（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）banach空間中周期邊值問(wèn)題的弱解.pdf

獨(dú)創(chuàng)聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取 得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文 中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果，也不包含為獲得 ( 注：如沒(méi)有其他需要特別聲明的，本欄可空) 或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或 證書使用過(guò)的材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在 論文中作了明確的說(shuō)明并表示謝意。 學(xué)位論文作者簽名：伊礁金導(dǎo)師簽字：協(xié)萬(wàn) 簽字日期：2 0 0 4 年斗月2 2 日 簽字日期：20 0 4 年叩月?lián)?b a n a c h 空間中周期邊值問(wèn)題的弱解 伊繼金 ( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，濟(jì)南，山東2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文在第一章考慮b a n a c h 空間中v o l t e r r a 型一階周期邊值問(wèn)題 t = n ( t ，u ，k u ) u ( 0 ) = u ( 2 7 r ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 其中 f t ( 女 ) ( t ) = k ( t ，。) u ( s ) d s ，( 1 1 3 ) j o ，= o ，2 叫，e 為實(shí)b a n a c h 空間，日：j e e _ 層是c a r a t h d o d o r y 函數(shù)， k ：， r + 滿足c a r a t h d o d o r y 條件 主要假設(shè)條件為： ( a i ) ( i ) a ，厴?lè)謩e是p b v p ( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 的下上解，并且滿足a ( ) s 盧( ) ，t 。 ( i i ) o ，盧分別是p b v p ( i 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 的下上解，并且滿足o ( t ) 盧( t ) ，t j ( a 2 ) 日( ，地 ) 關(guān)于u ，v 強(qiáng)可測(cè)，h t ，- ，) 對(duì)幾乎所有t e l 連續(xù) ( a 3 ) 對(duì)每個(gè)a 0 ，存在函數(shù)h a 工1 ( ，) 使得0h ( t ，“，口) 怪k ( t ) ，g t ，( u ，”) e e ，并且i j 峰a ，j j 峰a ( 且4 ) 核k ：i i + r + 滿足c a r a t h 6 0 d o r y 條件。即k ( t ，) 對(duì)每個(gè)t i 可測(cè)， ( ，s ) 對(duì)幾乎所有8 i 是連續(xù)的，并且k ( t ，8 ) ，( s ) ，口- e _ t ，工1 ( j - ) 。 ( a 5 ) ( j ) n ( t ，口) 一h ( t ，云，o ) 一m ( t ) ( u - f i ) - n ( t ) ( v o ) ，口e t i ( 1 2 5 ) 季中a ( t ) 缸“盧( 亡) ，( k a ) ( t ) s 口口s ( 盧) ( t ) ，t ，m ( t ) 0 ，n ( t ) 0 ，a e t j ，m ，n l 1 ( j ) ，滿足 r 2 i 一 【m ( t ) + ( t ) k ( t ，s ) d s l d t 0 ，n ( t ) 0 ，a , e t ，m ，n 五1 ( f ) ，并且滿足 ，新， 阻( t ) + ( t ) k ( t ，s ) d s d ts ；( 1 2 8 ) j 0 j o z 2 主要結(jié)論： 定理1 4 ，3 設(shè)e 為自反空間，p 是e 中正規(guī)錐，似1 ) ( ) ，( a 2 ) 一( a 4 ) ，( a 5 ) ( i ) 成 立，那么存在單調(diào)序列( a n ( t ) ) ， 風(fēng)( t ) ) ，其中咖= o ( # ) ，島= p ( t ) ，使得臻( t ) = j d ( ) ，j 1 熙風(fēng)( ) = 7 ( t ) ，在i 上依e 中范數(shù)一致成立，n 7 分別是p b v p ( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 在h 糾上的最小，最大解。 