第3章_矩陣力學基礎——力學量和算符.doc

第三章矩陣力學基礎(I)力學量和算符上一章，中我們系統(tǒng)地介紹了波動力學。它的著眼點是波函數(shù)。薛定諤從粒子的波動性出發(fā)，用波函數(shù)貓述粒子的運動狀態(tài)。通過在波函數(shù)的運動方程中引入的方法進行量子化，在一定的邊界條件下，求解定態(tài)薛定諤方程，證明對于束縛態(tài)，會出現(xiàn)量子化的、分立的本征譜。在本章和下一章中，我們將介紹另一種量子化的方案。它是海森伯（Heisenberg）、玻恩、約丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和實現(xiàn)的。著眼點是力學量和力學量的測量。他們將力學量看成算符。通過將經典力學運動方程中的坐標和動量都當作算符的方法，引入和的對易關系.將經典的泊松括號改為量子的泊松括號，實現(xiàn)量子化。這種量子化，通常稱為正則量子化。在選定了一定的“坐標系”或稱表象后，算符用矩陣表示。算符的運算歸結為矩陣的運算。本章將首先討論力學量的算符表示和算符的矩陣表示，證實量子力學中的力學量必須用線性厄米算符表示。在選取特定的表象即“坐標系”后，這些算符對應線性厄米矩陣。然后進一步討論力學量的測量，它的可能值、平均值以及具有確定值的條件。我們將證實算符的運動方程中含有對易子，出現(xiàn)。在矩陣力學中，算符的運動方程起著和波動力學中波函數(shù)的運動方程薛定諤方程同樣的作用。3. 1力學量的平均值在量子力學中，微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描述。一旦給出了波函數(shù)，就確定了微觀粒子的運動狀態(tài).于是自然要問，所謂“確定”是什么意思，在什么意義下講“確定”?在本章中我們將看到:所謂“確定”，是在能給出幾率和求得平均值意義下說的。一般說來，當微觀粒子處在某一運動狀態(tài)時，它的力學量，如坐標、動量、角動量、能量等，不同時具有確定的數(shù)值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出現(xiàn)。當給定描述這一運動狀態(tài)的波函數(shù)后，力學量出現(xiàn)各種可能值的相應的概率就完全確定。利用統(tǒng)計平均的方法，可以算出該力學量的平均值，進而與實驗的觀測值相比較。例如處于基態(tài)的氫原子。其電子的坐標和動量不同時具有確定的數(shù)值。但電子坐標具有某一確定值的概率，或電子動量具有某一確定值的概率，卻完全可由氫原子的基態(tài)波函數(shù)給出。相應地，坐標的平均值和動量的平均值也完全確定。既然一切力學量的平均值原則上均可由給出，而且這些平均值就是在所描述的狀態(tài)下相應的力學量的觀測結果，在這種意義下一般認為，波函數(shù)描寫了粒子的運動狀態(tài)。在2.3討論薛定愕方程時曾指出，力學量動量用算符來表示的對應關系是:，動能是，定態(tài)薛定愕方程就是能量算符的本征方程。現(xiàn)在問:這種力學量用算符來表示的對應關系，是否僅是一種類比，其中是否還存在著更深刻的物理內涵?另外，是否任何力學量，均可用算符表示?而且除能量算符外，其他算符是否也有相應的本征方程?如果一切力學量均可用算符表示的命題成立，其逆命題，即一切算符均對應力學量是否也成立?比方說，開方就是個算符，它是否也對應力學量?量子力學中能對應力學量的算符是否有某種限制?本章將回答這些問題。為此，先討論力學量的平均值。對以波函數(shù)描述的狀態(tài)，按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，表示在t時刻在中找到粒子的概率,因此坐標的平均值顯然是 (3. 