南昌大學(xué)第九屆高數(shù)競(jìng)賽(數(shù)學(xué)專業(yè)類11級(jí))試題及答案.doc

南昌大學(xué)第九屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽（數(shù)學(xué)專業(yè)類2011級(jí)）試題 序號(hào)： 姓名： 學(xué)號(hào): 學(xué)院： 班級(jí)： 第 考場(chǎng) 考試日期： 2012年10月14日題號(hào)一二三四五六七八九總分累分人 簽名題分121010121212121010 100得分注: 本卷共5頁(yè),考試時(shí)間為8:3011:30.一、 計(jì)算題(每題6分，共 12分) 得分評(píng)閱人 1、求極限2、求不定積分二、若，證明得分評(píng)閱人 三、設(shè)在閉區(qū)間上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，記，假設(shè)，且對(duì)，有，證明：是有限集。得分評(píng)閱人 四、證明在(0 ，1)不一致連續(xù)，但在，1)一致連續(xù)(其中得分評(píng)閱人 五、設(shè)在0,1上二階可導(dǎo)且滿足(),又設(shè)在（0,1）取得極值，證明六、證明. 在,不可積。得分評(píng)閱人 七、設(shè)在處可導(dǎo)，且，.證明 存在，使得時(shí)，有.得分評(píng)閱人 八、設(shè)在0,1連續(xù)，在(0，1)二次可微，且滿足及，證明：（0,1）使得得分評(píng)閱人 九、證明=0得分評(píng)閱人 南昌大學(xué)第九屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽（數(shù)學(xué)專業(yè)類2011級(jí)）試題答案 序號(hào)： 姓名： _ 學(xué)院: 專業(yè)： 學(xué)號(hào)： 考試日期： 2012年10月題號(hào)一二三四五六七八九總分累分人簽名題分121010121212121010 100得分考生注意事項(xiàng)：1、本試卷共 5 頁(yè)，請(qǐng)查看試卷中是否有缺頁(yè)或破損。如有立即舉手報(bào)告以便更換。 2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場(chǎng)。二、 計(jì)算題(每題6分，共 12分) 得分評(píng)閱人 1、2、=-所以=二、若，證明得分評(píng)閱人 由，得，即 所以 三、設(shè)的導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)，記，假設(shè)，且對(duì)，有，證明：是有限集。得分評(píng)閱人 反證：設(shè)是無(wú)限集 ， （時(shí) ）則有收斂子列，不妨仍然記為 設(shè)由連續(xù)性知 即 從而 又據(jù)羅爾定理 存在，使得且由導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性有 矛盾！四、證明在(0 ，1)不一致連續(xù)，但在，1)一致連續(xù)(其中得分評(píng)閱人 （1）對(duì)，(0，1) 但（2），：有五、設(shè)在0,1上二階可導(dǎo)且滿足(),又設(shè)在（0,1）取得極值，證明設(shè)在（0,1）取得極值 ，據(jù)泰勒定理 存在，（0,1）使得1六、證明. 在,不可積（其中是有理數(shù)）。得分評(píng)閱人 對(duì) ，,上的任意劃分： 都有=所以. 在,不可積。 七、設(shè)在處可導(dǎo)，且，.證明 存在，使得時(shí)，有.得分評(píng)閱人 由極限的保序性，存在，使得時(shí)，有即.八、設(shè)在0,1連續(xù)，在(0，1)二次可微，且滿足及 證明：（0,1）使得得分評(píng)閱人 令 則 由羅爾定理 ，1使得 分別在（0，）和（，1）區(qū)間用羅爾定理，存