定理1 4 4 設(shè)e 為自反空間，p 是e 中正規(guī)錐，條件( a 1 ) ( “) ，( a 2 ) 一( a 4 ) ，( a 5 ) ( “) 成立，那么存在單調(diào)序列 風(fēng)( ) ) ， ( t ) ，其中伽= a ( t ) ，島= 盧( t ) ，使得恕風(fēng)( t ) = p ( t ) ，j 1 巴o 。( t ) = ，y ( t ) ，在i 上依e 中范數(shù)一致成立，p ，7 分別是p b v p ( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 在舊，嘲上的最小，最大解 本文第二章用迭代方法處理如下二階周期邊值問(wèn)題： ，c xx e + ，e + 】 “( o ) = ( 1 ) ，( o ) = u ( 1 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 其中i = 0 ，1 文 1 5 】中為構(gòu)造線性周期邊值問(wèn)題解的積分表達(dá)式，給出了極強(qiáng)的假設(shè)條件，本 文用格林函數(shù)給出解的積分表達(dá)式，并證明其唯性，從而大大減弱、簡(jiǎn)化了假設(shè)條 件與文 1 5 的不同之處還有本文考慮的是上解小于等于下解的情形 主要假設(shè)： ( h 1 ) v 0 ，w 0 a 2 p ，e + 】，w o ( t ) 如( t ) ，t j ，并且 一甜i ( t ，口o ) ，v o ( o ) = o ( 1 ) ， o ( o ) 站( 1 ) t 硝f ( t ，w o ) ，w o o ) = 訓(xùn)o ( 1 ) ，t 砧( o ) s 6 ( 1 ) ， 在i 上成立 ( 2 ) i ( t ，“) ，( t ，口) 墨m ( u 一”) ，其中u u ，“， t o o ，v o ，m 0 主要結(jié)論： 定理2 3 1 設(shè)e 是可分的，p + 是層+ 中正規(guī)錐，假設(shè)( 玩) ，( 玩) 成立，并且 m s 1 ，那么存在單調(diào)序列 u n ( t ) ) ， 。n ( t ) ) ，使得撬( t ) = p ( t ) ，桌黯伽n ( t ) = 7 ( t ) ， 在i 上依e 。中范數(shù)一致成立p ，7 分別是p b v p ( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 在 t 蜘，t 1 0 】上的最大， 最小解 本章最后一節(jié)考慮非正常邊值條件下解的存在性 看一下這一節(jié)中的假設(shè)條件： ( b o ) 口，蘆c 2 j ，e + 】，a ( f ) 盧( ) ，f i ，對(duì)口( t ) “2 ( t ) st l ( t ) s 盧( t ) ，t ， ，( z ，“1 ) 一，( ，t 2 ) 一m 2 ( “l(fā) t 垃) 3 ( b 1 ) ( b 2 ) ( i ) 一a ”f ( t ，o ) ，t j ，a ( o ) = a ( 1 ) ，n ( o ) n 7 ( 1 ) ( “) 一盧”f ( t ，盧) ，t f ，8 ( 0 ) = 盧( 1 ) ，蘆( 0 ) 墨盧( 1 ) ( i ) 口( 0 ) = a ( 1 ) ，o ( 0 ) ( d ( 1 ) 一a ”f ( t , a ) 一m 2 n , te i , = 暨! 堅(jiān)毛i 聶學(xué) ( i i ) 盧( o ) = 盧( 1 ) ，盧( o ) 聲( 1 ) 一盧”，o ，盧) 一m 2 r 口，t l 叩= ! 壘：i j 掣 ( b a )( b 1 ) ( i ) 和( b 2 ) ( “) ( b 4 )( b 1 ) ( “) 和( 島) ( ) 比較條件( b 1 ) ( b 2 ) ，我們看到( 玩) 中邊值條件與( b 1 ) 相反，但是我們加強(qiáng)了其他條 件條件( 玩) 常被稱為非正常邊值條件 仍然運(yùn)用單調(diào)迭代方法和半序方法，得到以下主要結(jié)論； 定理2 4 1 設(shè)e + 是可分的，p 是e 中正規(guī)錐，( b o ) 成立，則( b 1 ) 一( b 4 ) 中任一條件成立時(shí)，存在序列f 口“( ) ) ，f 風(fēng)( ) ) t 伽= 島= 盧，使得，墨n n ( t ) = p ( t ) ，0 驄風(fēng)( t ) = 7 ( 0 ，在i 上一致地、單調(diào)地成立其中p ( ) ，1 ( t ) 分別是p b v p ( 2 1 1 ) ， ( 2 1 2 ) 的最小最大解。 