)(34()1)(1()1,(),1,(212121212211kxkxxxyyxxTBTAyxTByxTA所以又因?yàn)?916)(34)1( 21212 xxkxxk 0916918 1234918 16)1( 222 k kkkk TATB, 綜合（ ）（ ），以 AB 為直徑的圓恒過點(diǎn) T（ 0， 1） 22 （本小題滿分 13 分） 設(shè)函數(shù) 3 2 2( ) 2 1 ( 2 )f x x m x m x m m 的圖象在 x=2處的切線與直線 x 5y 12=0 垂直 （ ） 求 函數(shù) ()fx的 極值與 零點(diǎn) ；（ ） 設(shè) 1( ) lnxg x xkx，若對(duì)任意1 0,1x ，存在2 (0,1x ， 使12( ) ( )f x g x成立， 求 實(shí)數(shù) k 的取值范圍 ； ( )若 0a ， 0b ， 0c ，且 1abc ， 證明：2 2 291 1 1 1 0abc 解：（ ）因?yàn)?22( ) 3 4f x x m x m ，所以 2( 2 ) 1 2 8 5f m m ， 解得： 1m 或 7m ，又 2m ，所以 1m ， 2 分 由 2( ) 3 4 1 0f x x x ，解得1 1x，2 13x ，列表如下： x 1( , )3 13 1( ,1)3 1 (1, ) 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整 理，歡迎下載： /yanchang1985 2014 年萬(wàn)份教師招聘試題資料合集免費(fèi)下載： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科傾心整理，歡迎下載： /yanchang1985 ()fx 0 0 ()fx 極小值 5027 極大值 2 所以 1 5 0( ) ( )3 2 7f x f極 小 值， ( ) (1 ) 2f x f極 大 值， 4 分 因?yàn)?3 2 2( ) 2 2 ( 2 ) ( 1 )f x x x x x x ， 所以函數(shù) ()fx的零點(diǎn)是 2x 5 分 （ ）由（ ）知，當(dāng) 0,1x 時(shí)，m in 50() 27fx ， “ 對(duì)任意1 0,1x ，存在2 (0,1x ，使12( ) ( )f x g x” 等價(jià)于 “ ()fx在 0,1 上的最小值大于 ()gx 在 (0,1 上的最小值，即當(dāng) (0,1x 時(shí)，min 50() 27gx ” ， 6 分 因?yàn)?2111() x kgx k x x x ， 當(dāng) 0k 時(shí)，因?yàn)?(0,1x ，所以 1 5 0( ) l n 027xg x xkx ，符合題意； 當(dāng) 01k時(shí) ， 1 1k，所以 (0,1x 時(shí)， ( ) 0gx ， ()gx 單調(diào)遞減， 所以m i n 50( ) (1 ) 0 27g x g ，符合題意； 當(dāng) 1k 時(shí) ， 101k，所以 1(0, )xk時(shí)， ( ) 0