（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）非線性偏微分方程的精確解與廣義改進(jìn)的f—展開法.pdf

江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 本文研究的主要內(nèi)容 在齊次平衡原則的思想下 充分利用f 展開法和r i c c a t i 方程在非線性偏微分方程 p d e s 求解中的優(yōu)良特性 提出一種廣義改進(jìn)的f 展開法 此方法在借助于計(jì)算機(jī)符號(hào)系統(tǒng) m a t h e m a t i c a 下 操作方便 可以得到非線性p d e s 的一系列精確解 類 孤子解 三角函數(shù)周期解 有理數(shù)解 指數(shù)解 并用此方法求解了 k d v m k d v 方程及 2 1 維b u r g e r s 方程 得到了他們豐富類型的精 確解 其中部分是新解 并對(duì)部分解進(jìn)行數(shù)值模擬以便直觀分析 首先 利用齊次平衡思想及改進(jìn)的輔助方程方法研究了 k l e i n g o r d o n 方程 得到了k l e i n g o r d o n 方程類孤子解 三角函數(shù)周 期解 有理數(shù)解 指數(shù)解 其次 利用改進(jìn)的f 展開法研究了 2 1 維b r o e r k a u p 方程 得 到了他們豐富類型的精確解 光滑的鐘形孤立波解 k i n k 解 類孤子 解 復(fù)數(shù)形式解 有理數(shù)解等 并得到了部分新解 這些解對(duì)于解釋 一些物理現(xiàn)象具有一定的意義 最后 利用廣義改進(jìn)的f 展開法研究了k d v m k d v 方程和 2 1 維b u r g e r s 的精確解 得到了它的k i n k 解 類孤子解 復(fù)數(shù)形式解 有 理數(shù)解等 這對(duì)于對(duì)這些方程的進(jìn)一步研究有積極的意義 關(guān)鍵詞 非線一l 生p d e s 齊次平衡原則 輔助方程方法 廣義改進(jìn)的 f 展開法 精確解 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t t h em a jo rc o n t e n to ft h i sp a p e ri sag e n e r a l i z e dm o d i f i e df e x p a n s i o n m e t h o d u n d e rh o m o g e n e o u sb a l a n c ei d e a t h eg e n e r a l i z e dm o d i f i e d f e x p a n s i o nm e t h o di sp r o p o s e db yt a k i n gf u l la d v a n t a g e so ff e x p a n s i o n m e t h o da n dr i c c a t ie q u a t i o ni ns e e k i n ge x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp d e s t h em e t h o dc a nb ec o n v e n i e n t l yo p e r a t e dw i t ht h e a i do fc o m p u t e r s y m b o l i cs y s t e m s m a t h e m a t i c a a n dr i c hf a m i l i e so fe x a c ts o l u t i o n so f n o n l i n e a rp d e sh a v eb e e no b t a i n e d i n c l u d i n gs o l i t o n l i k es o l u t i o n s t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o ns o l u t i o n sa n dr a t i o n a ls o l u t i o n s b yu s i n gt h e m e t h o d w eh a v es o l v e dt h ek d v m k d ve q u a t i o n t h e 2 1 一d i m e n s i o n a l b u r g e r se q u a t i o n s m a s s i v ee x a c ts o l u t i o n so f t h e mh a v eb e e no b t a i n e d a n ds o m eo ft h es o l u t i o n sa f en e w w ea l s op r o v i d e ds o m ef i g u r e so f p a r t i a ls o l u t i o n sf o rd i r e c t v i e w i n ga n a l y s i s f i r s t 吱w e r e s e a r c h e dt h ek l e i n g o r d o n e q u a t i o nb yu s i n gt h e m o d i f i e da u x i l i a r ym e t h o d a sar e s u l t m a n yn e wa n dm o r eg e n e r a le x a c t n o n t r a v e l i n gw a v es o l u t i o n sa r eo b t a i n e di n c l u d i n gs o l i t o n l i k es o l u t i o n s t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s