關(guān)鍵詞；單調(diào)迭代，自反空間，半序，上下解，正規(guī)錐，弱收斂，弱序列完備， 周期邊值問(wèn)題 分類號(hào)：0 1 7 5 6 4 t h ew e a ks o l u t i o n so f t h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i nab a n a c hs p a c e y i j i j i n t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s l m n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ef o l l o w i n gf i r s to r d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nb a n a c hs p a c ea r ec o n s i d e r e d ： u = h ( t ，札，k u ) 4 ( o ) = “( 2 丌) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) w h e r e ( k “) ( t ) 2 上2 ( ，s ) 釷( s ) d s ， ( 1 1 3 ) ，= 0 ，2 7 r 】，e i sr e a lb a n a c hs p a c e ，日：，e e e i sc a x a t h d o d o r y f u n c t i o n ，k ：i i - - - 4r + s a t i s f i e sc a x a t h d o d o r yc o n d i t i o n s 。 t h em a i nr e s u l t sa r e t h e o r e m l 4 3a s s u m et h a tei sar e f l e x i v es p a c e ，p i san o r m a lc o n ei n e ，( a 1 ) ( i ) ，( a 2 ) 一( a 4 ) ，( a s ) ( i ) a r es a t i s f i e d ，t h e n t h e r ea r em o n o t o n e s e q u e n c e s a n ( t ) ) ，( 風(fēng)( ) ，螄= o ( ) ，島= p ( t ) ，s u c ht h a t 。1 + i m 。q n ( t ) = p ( t ) ，撬風(fēng)( t ) 27 ( t ) u n i f o r m l yi ni , p ，ya r et h em i n i m a l a n dm a x i m a ls o l u t i o n so fp b v p ( 1 。1 1 ) ，( 1 1 2 ) i n a ，孫 t h e o r e m l 4 4 a s s u m et h a tei sar e f l e x i v es p a c e ，pi san o r m a lc o n ei n e ，( a 1 ) ( i i ) ，( a 2 ) 一( a 4 ) ，( a s ) ( i i ) a r es a t i s f i e d ，t h e n t h e r ea x em o n o t o n es e q u e n c e s 島( t ) ) ， q 。( t ) ) ，o 0 = 口( t ) ，島= 盧( ) ，s u c ht h a t 。l + i m 。風(fēng)( t ) 2p ( t ) ，i 驄o n ( t ) = 7 ( ) u n i f o r m l y i ni ，n ，ya r et h em i n i m a la n dm a x i m a l s o l u t i o n so f p b v p ( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) i n 咿，叫 5 i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs e c o n do r d e r p e r i o d i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s ： 一u ”= ，( t ，u ) ，c i e ，e + 】 ( 2 1 1 ) “( o ) = 讓( 1 ) ，玨( o ) = “，( 1 ) ( 2 1 2 ) w h e r e ，= f 0 ，l 】 i n 【1 5 i t sa s s u m p t i o n s a r es o s t r o n g t h a tw ec a na c c e p tt h e mw i t hd i f f i c u l t i e s h e r e w eu s eg r e e n sf u n c t i o nt oo b t a i nt h es o l u t i o ni nai n t e g r a l f o r m b yt h i s ，w ec a r lm a k e t h ea s s u m p t i o n sv e r ys i m p l e ，b u tw ec a no b t a i nt h es a m er e s u l t s i na d d i t i o nw ea l s o c o n s i d e ran e ws i t u a t i o nt h a tt h el o w e rs o l u t i o ni sn o tl e s st h a nt h eu p p e rs o l u t i o n s u p p o s et h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n sa r es a t i s f i e d ： ( 風(fēng)) 珈，w o c 2 ，驢j ，w o ( t ) v o ( t j ，a n d 一硌s ( t ，珈) ，v d o ) = v o ( 1 ) ，硝( o ) 2u ：( 1 ) 一叫：f ( t ，w o ) ，w o ( o ) = w o o ) ，叫o t ( o ) 叫：( 1 ) t i ( 吼) f ( t ，u ) 一f ( t ， ) 肘( u 一 ) ，w h e r eu u ，讓，口【w 0 ，v 0 ，m 0 。 