1.I)坐標的函數(shù)的平均值是 （3.1.2）這里已經假定，波函數(shù)滿足歸一化條件(2. 1 .6)式?，F(xiàn)在討論動量算符的平均值。顯然,的平均值不能簡單地寫成因為只表示在中的概率而不代表在中找到粒子的概率。要計算，應該先找出在t時刻，在中找到粒子的概率按2.2的討論，這相當于對作傅里葉變換，而由公式 （3.1.3）給出，動量的平均值可表示為 （3.1.4）這里已經用了若歸一，則也歸一的結論。但是上面這種作法，卻不但間接，而且麻煩。應該找出一種直接從計算動量平均值的方法。為此，我們先計算動量在方向的分量的平均值。由(3.1.4)式得 (3.1.5) 利用公式 (3.1.6)可將(3.1.5)式改寫為 (3.1.7) 同理有 (3.1.8) (3.1.9)由此得出結論:要在狀態(tài)中求動量px 、py 、pz的平均值，只需以相應的微分算符、，作用在上，然后乘以,再對全空間積分就可求得。將(3. 1. 7)、(3.1.8)及(3.1.9)式寫成矢量式，得 （3.1.10）記動量算符為 (3 .1.11)可將(3.1.10)式寫成 (3 .1.12)同理，不難證實，當n為正整數(shù)時解的平均值可寫成 (3.1.13)同理還可給出對、的平均值。對于任何動量的解析函數(shù)，總可將按作泰勒展開并逐項積分，然后利用平均值公式(3.1.12)和(3.1.13)式求得它的平均值，從而有 (3. 1.14)比方，動能的平均值是 (3.1.15)角動量的平均值是 (3.1.16)(3. 1. 10)式表明:動量的平均值依賴于波函數(shù)的梯度。這正是波粒二象性的反映。按德布羅意關系(1.4.3)式，波長越短，動量越大。顯然，若越大，則越短;因而動量的平均值越大。綜合上述我們得出，在求平均值的意義下，力學量可以用算符來代替。在用坐標表象中的波函數(shù)計算動量平均值時，需要引進動量算符。除動量算符外，能量算符和角動量算符分別為 (3.1.17) (3.1.18)體系的任何一個力學量的平均值總可以表示為 (3.1.19)是與力學量相應的算符。在本章中，算符在它的頂上用“”表示。在對算符比較熟悉以后，為避免書寫麻煩，我們將略去記號“”。在2.2中曾指出，同一量子態(tài)既可用坐標表象中的波函數(shù)表示，也可用動量表象中的波函數(shù)表示。與在坐標表象中，動量用算符來表示相似，在動量表象中，坐標也必須用算符來表示?？梢宰C明，在動量表象中的坐標算符是 (3.1.20)平均值是 (3.1.21) (3.1.22)相應地，在動量表象中的定態(tài)薛定愕方程是 (3.1.23)請讀者自己證明動量表象中的這些結論。3.2算符的運算規(guī)則若某一運算將函數(shù)二變?yōu)楹瘮?shù),記作 （3.2.1）則表示這一運算的符號稱為算符。若算符滿足 （3.2.2）其中、 是任意函數(shù)，C1、C2是常數(shù)，則稱為線性算符。動量算符、積分算符等均為線性算符。若算符滿足 （3.2.3）為任意函數(shù)，則稱為單位算符。在數(shù)學上，若存在映照，將集合中的元素,映照到集合之中的元素，記作：或。若集合和均為數(shù)集，則稱為函數(shù);若是一般的集合而是數(shù)集，則稱為泛函；若和均為一般集合，則稱為算子或算符。1.算符的運算規(guī)則算符的一般運算規(guī)則如下:（1）算符之和算符和之和(十)，定義為 (3.2.4)必為任意函數(shù)。顯然，算符之和滿足交換律和結合律而且，線性算符之和仍為線性算符。（2）算符之積算符和之積，定義為 (3.2.5)算符對任意函數(shù)的運算，等于先用對運算，得出，然后再用算符對進行運算得到的結果。一般說來，算符之積與算符的前后次序有關，不滿足交換律 (3 .2.6)比如，??；，則但因此有 (3.2.7)由于是任意函數(shù)，從(3.2.7)式得 (3.2.8)從(3.2.8)式可見。