o l u t i o n s e x p o n e n t i a l s o l u t i o n sa n dr a t i o n a l s o l u t i o n s n e x t w er e s e a r c h e dt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h e 2 1 一d i m e n s i o n a l b o r e r k a u pe q u a t i o n sb yu s i n gam o d i f i e df e x p a n s i o nm e t h o d r i c h f a m i l i e so fe x a c ts o l u t i o n so ft h e mh a v eb e e no b t a i n e d i n c l u d i n g i i 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 b e l l s h a p e ds o l i t a r y s o l u t i o n s k i n ks o l u t i o n s s o l i t o n l i k es o l u t i o n s c o m p l e xs o l u t i o n s r a t i o n a ls o l u t i o n sa n ds oo n a n ds o m eo ft h e ma r e n e w w ec o n s i d e rt h e s es o l u t i o n sw i l lm a k es e n s ef o re x p l a i n i n gs o m e p h y s i c a lp h e n o m e n o n f i n a l l y w er e s e a r c h e dt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h ek d v m k d ve q u a t i o n a n dt h e 2 1 d i m e n s i o n a lb u r g e r se q u a t i o n s a n dw eo b t a i n e di t sk i n k s o l u t i o n s s o l i t o n l i k es o l u t i o n s c o m p l e xs o l u t i o n s r m i o n a ls o l u t i o n sa n d s oo n t h e s ew o r kw i l lb eu s e f u l lf o rf u r t h e rr e s e a r c ht ot h ee q u a t i o n k e yw o r d s n o n l i n e a rp d e s h o m o g e n e o u sb a l a n c e p r i n c i p l e a u x i l i a r ye q u a t i o nm e t h o d g e n e r a l i z e dm o d i f i e df e x p a n s i o nm e t h o d e x a c ts o l u t i o n l 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 同意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子 版 允許論文被查閱和借閱 本人授權(quán)江蘇大學(xué)可以將本學(xué)位論文 的全部?jī)?nèi)容或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索 可以采用影印 縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文 本學(xué)位論文屬于 保密口 在年解密后適用本授權(quán)書 不保密 學(xué)位論文作者簽名 馬昆 0 8 年1 2 月 籮日 指導(dǎo)教師齠旃司裴 0 8 年1 2 月f t 日 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明 所呈交的學(xué)位論文 是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下 獨(dú) 立進(jìn)行研究工作所取得的成果 除文中已注明引用的內(nèi)容以外 本論 文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果 對(duì)本文 的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體 均己在文中以明確方式標(biāo)明 本 人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān) 學(xué)位論文作者簽名 馬忌 日期 0 8 年1 2 月l 多日 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章緒論 以應(yīng)用為目的 或以物理 力學(xué)等其他學(xué)科問題為背景的微分方程的研究 不僅是傳統(tǒng)應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)最主要的內(nèi)容 也是當(dāng)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分 它是數(shù)學(xué)理論與實(shí)際應(yīng)用之間的一座重要橋梁 研究工作一直十分活躍 研究領(lǐng) 域日益擴(kuò)大 目前微分方程研究的主體是非線性微分方程 特別是非線性偏微分方程 