t h em a i nr e s u l t sa r e t h e o r e m2 3 1 s u p p o s et h a te + i ss e p a r a b l ea n dp + i san o r m a lc o n ei ne + ， t h ea s s u m p t i o n s ( 1 ) ，( 2 ) h o l d ，a n dm 1 ，t h e nt h e r ea r em o n o t o n e s e q u e n c e s n ( t ) ) ， ”( t ) s u c ht h a t 。1 i m 。t k ( t ) = p ( ) ，出恐 n ( ) = 7 ( t ) u n i f o r m l yi ni ，戶，7a r e t h em a x i m a la n dm i n i m a ls o l u t i o n so f p b v p ( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) i nf w 0 ，】 i nt h el a s ts e c t i o nw ec o n s i d e ran e ws i t u a t i o n o b s e r v ec a r e f u l l yt h ef o l l o w i n g a s s u m p t i o n s ： ( b o ) 0 1 ，盧c 2 ，e 】，= 【0 ，l 】，o ( t ) 盧0 ) ，t ，i f a ( 句u 2 ( t ) 釷i ( t ) 盧( ) ，t i ，t h e n ( t ， t t l ) 一( t ，釷2 ) 一m 2 ( 讓1 一釷2 ) 6 ( b - ) ( i ) sf ( t ，n ) ，t ，o ( o ) = a ( 1 ) ，d 7 ( o ) n 7 ( 1 ) ( i i ) 一p ”f ( t ，) ，t ，p ( o ) = f l ( 1 ) ，( o ) sf l ( 1 ) ( 島) ( i ) ( o ) = ( 1 ) ，8 ( o ) 口( 1 ) 【垡( ! ! 二壘：( ! ! j ( ! 竺1 2 2 m ( e m 1 ) p ”，。，盧) 一m 2 r z , te i , r 一- - - - ! 垡! j j 掣 ( b a )( 且) ( 和( 島) ( 詞 ( b 4 )( b 1 ) ( i i ) 和( 島) ( i ) u s e i n gt h em o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，w eh a v eo b t a i n e dt h ee x i s t e n c eo ft h em a x i m a la n dm i m m a ls o l u t i o n so fp b v p ( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) t h e o r e m2 4 1 s u p p o s e t h a te + i ss e p a r a b l ea n dp + i san o r m a lc o n ei n e + ，t h ea s s u m p t i o n ( b 0 ) h o l d s ，t h e nw h e na n yo n eo f ( b 1 ) 一( b 4 ) h o l d s ，t h e r ea r e q n ( t ) ) ， 風(fēng)( t ) ) ，a o2a ，風(fēng)= p ，a n dt 5 驄( t ) = p ( t ) ，溉風(fēng)( f ) = ，y ( ) u n i f o r m l y i ni p ( t ) ，7 ( ) a r et h em i n i m a la n dm a x i m a ls o l u t i o n so f p b v p ( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) k e yw o r d s ：m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，p a r t i a lo r d e r i n g ，u p p e ra n dl o w e r s o l u t i o n s ，n o r m a lc o n e ，w e a k l ys e q u e n t i a l l yc o m p l e t e ，w e a kc o n v e r g e n c e ，p e r i o d i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，r e f l e x i v es p a c e c l a s s i t i c a t i o n ：0 1 7 5 6 7 第一章b a n a c h 空間中一階周期邊值問(wèn)題的弱解 1 _ 1引言 1 9 8 5 年，v l a k s h m i k a n t h a m 等人出版了專著非線性方程單調(diào)迭代技巧，系 統(tǒng)介紹了單調(diào)迭代技巧和上下解法。 