記和之差為 (3.2.9)稱為算符、的對易關系或對易子。(3.2.8)式表明，與的對易子。若算符和的對易子為零，則稱算符和對易。這時、之積滿足交換律：。例如，與就是相互對易的算符。利用對易子的定義(3.2.9)式，容易證明，存在下列恒等式： （若為常數(shù)） (3.2.10)最后一式稱為雅可比恒等式。作為例子，我們討論角動量算符，它的三個分量分別是 (3. 2.11)它們和坐標算符的對易子是， ， (3.2.12)(3.2.12)式可表示為 (3.2.13) 上式中表示相應的分量，稱為列維一斯維塔（LeviCivita）記號，滿足 (3. 2.14)任意兩個相鄰下腳標的對換。改變正負號。因此，若任意兩個下腳標相同。則為零。比如有。同理.可以證明角動童算符和動量算符的對易子是 (3. 2.15)角動量算符各個分量之間的對易子是 (3.2.16)(3.2.16)式表明，角動量算符的三個分量、之間，彼此互不對易。(3.2.16)式中不為零的等式也可寫成 (3.2.17) 而坐標和動量的對易子(3.2.8)式也可寫成 (3.2.18)其中 (3.2.19)（3）算符的乘冪算符的次冪定義為 (3.2.20) 例如，若，則，算符之乘冪顯然滿足作為例子，考察。由 (3.2.21)顯然有由于坐標軸的選擇本來就是任意的;只須保持右旋坐標系，（）的順序不變，定義哪個軸是軸，哪個軸是軸，不影響計算結果。因此有 (3.2.22)即角動量的平方算符與任何一個角動量的分量算符均對易。事實上，(3.2.13), (3.2.15)和(3.2.16)式中的，正是表征了上述右旋坐標系的性質。（4）算符的函數(shù)若是的解析函數(shù)，則算符的函數(shù)一般可定義為 (3.2.23)例如，算符的指數(shù)函數(shù)的定義是 (3.2.24)（5）算符之逆若算符滿足且能從上式中唯一地解出來，則定義算符的逆算符為 (3 .2.25)并非所有算符都有逆算符存在。但若存在，則必有 (3.2.26)(3.2.26)式中，是單位算符。2.算符的矩陣表示算符所滿足的上述運算規(guī)則使我們想起了一種數(shù)學工具矩陣，因為算符運算和矩陣運算完全一樣。為了解算符的矩陣表示，先討論普通的矢量空間。 (1)矢量空間以二維矢量空間為例。選為二維矢量空間中的一組正交標準基，滿足記為二維矢量空間中的一個矢量為二維矢量空間中一個轉角為的轉動算符，經作用后，矢量變?yōu)槭噶浚?(3 .2.27)或寫成 (3.2.28)(3.2.28)式中的，就是將坐標系中的基矢轉動角后變成新坐標系中的基矢，由圖3.2.1可見， (3.2.29)式中：是新基矢在舊坐標系方向的基矢上的投影；是新基態(tài)在舊坐標系方向的基矢上的投影。將(3.2.29)式代入(3.2.28)式，得 (3.2.30) 或寫成矩陣形式 (3 .2.31)因此，算符可以用矩陣表示 (3.2.32)相應地，新、舊坐標系中基矢的變化也可用矩陣表示為 （3.2.33）是的轉置矩陣。由(3.2.32)及(3.2.33)式，有即 (3.2.34)是正交矩陣。由此得出結論：在矢量空間中的一個轉動，或者說一個算符，對應一個矩陣。這個矩陣的列向量為；分別由新坐標系中的基矢，在舊坐標中的投影排列而成，是新基矢在舊基中的表示(3.2.31)和(3.2.33)式亦可寫成 (3.2.35) (3.2.36)(2)希爾伯特(Hilbert)空間現(xiàn)在將上述討論推廣到量子力學。比較矢量在坐標系中的公式 (3.2.37)和 (3.2.38)可見，若將視為基矢，對的積分視為對基矢的求和，則可視為態(tài)基矢在基矢為的坐標系中的分量。與的各個分量組成一個列矩陣相似，也對應一個列矩陣。所不同的，僅在于是組分立的基矢，而是個的函數(shù)。是個分立的矩陣元為實數(shù)的列矩陣，而是個連續(xù)的無限維的矩陣，而且它的矩陣元可以是復數(shù)。