（通用版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（三十九）利用空間向量求空間角 理.doc

課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（三十九） 利用空間向量求空間角一般難度題全員必做1已知直三棱柱abca1b1c1，acb90，cacbcc1，d為b1c1的中點(diǎn)，求異面直線bd和a1c所成角的余弦值解：如圖所示，以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，ca，cb，cc1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)cacbcc12，則a1(2,0,2)，c(0,0,0)，b(0,2,0)，d(0,1,2)，(0，1,2)， (2,0，2)，cos，.異面直線bd與a1c所成角的余弦值為.2.(2018河南洛陽(yáng)模擬)已知三棱錐a bcd，ad平面bcd，bdcd，adbd2，cd2，e，f分別是ac，bc的中點(diǎn)，p為線段bc上一點(diǎn)，且cp2pb.(1)求證：apde；(2)求直線ac與平面def所成角的正弦值解：(1)證明：作pgbd交cd于點(diǎn)g.連接ag.2，gdcd.ad平面bcd，addc，在adg中，tangad，dag30，在rtadc中，ac2ad2cd241216，ac4，又e為ac的中點(diǎn)，deae2，又ad2，ade60，agde.ad平面bcd，adbd，又bdcd，adcdd，bd平面adc，pg平面adc，pgde.又agpgg，de平面agp，又ap平面agp，apde.(2)以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線db、dc、da所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系d xyz，則d(0,0,0)，a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0,2，0)，e(0，1)，f(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,2，2)設(shè)平面def的法向量為n(x，y，z)，則即令x3，則n(3，3)設(shè)直線ac與平面def所成角為，則sin |cos，n|，所以ac與平面def所成角的正弦值為.3.如圖，四邊形abcd為正方形，pd平面abcd，dpc30，afpc于點(diǎn)f，fecd，交pd于點(diǎn)e.(1)證明：cf平面adf；(2)求二面角d afe的余弦值解：(1)證明：pd平面abcd，ad平面abcd，pdad.又cdad，pdcdd，ad平面pcd.又pc平面pcd，adpc.又afpc，adafa，pc平面adf，即cf平面adf.(2)設(shè)ab1，則在rtpdc中，cd1，又dpc30，pc2，pd，pcd60.由(1)知cfdf，dfcdsin 60，cfcdcos 60.又fecd，de.同理efcd.如圖所示，以d為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0,1)，e，f，p(，0,0)，c(0,1,0)設(shè)m(x，y，z)是平面aef的一個(gè)法向量，則又，令x4，得m(4,0，)由(1)知平面adf的一個(gè)法向量為(，1,0)，設(shè)二面角d afe的平面角為，可知為銳角，故cos |cosm，|.故二面角d af e的余弦值為.中檔難度題學(xué)優(yōu)生做1.(2018鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))如圖，三棱柱abc a1b1c1中，各棱長(zhǎng)均相等d，e，f分別為棱ab，bc，a1c1的中點(diǎn)(1)證明：ef平面a1cd；(2)若三棱柱abc a1b1c1為直棱柱，求直線bc與平面a1cd所成角的正弦值解：(1)證明：在三棱柱abc a1b1c1中，aca1c1，且aca1c1，連接ed(圖略)，在abc中，因?yàn)閐，e分別為棱ab，bc的中點(diǎn)，所以deac，deac.又f為a1c1的中點(diǎn)，可得a1fa1c1，所以a1fde，a1fde，因此四邊形a1fed為平行四邊形，所以efa1d，又ef平面a1cd，a1d平面a1cd，所以ef平面a1cd.(2)法一：因?yàn)榈酌鎍bc是正三角形，d為ab的中點(diǎn)，所以cdab，又aa1cd，aa1aba，所以cd平面a1abb1.如圖在平面a1abb1內(nèi)，過(guò)點(diǎn)b作bga1d，交直線a1d于點(diǎn)g，連接cg，則bg平面a1cd，所以bcg為直線bc與平面a1cd所成的角設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為a，可得a1d，由a1adbgd，可得bg，在rtbcg中，sinbcg.