利用單調(diào)迭代技巧研究非線性方程的周期邊值問(wèn)題( p b v p ) ，不僅可以證明解的 存在性，還可以構(gòu)造單調(diào)迭代序列，使其一致收斂于原| 可題的最小、最大解。近年來(lái) 對(duì)于一階周期邊值問(wèn)題的研究多采用單調(diào)迭代方法，可參看【l 】j 【2 】，f 3 】 我們看到在b a n a c h 空間中研究微分方程的可解性通常要用到非緊性測(cè)度，而實(shí) 際中非緊性測(cè)度難于計(jì)算和檢驗(yàn)。孫經(jīng)先在文f 5 】中以半序理論為工具，在弱拓?fù)湟?義下研究周期邊值問(wèn)題，從而避開(kāi)了依賴于非緊性測(cè)度的情況 本章將用半序方法研究b a n a c h 空間中如下v o l t e r r a 型一階周期邊值問(wèn)題 其中 7 = h ( t ，“，托) u ( o ) = u ( 2 ) ( 女u ) ( t ) = f o t k ( t ，s ) “( s ) d s ( 1 i 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) j = 0 ，2 】，e 為實(shí)b a n a c h 空間，日：i e e _ 曰是c a r a t h d o d o r y 函數(shù) k ：f ，- - - yr + 滿足c a r a t h d o d o r y 條件 1 2 預(yù)備知識(shí) 設(shè)( e i i ) 是實(shí)b a u a c h 空間，e + 表示e 的共軛空間 定義1 2 1若p 為e 中某非空凸閉集，且滿足下面兩個(gè)條件： ( i ) p i 0 凈 。p ， ( i i ) z p 一$ p z = 日，口表示e 中零元素 則稱p 是e 中一個(gè)錐 由p 在e 中引入半序：若y 一。p 則zs 設(shè)p 的共軛錐p = 妒e + 妒( 。) 0 ，v z p ) 8 定義1 2 2若存在實(shí)數(shù)lx o ，口s ”“可推出f f ”慪l 1f f t - 這里的上l 與 u ，v 無(wú)關(guān)，則稱錐p 為正規(guī)錐 定義1 2 3從i 到b a n a c h 空問(wèn)e 內(nèi)的抽象函數(shù)x ( ”稱為強(qiáng)囿變的是指對(duì)i 中 所有互不相交的有限個(gè)區(qū)間( ，z e ) ( k = a ，2 ，n ) 均有s u p e 忙慨) 一。( 口女) j j 0 ，存在函數(shù)h a 二1 ( ，) 使得i ih ( t ，亂， ) 臨h a ( t ) ，a e t j ，( “，”) 曰e ，并且| | “1 | a ，0 i i a ( 山) 核k ：i j + r + 滿足c a r a t h i ! o d o r y 條件，即kc t ，) 對(duì)每個(gè)t j 可測(cè)， 自( ，s ) 對(duì)幾乎所有s j 是連續(xù)的，并且k i t ，s ) s ，( s ) ，a e t j ，l 1 ( ，) 。 ( a 5 ) ( i ) h i t ，t ，u ) 一h ( t ，面，o ) m c t ) ( u 一面) 一( t ) 扣日) ，n c t j ，( 1 2 5 ) 其中0 0 ) 豇i t 盧0 ) ，( k a ) ( t ) o ( k 盧) 0 ) ，t i ，m i t ) 0 ，w i t ) 0 ，a , e t ，m ，n l 1 ( j ) ，滿足 t 2 r， om ( 。) + ( 2 上膏( ，5 ) d s d t 0 ，i v i t ) 0 ，o e t j ，m ，n l 1 ( j ) ，并且滿足 廳聊) + n i 翩如) d s d t 1 2 ( 1 2 | 8 ) 引理1 2 1 1 6 】設(shè)p 為e 中正則錐，a ：，v i ) 】- + 曰，其中扣o ，如】= “a ，別i u o u ”o ) ，連續(xù)且滿足 f i ) 若w l ，u 2 f “o ，蜘】，w ls 2 ，則a w l a w 2 ，即a 在【 a 0 ，”o 上為增算子； ( i i ) u os a u o ，a v o s 如 則a 在 u o ，v 0 】中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 引理1 2 2 【7 】x ( s ) ：i e 是b o c h n e r 可積的必須且只須x ( 8 ) 是強(qiáng)可測(cè)的，并且 | | 。