嚴格說來，以前的所謂波函數(shù)，實際上是態(tài)矢量在以為基底的“坐標系”，或稱表象中的分量或投影。在這種意義下，任何一個使態(tài)矢量變?yōu)榱硪粋€態(tài)矢量的算符運算，與相似均對應一個矩陣。這個矩陣和原來描述態(tài)矢量分量的矩陣的乘積，給出新的態(tài)矢量矩陣。但是這里要注意，由于一般說來，是復數(shù)，因此描述的矢量是個復矢量，這個矢量所在的空間，是個復的函數(shù)空間。它的基矢是個函數(shù)。而且空間的維數(shù)既可以是有限的，也可以是無限的，對于連續(xù)譜的情況，甚至可以是不可數(shù)的。這種函數(shù)空間，稱為希爾伯特空間。.記為希爾伯特空間中的一組基，則任一態(tài)矢量在中可表示為 (3.2.39)以算符作用于態(tài)矢量后得 (3.2.40) 即有 (3.2.41)(3.2.40)式可寫成矩陣形式，為 (3.2.42) 綜合上述，我們得出結論：（i）體系的一個量子態(tài)，在希爾伯特空間中用一個矢量表示，這個矢量稱為態(tài)矢量。（ii）在希爾伯特空間中給定了一組基矢后，態(tài)矢量可以用它在基矢中的投影，即用分量表示，從而表示為一個列矩陣，即波函數(shù)。在量子力學中，給定了一組基矢，稱為給定了一個表象。給定表象后，量子態(tài)用波函數(shù)表示。（iii）算符是在希爾伯特空間中從一個矢量到另一個矢量的運算。給定表象，即給定一組基矢后，一個算符對應一個矩陣，表示為其它的矩陣元由算符占作用后的新基矢在舊基矢上的投影給出。（iv）一般說來，在量子力學中的希爾伯特空間，是復的函數(shù)空間。相互正交的基矢的數(shù)目，既可以是有限的，也可以是無限的。關于量子態(tài)和算符的矩陣表示，我們在下一章討論表象理論時，還會作更詳細的闡述。3.3厄米算符的本征值和本征函數(shù)為說明量子力學中能表示力學量的算符的性質，本節(jié)將介紹一種具有非常重要性質的算符厄米算符。為此，先引進一些定義：1.希爾伯特空間中矢量的內積希爾伯特空間中的兩個態(tài)矢量，在選定基矢后的兩個波函數(shù)和的內積為 (3 .3.1)它具有下述性質：(i) 。 (3 .3.2)(ii) (3 .3.3)(iii)若、為常數(shù)，則有 (3. 3 .4) (3 .3.4)2.轉置算符若算符滿足 (3.3.5) (3 .3.5) 則稱為轉置算符。轉置算符具有下述性質：(i)轉置算符所對應的矩陣為的轉置矩陣，其矩陣元滿足 (3.3.6)(ii)轉置算符的乘積滿足 (3.3.7)因為3.復共軛算符將算符中的所有復量均換成它的共轆復量，稱為的復共軛算符。例如算符的復共軛算符。4.厄米共軛算符定義厄米共軛算符為 (3.3.8)有 (3.3.9)容易看出的厄米共扼算符就是它自己，哈密頓算符的厄米共扼算符也是它自己，即，厄米共軛算符的乘積滿足 (3.3.10)5.厄米算符若，則稱算符為自厄米共扼算符，簡稱厄米算符。由(3.3.9)式，按定義，厄米算符滿足 (3.3.11)或寫成 (3.3.12)厄米算符具有下述性質：（i）兩厄米算符之和仍為厄米算符.(ii) 當且僅當兩厄米算符和對易時，它們之積才為厄米算符。因為只在時，才有，即仍為厄米算符。(iii)無論厄米算符、是否對易，算符及必為厄米算符，因為 (iV)任何算符總可分解為 (3.3.13)令，則和均為厄米算符。在引進厄米算符的定義后，現(xiàn)在進一步討論厄米算符的本征值和本征函數(shù)。在第二章中討論的主要是能量算符的本征值和本征函數(shù)，現(xiàn)在把它推廣到任意算符。任意算符，若作用于一函數(shù)后，所得結果等于一常數(shù)和的乘積： (3.3. 14)則稱是的本征值，為的本征函數(shù)，方程(3.3. 14)式是的本征方程。