n l p d e 很多意義重大的自然科學(xué)和工程技術(shù)問題都可歸結(jié)為非線性偏微分 方程的研究 現(xiàn)實(shí)生活的許多領(lǐng)域內(nèi)數(shù)學(xué)模型都可以用n l p d e 來描述 很多重 要的物理 力學(xué)等學(xué)科的基本方程本身就是n l p d e 另外 隨著研究的深入 有些原先可用線性微分方程近似處理的問題 也必須考慮非線性的影響 所以對(duì) n l p d e 的研究 特別是n l p d e 求解精確解的研究工作就顯示出了很重要的理 論和應(yīng)用價(jià)值 但是數(shù)學(xué)研究的結(jié)果 在目前還未能提供一種普遍有效的求精確 解的方法 2 0 世紀(jì)5 0 年代以來 人們對(duì)非線性現(xiàn)象的研究中提出了 孤子 的 概念 進(jìn)而使得對(duì)n l p d e 求解的研究成為非線性科學(xué)中的熱點(diǎn) 下面介紹一下 孤立子理論的研究背景 研究現(xiàn)狀及本文的研究工作 1 1 研究背景 孤立子理論已經(jīng)成為應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理的一個(gè)重要組成部分 在流體力 學(xué) 等離子物理 經(jīng)典場(chǎng)論 量子論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用 隨著近代物理學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展 早在1 8 3 4 年由英國(guó)科學(xué)家r u s s e l l 發(fā)現(xiàn)的孤 立波現(xiàn)象近二十多年來引起了人們的極大關(guān)注 對(duì)這一現(xiàn)象的興趣與日俱增 這 是因?yàn)橐环矫婀铝⒆泳哂辛Ｗ雍筒ǖ脑S多性能 在自然界中有一定的普遍性 利 用孤立子理論也成功地解釋了許多物理上長(zhǎng)期用經(jīng)典理論未能解答的現(xiàn)象 另一 方面 隨著孤立子物理問題的深入研究 孤立子的數(shù)學(xué)理論也應(yīng)運(yùn)而生 并已初 步形成比較完善的理論體系 1 9 1 孤立子理論自1 9 6 5 年由z a b u s k y 和k r u s k a l 對(duì)孤立子 s o l i t o n 簡(jiǎn)稱孤子 命名后得到了迅速地發(fā)展 究其原因是孤波現(xiàn)象無所不在 從天上渦旋星系的密 度波 線 超流氦一3 超導(dǎo)j o s e p h s o n 結(jié) 磁學(xué) 結(jié)構(gòu)相變 液晶 流體動(dòng)力學(xué) 以及基本粒子等 都與孤子有關(guān) 其發(fā)展大致可分三個(gè)階段 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一階段 主要是在1 9 世紀(jì) 最早討論孤立子問題的是s c o t tr u s s e l l 1 8 4 4 年英國(guó)工程師r u s s e l l 發(fā)現(xiàn)船在運(yùn)河中快速行駛著 當(dāng)這條船突然停止時(shí) 在船 頭附近產(chǎn)生了一個(gè)光滑的 像小山包一樣的水波 然后這個(gè)水波離開船頭保持它 的形狀和速度保持不變 接著這個(gè)水波的高度逐漸減少 最后在運(yùn)河的一個(gè)拐彎 處消失掉 他把這種水波稱為孤立波 認(rèn)為它就是流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)穩(wěn)定解 直到 18 9 5 年 荷蘭阿姆斯特丹大學(xué)的k o r t e w e g 教授和他的學(xué)生d ev r i e s 才成功導(dǎo)出 了著名k d v 方程 求出了與r u s s e l l 描述 致的即具有形狀不變的脈沖狀的孤立 波解 在理論上證實(shí)了孤立波的存在 并對(duì)孤立波現(xiàn)象作了較為完整的分析 解 釋了r u s s e l l 的淺水波 解決了這個(gè)問題 他們的數(shù)學(xué)模型為 u t 6 u u 0 1 1 孤立波解為 材 刈 曇s e c h 2 俘 x c t 1 2 后人稱 x f 為卜孤立予解 如果令孝 x c t 那么u 在平面上的圖為圖1 1 所示 q 0 1 4 南 3 l r 0 1 一 圖1 1 光滑孤立子 在孝一u 平面上的圖形 1 9 6 5 年美國(guó)數(shù)學(xué)家k r u s k a l 和a b u s k y 對(duì)k d v 方程的孤立波解進(jìn)行數(shù)學(xué)模 擬 他們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)孤立波相撞之后 各自的運(yùn)動(dòng)方向和大小形狀都保持不變 這 種性質(zhì)與物理中粒子的性質(zhì)類似 因此他們稱這種孤立波為孤立子 在通常情況 下 人們把孤立波和孤立子混為一談 不把它們區(qū)別開來 與此同時(shí) 在1 8 7 6 1 8 8 2 年發(fā)現(xiàn)的b a c k l u n d 變換 成為后來發(fā)展孤子理論的重要基礎(chǔ) 第二階段大致可劃在1 9 5 5 1 9 7 5 年 1 9 5 5 年 f e r m i p a s t a u l a m f p u 將 6 4 個(gè)質(zhì)點(diǎn)用非線性彈簧連成一條非線性振動(dòng)弦 用計(jì)算機(jī)計(jì)算了一維非線性晶 格在各個(gè)振動(dòng)模之間的轉(zhuǎn)換 初始時(shí) 這些諧振子的所有能量都集中在 個(gè)質(zhì)點(diǎn) 2 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 上 其他6 3 