( s ) i 是l e b e s g u e 可積的 定理1 2 1 【6 j 設(shè)p 是e 中一個(gè)錐，如果e 是自反的，則p 是正規(guī)的備p 是正則 的 定理1 2 2 f 1 3 】設(shè)e 是自反空間，p 是e 中正規(guī)錐則e 中的全序子集m 列緊 的充要條件是m 依范數(shù)有界 1 0 1 3 比較結(jié)果 定理1 3 1 n設(shè)m ( t ) s i ，捌，并且滿足 m ( 2 ) 一m ( 咖譏( ) 一( t ) 上。( t ，5 ) m ( s ) 幽，a e t ， ( 1 矗1 ) 其中m ( t ) ，n ( t ) l 1 ( n m ( t ) 0 ，n ( t ) 0 ，o e t i ，滿足條件( a 4 ) ，進(jìn)一步設(shè) z 打 m ( 茚+ ( t ) z 2 七( t ，s ) d s 】出s 1 ( 1 3 2 ) 那么由m ( 0 ) s0 或者m ( 0 ) m ( 2 ，r ) 均可證得m ( t ) o ，i 。 定理1 3 2 f 2 】設(shè)m ( t ) s i ，用，且滿足 m ( ) m ( 。) m ( ) + ( ) 上( ，s ) m ( s ) d s ， n e t j ( 1 a 3 ) m ( o ) m ( 2 丌) ( 1 3 4 ) m ，n l 1 ( n m ( t ) 0 ，n ( t ) 0 ，o e t 。而且滿足條件( a 4 ) 。進(jìn)一步設(shè) o i m i 邢) z 雄捌酬出；， ( 1 3 卻 自v - , m ( t ) so ，t j 推論1 3 1 【2 】 設(shè)定理1 3 2 的條件都成立，則用價(jià)( 2 7 r ) so 代替r e ( o ) m ( 2 ”) 可 證得m ( o ) 0 。 1 4 單調(diào)迭代 定理1 4 1 設(shè)e 是自反空間，p 是e 中正規(guī)錐，若( a 1 ) ( i ) ，( 如) 一( 如) ( i ) 成 立，那么p b v p ， “7 ( ) = ( # ) 一坷o ) “( t ) 一( f ) ，s ) ( s ) 如， n e f (iijo k ( tl4 u ( 0 ) = “( 2 ) ( 1 4 2 ) 有唯一解u ( t ) ，使得u ( t ) 陋，用= “g 峨司：o ( t ) s ( t ) p ( t ) ，t n 其中 口陋，剜，日口( t ) = h ( t ，口( t ) ，( 口) ( t ) ) + f ( ) ，7 ( t ) + n ( t ) 詹k ( t ，3 ) f 7 ( 8 ) d s 證明，首先考慮如下初值問(wèn)題 “( ) 2 島( 。) 一m ( ) “( 2 ) 一( 2 ) j l k ( t , s ) 7 ( s ) d s ， 毗_ t j - ( 1 刪 “( o ) = u o 其中u o 陋( o ) ，盧( o ) 】它等價(jià)于以下算子方程 其中 ( n m ) = u 。+ 0 2 隅( r ) 一m ( 咖( r ) 一( r ) z 蜘，咖( s ) 幽 d r( n ) ( t ) = u 。+ 隅( ”) 一m ( r ) u ( r ) 一( r ) 上。( ) u ( s ) 幽 t 在b a n a c h 空間g 限捌中是壓縮算子事實(shí)上，對(duì)v u ，豇c i ，明，我們有 ( 1 4 4 ) l t u t 缸憶= 1 2 摯8 ( t u ) ( t ) 一( t o ) ( t ) 0 r 2 f，t 阻0 ) + n ( t ) k ( t ，s ) d s d l l “一面軋 由詹” 訂( f ) + n ( t ) 詹k ( t ，s ) d s l d t 1 知t 為b a n a c h 空間c i ，捌中壓縮算子，所以上 面算子方程或者與它等價(jià)的初值問(wèn)題( 1 4 3 ) ，( 1 4 4 ) 有唯一解“( t ) = u ( t ；t o ) 下證“( ) = u ( t ；u 0 ) a ，糾。 對(duì)v 曲p ，設(shè)m ( t ) = 妒( a ( ) 一u ( 0 ) ，易知m ( o ) 0 由條件( a 2 ) ( i ) 知 m 7 ( t )= 毋( 一( t ) 一( t ) ) s ( 月( ，n ( t ) ，( 女口) ( t ) ) 一n ( t ，目( t ) ，( 切) 0 ) 一m ( o f ? ( t ) 一n ( t ) k ( t ，3 ) 目( s ) d j + m ( t ) u ( t ) + n ( t ) k ( t ，s ) u ( s ) d s ) j 0j 0 一 f ( ) ( o ( t ) 一u ( t ) ) 一( t ) 咖( ( k n ) ( t ) 一( u ) o ) ) = - m ( t ) m ( t ) 一( d ( 仇) ( t ) = 一m ( t ) m ( t ) 一j v ( t ) k ( t ，s ) m ( s ) d s ， g e t j j u 因此據(jù)定理1 3 1 知m ( t ) 0 ，t j 由于幣p + 是任意的，因而a ( t ) t ( t ) ，t ， 同理可證得 ( ) s 盧( t ) ，t i 故“i a ，用 下面我們證明存在u o 陋( o ) ，盧( o ) 】，使得初值問(wèn)題( 1 - 4 3 ) ，( 1 4 4 ) 的唯一解u ( 如u o ) 滿足“( o ) = “o = u ( 2 7 r ) ，這就證得了線性p b v p ( 1 4 1 ) ，( 1 4 2 ) 有解 事實(shí)上，由于a ( o ) s a ( 2 r ) j 日( 2 ”) 盧( o ) ，所以 n ( 2 ”) ，盧( 2 ，r ) 】c i a ( o ) ，盧( o ) 】，因此 對(duì)每個(gè) u 0 【a ( 2 7 r ) ，盧( 2 7 r 】l ，初值問(wèn)題( 1 4 3 ) ，( 1 4 4 ) 有唯一解u ( t ；u o ) ，使得u ( 2 7 r ；t l o ) 0 ( 2 ，r ) ，p ( 2 ”) 因此龐加萊算子局。：u o + u ( 2 7 r ；o ) 對(duì)u o 【a ( 2 1 v ) ，盧( 2 7 r ) 1 ，p 2 。 1 2 映陋( 2 ，r ) ，盧( 2 ”) 】到【a ( 2 ”) ，盧( 2 r ) 。設(shè)“1 ，“2 f a ( 2 ) ，盧( 2 7 r ) 】，且t d l 毗再設(shè) 面i ( ”= u ( 以u(píng) i ) ， = 1 ，2 是初值問(wèn)題 u ( t ) = h , c t ) 一m ( t ) u c t ) 一( ) 上2 ( ，5 ) “( s ) 出， “艇。( 1 a 5 ) “( o ) = u ， ( 1 4 6 ) 的解，對(duì)v p + ，定義m ( t ) = 廬( 缸1 ( ) e 2 c t ) ) 。易知m ( o ) = ( 面l ( o ) 面2 ( o ) ) = 妒( t 1 一u 2 ) 0 ，而 m ( t ) = ( ”- - i l ( ) 一缸：( t ) ) = ( 丑目( ) 一 疊( # ) 豇1 ( t ) 一o 七( ，5 ) 矗l ( 8 ) d 8 一日；( t ) + m ( t ) 豇2 ( t ) + ( t ) k ( t ，8 ) a ：( s ) d s ) ，0 = 一m c t ) 廬( f i l ( t ) 一面2 ( t ) ) 一n ( t ) j o ( ，3 ) 廬( 證1 ( 8 ) 一面2 ( 8 ) ) d 3 ：一m ( t ) m ( t ) 一( ) f 自( ，s ) m ( s ) 幽， 口e t j ju 因此據(jù)定理1 3 1 有m ( t ) 0 ，t i 由于p 是任意的，這就證得a x ( t ) 面2 ( “t j 特別地有豇l ( 2 7 r ) 豇2 ( 2 7 r ) ，即p 2 。u 1 p 2 。u 2 ，因而p 2 * 是增算子 再證p 2 。是連續(xù)的設(shè)。陋( 2 ) ，犀( 2 7 r ) ，= 0 ，1 ，2 ，且0u n u oi i - - * 0 ，當(dāng) n - o 。時(shí)。而“( t ；u 。) 是 u ( t ) = 島( t ) 一m ( ) u ( ) 一( 。) 上m ，3 ) ”( 8 ) 4 8 ， 57 u ( 0 ) = u n 的解，則對(duì)j 有 l i “( t ；t 。) 一u ( t ；u 0 ) 0 0 “。一u 0j i + 8fi 一 f ( r ) u ( r ；t n ) ，u 一p ) k ( r ，s ) 0 ；u 。) d s + m ( r ) u ( r ；u o ) ，r + n ( r ) 后( r i s m ( s iu o ) d s d rf i j 0 0 u 。一t ol l + m ( r ) f ft ( r ；“n ) 一u ( r ； a 0 ) | 1d r + f 0 0 2 ”腳) j ( 7 蜘i i u ( 州。) 一u ( s m ) l d s d r s 一u 0 ”j c 阻( + ( r ) 上。( ”) d s l d r 如 1 1 , n ) 一u ( ) 1 3 由t f 的任意性及。的定義知 | | u o ；“。) 一“( t ；“o ) l i c _ b iu 。一o | i r 2 r r + 0i m ( ) + ( r ) 0 七( r i 8 ) d s 打| | u ( 。；u n ) 一”( ；“o ) i i c jj 所以 1 一上 m ( r ) + ( r ) 上。( r i 3 ) d s 】d r 圳“( ；u n ) 一“( 。；“。) i i c | i “n 一。 由( 1 2 6 ) 可知 t ；u ”) 一u ( t ；u 。) 峪= 麗面再i i 葡- - 麗oi i 可而麗- 所以 i iu ( t ；u 。) 一t ( 屯“o ) i i c _ + 0 m o 。) 從而有 0t 正( 2 7 r ；u n ) 一( 2 7 r ；u o ) 0 葉0 ( 斗) 所以島。在b ( 2 w ) ，| b ( 2 ”) 1 上是連續(xù)算子 下證p 2 ，a ( 2 7 r ) a ( 2 7 r ) 由o = n ( 2 r ) f a ( o ) ，盧( o ) 存在初值問(wèn)題( 1 4 3 ) ，( 1 4 4 ) 的 唯一解( t ；a ( 2 7 r ) ) 陋，用，故有u ( 2 7 r ；口( 2 7 r ) ) 【o ( 2 ) ，盧( 2 7 r ) 】。