一般說來，本征值入既可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)。它的個數(shù)既可以有限，也可以無限。本征值既可以分立取值，也可以連續(xù)取值。因此，由全部本征值構成的本征值譜，既可以是連續(xù)譜，也可以是分立譜。本征值和本征函數(shù)除決定于算符鄉(xiāng)外，還決定于本征方程滿足的邊界條件。對應于一個本征值，既可能只有一個本征函數(shù)，也可能有g個相互獨立，彼此線性無關的本征函數(shù)。若對應于本征值有g個本征函數(shù)，且不能找到百個常數(shù)，使等式成立，則稱本征值簡并，簡并度為g?，F(xiàn)在證明，厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)等具有下述重要性質：厄米算符的平均值是實數(shù)，因為 (3. 3.15)在任何狀態(tài)下平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符。證：得 (3. 3.16)但由(3.3. 16)式不足以說明算符厄米，因為是同一個態(tài)。要證明厄米，必須按厄米算符的定義，證明成立。而且、為兩個任意的波函數(shù)。為此，令，利用算符在任何狀態(tài)，包括態(tài)的平均值為實數(shù)，即由(3.3. 16)式得 (3. 3. 17)又因在、態(tài)中的平均值也是實數(shù)，因此(3.3.17)式可改寫為 (3.3.18)對和作變換，令 (a、b為任意實數(shù))代入(3.3.18)式后得 (3.3.19)因為a,b任意，(3.3.19)式成立的充要條件為因此，必為厄米算符。得證。由于力學量的觀測值應為實數(shù)，而一般地，力學量在任何狀態(tài)下的觀測值就是在該狀態(tài)下的平均值，由性質、得。量子力學中，可觀測的力學量所對應的算符必為厄米算符。另外，在量子力學中還必須滿足態(tài)疊加原理，而要滿足態(tài)疊加原理，算符必須是線性算符。綜合上述，我們得出結論:在量子力學中，能和可觀測的力學量相對應的算符必然是線性厄米算符。厄米算符的本征值為實數(shù)。厄米算符在本征態(tài)中的平均值就等于本征值。由本征方程得 (3.3.20)因此，利用性質，得必為實數(shù)。厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交。證： 且，因為是厄米算符，它的本征值是實數(shù)，。本征方程的共扼方程為由及的厄米性質， 及 得又因 (3.3.21) 得證。若本征函數(shù)是歸一化的，則有 (3.3.22)厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交歸一。厄米算符的簡并的本征函數(shù)可以經過重新組合后使它正交歸一化。假定本征值有g度簡并 (3.3.23)由于和對應同一個，前面的證明不適用。這些簡并的本征函數(shù)并不相互正交。但我們總可以把g個本征函數(shù)汽重新線性組合為個另外g個新的函數(shù) (3.3.24)使得這些新函數(shù)、相互正交。的確，的正交歸一條件 (3.3.25) 中，歸一化條件，有g個，正交條件有個，共有個。但待定系數(shù)有個。當時，待定系數(shù)的數(shù)目大于所應滿足的方程的數(shù)目。因此可以有許多種方法選擇，使簡并的本征函數(shù)正交歸一化。綜合性質，得出結論:無論是否簡并，厄米算符的本征函數(shù)系正交歸一。厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性。設是某一厄米算符的本征函數(shù)系，n取值既可以是連續(xù)的，也可以是分立的?？梢宰C明，任何與滿足同徉邊界條件且在同樣區(qū)域內定義的波函數(shù)價，都可按展開。