所以直線bc與平面a1cd所成角的正弦值為.法二：設(shè)a1b1的中點(diǎn)為o，連接oc1，od，因?yàn)槿庵鵤bc a1b1c1為直棱柱，所以od平面a1b1c1，所以odoc1，odoa1.又a1b1c1為等邊三角形，所以oc1a1b1.以o為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， 的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o xyz.設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為a，則o(0,0,0)，b，c，a1，d(0，a,0)所以，.設(shè)平面a1cd的法向量為n(x，y，z)，由得令x2，得n(2,1,0)設(shè)直線bc與平面a1cd所成的角為，則sin .所以直線bc與平面a1cd所成角的正弦值為.2如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為4，abaebfef，abef，把四邊形abcd沿ab折起，使得ad平面aefb，g是ef的中點(diǎn)，如圖.(1)求證：ag平面bce；(2)求二面角caef的余弦值解：(1)證明：連接bg，因?yàn)閎cad，ad底面aefb，所以bc底面aefb，又ag底面aefb，所以bcag，因?yàn)閍b綊eg，abae，所以四邊形abge為菱形，所以agbe，又bcbeb，be平面bce，bc平面bce，所以ag平面bce.(2)由(1)知四邊形abge為菱形，agbe，aeegbgab4，設(shè)agbeo，所以oeob2，oaog2，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則o(0,0,0)，a(2,0,0)，e(0，2，0)，f(4,2，0)，c(0,2，4)，d(2,0,4)，所以(2,2，4)，(2，2，0)，設(shè)平面ace的法向量為n(x，y，z)，則所以令y1，則x，z，即平面ace的一個(gè)法向量為n(，1，)，易知平面aef的一個(gè)法向量為(0,0,4)，設(shè)二面角caef的大小為，由圖易知，所以cos .較高難度題學(xué)霸做1.(2018安徽省百所重點(diǎn)高中模擬)如圖所示的幾何體由平面pecf截棱長(zhǎng)為2的正方體得到，其中p，c為原正方體的頂點(diǎn)，e，f為原正方體側(cè)棱長(zhǎng)的中點(diǎn)，正方形abcd為原正方體的底面，g為棱bc上的動(dòng)點(diǎn)(1)求證：平面apc平面pecf；(2)設(shè) (01)，當(dāng)為何值時(shí)，平面efg與平面abcd所成的角為？解：(1)證明：由已知可知，ebfd，且ebfd，如圖，連接bd，則四邊形efdb是平行四邊形，efbd.底面abcd為正方形，bdac.ap底面abcd，bdap.又acapa，bd平面apc，ef平面apc.ef平面pecf，平面apc平面pecf.(2)以d為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d xyz，則b(2,2,0)，f(0,0,1)，e(2,2,1)，g(2,22，0)，(2,2,0)， (0,2，1)，設(shè)m(x，y，z)是平面efg的法向量，故即令y1，可得m(1，1,2)為平面efg的一個(gè)法向量，而平面abcd的一個(gè)法向量為n(0,0,1)于是cos|cosm，n|，解得，又01，.2(2018山西太原模擬)如圖甲，在平面六邊形abfcde中，四邊形abcd是矩形，且ab4，bc2，aede，bfcf，點(diǎn)m，n分別是ad，bc的中點(diǎn)，分別沿直線ad，bc將ade，bcf翻折成如圖乙的空間幾何體abcdef.(1)利用下面的結(jié)論或結(jié)論，證明：e，f，m，n四點(diǎn)共面；結(jié)論：過(guò)空間一點(diǎn)作已知直線的垂面，有且只有一個(gè)結(jié)論：過(guò)平面內(nèi)一條直線作該平面的垂面，有且只有一個(gè)(2)若二面角e adb和二面角f bc a都是60，求二面角a bef的余弦值解：(1)證明：如圖，連接mn，me，nf，四邊形abcd是矩形，點(diǎn)m，n分別是ad，bc的中點(diǎn)，ambn，ambn，dab90，四邊形abnm是矩形，admn.aede，點(diǎn)m是ad的中點(diǎn)，adme，又mnmem，ad平面emn，平面emn平面abcd，同理可得平面fmn平面abcd，由結(jié)論可得平面emn與平面fmn是同一個(gè)平面，e，f，m，n四點(diǎn)共面(2)由(1)知平面emnf平面abcd，過(guò)點(diǎn)e作eomn，垂足為o，eo平面abcd.以過(guò)點(diǎn)o作垂直于mn的直線為x軸，on，oe所在直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o xyz.ad2，aede，點(diǎn)m是ad的中點(diǎn)，aed