所以p 2 ”a ( 2 7 r ) o ( 2 ) 。類似可證得p 2 ?？? 2 ”) b ( 2 7 r ) 。由引理1 , 2 1 及定理1 2 1 可知p 2 。在【q ( 2 w ) ， 3 ( 2 v r ) 】 上有不動(dòng)點(diǎn)u 6 陋( 2 ”) ，p ( 2 ”) 】。所以以t 5 為初值的初值問(wèn)題( 1 4 3 ) ，( 1 4 4 ) 有一個(gè)解 “( t ；u 6 ) 滿足t ( o ；u 6 ) = u 6 = “( 2 丌；“6 ) ，并且u ( t ；u 6 ) h 剜，故u ( t ；u 6 ) 就是周期邊值 問(wèn)題( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) 的一個(gè)解 下證解唯一。設(shè)p b v p ( 1 4 1 ) ，( 1 4 2 ) 的解不唯一，則u 1 ( t ) ，u 2 ( t ) ，t ，均為它的 解對(duì)v p ，設(shè)m ( t ) = 咖( 1 ( t ) 一u 2 ( t ) ) 。易知m ( o ) = o 而 m ( t ) = 妒( “i ( t ) u ：( t ) ) = 妒( 一m ( o - 1 ( ) 一u 2 ( t ) 卜( ) 上k ( t r ，8 ) 【u 1 ( s ) 一u 2 ( 8 ) 】d s r t = 一m ( t ) m ( t ) n ( o o 女( t ，5 脅( s ) 幽， a e t 。 因此據(jù)定理1 3 ，1 知m ( t ) 0 ，t ，由廬p + 的任意性，知u 1 ( t ) “2 ( t ) ，t ，同 理設(shè)m ( t ) = 廬( 2 ( t ) 一u 1 ( t ) ) 可得u u ( t ) su l ( t ) ，t j ，于是u l ( t ) = u 2 ( t ) ，t j 唯一 性得證 1 4 定理1 4 2e 是自反空間。p 是e 中正規(guī)錐，若( a 1 ) ( i i ) ，( a 2 ) 一( a 4 ) ，( 如) ( “) 成立，那么以下p b v p t 印) = ( ) + m ( 。) u ( 。) + ( 。) 止七( 。，8 ) “( 8 ) 幽， r t ( o ) = 王( 2 霄) 有唯一解u ( t ) 。其中”咿，o 】= 仙c z ，捌 日( ，口( t ) ，( 女功( ) ) 一 ，( ) 口( ) 一( ) ( 七q ) ( # ) 證明：首先考慮以下線性初值問(wèn)題 ( 1 4 7 ) 1 4 8 ) 盧0 ) “( t ) s 口( t ) ，t j ) ，日目( # ) = “( ) = 日叩( t ) + m ( t ) ( t ) + ( ) 上k ( t , s ) o ) d s ， 呲i ( 1 4 9 ) u ( 2 7 r ) = “o ( 1 4 1 0 ) 其中蘆( 2 ”) 讓o d ( 2 ”) 它等價(jià)于算子方程豇( ) = ( t u ) ( t ) ，其中 ( t ”) ( t ) = u 。十z 【( r ) + m ( r ) u ( r ) + ( r ) z 七n s ) “( s ) 酬d r 下證t 是b a n a c h 空間c 【i ，e 上的壓縮算子事實(shí)上，對(duì)v u ，面c i ，司，我們有 r tp t f | t u 珊l l c _ 上( t ) 十( 。) ( , s ) d s d t 0 怕一面憶 j oj 由( 1 2 8 ) 式可知t 為b a n a c h 空間c i l ，e l 中的壓縮算子，所以上面算子方程或與它等 價(jià)的初值問(wèn)題( 1 4 9 ) ，( 1 4 1 0 ) 有唯一解“= ( 2 ”， o ) 下證“( o ；2 7 r ，u 0 ) 歸( 0 ) ，o ( o ) 對(duì)即| p 。設(shè)m ( t ) = ( 盧( t ) 一u ( t ) ) ，易知 m ( 2 v ) s0 而 m ( ) = 廬( 盧( t ) 一“0 ) ) 廬( 日( 。，盧( ) ，( 。盧) ( ) ) 一羈7 ( ) 一4 彳( 2 ) u ( 。) 一( ) 上七( 厶8 ) “( 8 ) 幽) ， 2 廬( m ( t ) 蘆( t ) + ( ) ( 盧) ( t ) 一m ( t ) u ( t ) 一( 站( k t ) ( t ) ) = m ( t ) m ( t ) + ( t ) ( m ) ( t ) ， c t , e t i 利用推論1 3 ，1 知仇( o ) s0 由妒p 的任意性知p ( o ) s “( o ) 同理可證得u ( 0 ) 吐( o ) 于是“( o ；2 r ，“o j p ( o ) ，口( o ) j 進(jìn)而，我們證明存在i t 0 f p ( 2 7 r ) ，口( 2 7 r ) 】使得初值問(wèn)題( 1 4 9 ) ，( 1 4 1 0 ) 的解2 t 螄) 滿足u ( 2 r ) = u