由于厄米算符的本征函數(shù)系具有正交、歸一和完備性，因此可以用它作為一組基矢，以構成希爾伯特空間。任何在這個空間中定義的波函數(shù)，都可按展開，得 (3.3.26)若本征值，連續(xù)，(3.3.26)式改為 (3.3 .27)n的取值部分連續(xù)，部分分立，則可表示為(3.3.26)及（3.3.27)式的疊加。疊加系數(shù)可由的正交歸一性給出。以乘(3.3.26)式的兩端并對變數(shù)的整個區(qū)域作積分后，得 (3.3.28)本書不擬對厄米算符的本征數(shù)系的完備性作嚴格的證明，有興趣的讀者可參閱有關專著。厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉性。取為某一厄米算符的本征函數(shù)系。由的完備性，利用(3.3.26)及(3.3.28)式得 (3.3.29) 因為是任意函數(shù)，因此當且僅當 (3.3.30)(3.3.29)式才能成立。公式(3.3.30)表示本征函數(shù)系具有封閉性。當本征值為連續(xù)譜時，(3.3.30)式可改為 (3.3.30)若本征值既有分立潛，又有連續(xù)譜，則封閉性表示為 (3.3.30)厄米算符本征函數(shù)系的封閉性在實際運算中是非常重要的。在量子力學、量子統(tǒng)計乃至量子場論的實際運算過程中經常要插入“中間態(tài)”進行運算，就是利用3. 3.30)式。3.4連續(xù)譜本征函數(shù)鑒于厄米算符的本征函數(shù)系具有正交、歸一、完備、封閉等極命重要的性質，可以用它作為希爾伯特空間的基矢;而且在量子力學中，可觀測量對應線性厄米算符，因此在本節(jié)中我們將先羅列一些線性厄米算符的本征函數(shù)系，然后再討論若本征函數(shù)為連續(xù)譜本征函數(shù)時，如何進行歸一化。1.線性厄米算符的本征函數(shù)示例(1)坐標算符由本征方程 (3.4.1)可知算符在自身表象中的本征函數(shù)是。而了連續(xù)取值，是連續(xù)譜的本征函數(shù)。(2)動量算符由本征方程 (3.4.2)可知在以的本征函數(shù)為基矢的表象中，算符的本征函數(shù)是平面波，本征值也連續(xù)取值。(3)角動量引入球坐標對角動量算符作坐標變換，得出在球坐標中的角動量算符是 (3.4.3) (3.4.4)相應的本征方程是 (3.4.5)或 (3.4. 6)而的本征方程是 (3.4.7)與有共同的本征函數(shù)，球諧函數(shù)是正交歸一的，相應的本征值和為分立譜。問題1求和的本征函數(shù)和相應的本征值。（4)動能算符在直角坐標系中，動能算符表示為 (3.4.8)它的本征函數(shù)是平面波。在球坐標中，動能算符為 (3.4.9)其中，是動量算符的徑向分量。2.連續(xù)譜本征函數(shù)的歸一化(1)無窮空間的歸一化以平面波為例。的本征函數(shù)不能用普通的方法歸一化，因為它的模不是平方可積的，不能使它歸一化為1。在數(shù)學上，它只能歸一化為函數(shù)。利用公式 (3.4.10)得 (3.4.11)事實上，的系數(shù)就是通過歸一化為函數(shù)得來的。同樣，的本征函數(shù)也可以用同樣的方式歸一化。的本征函數(shù)滿足 (3.4.12) 事實上，凡連續(xù)譜的本征函數(shù)都可用函數(shù)的方式歸一化。(2)箱歸一化如果我們仍然要求按通常的方式對動量本征函數(shù)歸一化，即仍然要歸一化為1而不是函數(shù)，就必須放棄無窮空同的積分，采用箱歸一化的方法。先以一維情況為例。設一維平面波只能在的區(qū)間中運動，且滿足周期性邊界條件：波函數(shù)在和處的數(shù)值相同 (3 .4.13)則這時的本征值二將分立，且相應的本征函數(shù)可按通常的方式歸一化。事實上，對于厄米算符，周期性邊界條件是最自然的邊界條件。比如，由的厄米性，有即 得 (3.4.14)其中C為常數(shù)，由于和任意，因此(3.4.14)式只能是個常數(shù)?？紤]到波函數(shù)本身可以差個常數(shù)因子，不失普遍性，可將(3.4. 14)式中的常數(shù)選為1，這就是周期性的邊界條件(3.4. 13)式。利用(3.4.13)式及得 即 (3.4.15)因此分立取值，構成分立譜。取分立譜時的平面波為 (3.4.16)它的正交歸一條件是 (3.4.17)顯然，若，即箱的體積為無窮大時，由(3.4.15)式可知，本征譜變成連續(xù)譜，回到無窮空間歸一化的情況。在從分立譜過渡到連續(xù)譜時，存在如下對應關系： (3.4.18) (3.4.19) 易將上述結果推廣到三維情況。取體積，則箱歸一化后的波函數(shù)為 (3.4.20) (3.4.21) (3.4.22) (3.4.23)從(3.4.23)式可見，每個量子態(tài)在以粒子的動量、坐標為基底的相空間(稱為空間)中對應體積元。這正是量子統(tǒng)計中熟知的結果。三維情況下，箱歸一化的正交歸一條件是 (3.4.24) 其中及按(3.4.21)式的分立方式取值。在連續(xù)譜情況下，正交歸一條件是 (3.4.25) 3.5量子力學中力學量的測量值在量子力學中，力學魚的測量是個比較復雜的問題。它不僅涉及物理學，而且涉及哲學。本節(jié)只討論側量過程中的物理學間題。I.力學11有確定值的條件記與某一力學量相應的算符為。按3.3，必為線性厄米算符.現(xiàn)在問，是否在任何一個狀態(tài)中，測量力學量都有確定值?為回答這個問題，先看一個特例。例如在平面波所描述的狀態(tài)中，測量動量，必有確定值，因為平面波具有確定的動量。但若測量坐標則必無確定值，因為在平面波描述的狀態(tài)中，粒子出現(xiàn)在空間各點的幾率相同。因此顯然不可能在任何狀態(tài)中，測量任何力學量都同時具有確定的值。問題的關健在于，找出測量特定約力學量F，使它能有確定值的狀態(tài)。為此，先給“確定值”以嚴格的定義。在量子力學中，在某一狀態(tài)中測量力學量具有確定值的充要條件是在該狀態(tài)中力學量的平方平均偏差為零.即 （3.5.1） 由于厄米，的平均值是個數(shù)，因此也必厄米，利用厄米的條件可將上式寫成 （3.5.2）于是得出：的充要條件是，即 (3.5.3)由此得出結論：當且僅當是力學量的本征態(tài)時，在的本征態(tài)中測量才有確定值。而且這個確定值，就是在這個態(tài)的平均值.(3-5.3)式實際上就是的本征方程，在態(tài)的平均值等于它的本征值。正因為相應于態(tài)的本征值就是它的平均值，也是它的實驗測量得到的準確值，因此本征值和平均值都必須是實數(shù)。若和是屬于同一本征值的兩個不同的簡并態(tài)，則顯然在它們的線性組合給出的態(tài)中測量，也有確定值。而且這個確定值就是它的本征值，也等于在態(tài)中的平均值.問題1 若和:是屬于兩不同本征值的本征態(tài)，在（是常數(shù)）中測量，結果如何?2.在非的本征態(tài)中測量設所滿足的本征方程為 (3.5.4)現(xiàn)在在一個非的本征態(tài)中測量。因為線性厄米算府的本征函數(shù)系正交歸一完備，因此總可將按展開 (3.5.5)的平均值是 (3.5 .6)因此，在非的本征態(tài)中測量力學量無確定值，但有平均值，而且平均值是由的本征值通過統(tǒng)計平均而得來。在中出現(xiàn)的幾率是,是將態(tài)按展開時出現(xiàn)態(tài)的概率幅。因此得出結論：在非的本征態(tài)中測量，雖然無確定值，但有各種可能值。這些可能值就是的本征值，而且可能值出現(xiàn)的概率為。這個結論無論對的本征譜是分立譜、連續(xù)譜，還是既有連續(xù)