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的初始能量為零 按照經(jīng)典的理論 只要非線性效應(yīng)存在 就會(huì)有能量均分 各態(tài)歷經(jīng)等現(xiàn)象出現(xiàn) 即任何微弱的非線性相互作用 可導(dǎo)致 系統(tǒng)的非平衡狀態(tài)向平衡狀態(tài)的過渡 但實(shí)際計(jì)算的結(jié)果卻與經(jīng)典理論是背道而 馳 實(shí)際上 經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間之后 能量似乎又回到了原來的初始分布 這就是 著名的f p u 問題 由于f p u 問題是在頻域空間考察的 未能發(fā)現(xiàn)孤波解 因此 該問題未能得到正確的解釋 后來 人們發(fā)現(xiàn)可以把晶體看成具有質(zhì)量的彈簧拉 成的鏈條 這恰好是f e r m i 研究的情況 t 0 d a 研究了這種模式的非線性振動(dòng) 得 到了孤波解 使f p u 問題得到正確的解答 從而進(jìn)一步激發(fā)起人們對(duì)孤立波的 研究興趣 1 9 6 5 年 z a b u s k y 和k r u s a l 對(duì)等離子體中孤立波的相互碰撞過程進(jìn)行 計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬 進(jìn)一步證實(shí)了孤立波在碰撞前后波形和速度保持不變的論斷 并且把它命名為孤立子 s o l i t o n 它是指一大類非線性偏微分方程的許多具有特 殊性質(zhì)的解 以及具有相應(yīng)的物理現(xiàn)象 它的性質(zhì)具體為 1 能量比較集中 2 孤立子相互碰撞時(shí)具有彈性散射現(xiàn)象 從此孤立子理論的研究工作得到了迅速發(fā) 展 第三階段 1 9 7 3 至今 把孤子概念及理論廣泛應(yīng)用于物理學(xué) 生物學(xué) 天 文學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域 開展了高維孤子的研究 1 9 8 0 年非線性效應(yīng)?？痯 h y s i c a d 問 世 與此同時(shí) 光纖中的孤子已在實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生出來 此后的發(fā)展更是突飛猛進(jìn) 綜上所述 孤立子理論的產(chǎn)生和發(fā)展是與近代物理密切相關(guān)的 孤立子理 論不但包括了有關(guān)的數(shù)學(xué)理論 也包括了物理理論 數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和物理的啟發(fā) 性和實(shí)用性兩者相互結(jié)合 相互依存 相互滲透 相互促進(jìn) 使孤立子理論顯示 出強(qiáng)大的生命力 這也是現(xiàn)代自然科學(xué)發(fā)展的重要特征之一 孤立子一詞雖被廣泛引用 但無一般性定義 數(shù)學(xué)中 將孤立子理解為非 線性偏微分方程的局部行波解 所謂局部是指微分方程的解在空間的無窮遠(yuǎn)處趨 于零或確定常數(shù)的情況 換言之 孤立子指的是穩(wěn)定的孤立波 即與同類孤波碰 撞后不會(huì)消失 而且波形 波速和幅度不會(huì)改變或只有微弱改變的孤立波 在物 理中 孤立子被理解為經(jīng)典場(chǎng)方程的一個(gè)穩(wěn)定的有限能量的不彌散的解 即能量 集中在一個(gè)狹小的區(qū)域內(nèi)且相互作用后不改變波形和波速 許多非線性發(fā)展方 程 妻n k d v 方程 s i n e g o r d o n 方程 s c h r 6 d i n g e r 方程 b o u s s i n e s q 方程 k p 方程 t o d a 晶格方程等都具有孤立子解 孤立子除常見的鐘型和扭型外還有包絡(luò)孤子 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 哨孤子 拓?fù)湫怨伦雍头峭負(fù)湫怨伦?呼吸子 亮孤子和暗孤子 正孤子和反孤 子以及它們疊加而形成的形形色色的孤立子 1 2 研究現(xiàn)狀 求解微分方程是古老而在理論和實(shí)際上又很重要的研究課題 顯示解 特 別是行波解可以很好的描述各種物理現(xiàn)象 如振動(dòng) 傳播波等 但由于非線性微 分方程的復(fù)雜性 至今仍有大量的重要方程無法求出精確解 即使已經(jīng)求出精確 解 也各有各的技巧 至今尚無一般的求解方法 所幸的是孤立子理論中蘊(yùn)涵著 一系列構(gòu)造精確解的有效方法 如反散射法 i s t b i i c k l u n d 變換法 d a r b o u x 變換法 h i r o t a r 2 線性法 p a i n l e v 6 有限展開法 1 0 1 延拓法 及l(fā) i e 群法 1 1 1 等 隨著 各種求解方法的出現(xiàn) 不但過去難以求解的方程得到解決 而且許多新的 具有 重要物理意義的解不斷被發(fā)現(xiàn)和利用 1 9 6 7 年 g a r d n e r t l 2 i 等人發(fā)明了求解k d v 方程的逆散射方法 也稱為非線性 這 方法利用量子力學(xué)中的s c h r o d i n g e r 方程特征值問題 正散射問題 及其反問 題 反散射問題 之間的關(guān)系 經(jīng)過求解g e l f a n d l e v i t a n m a r c k e n k o 線性積分 方程而給出k d v 方程初值問題的解 它不僅對(duì)應(yīng)用技術(shù)提供了嶄新的方法和概 念 而且對(duì)數(shù)學(xué)自身的發(fā)展也有深遠(yuǎn)影響 隨后 l a x 1 4 將該方法加以綜合和 推廣 使之能夠用于求解其他非線性偏微分方程的初值問題 從而逐步形成一種 系統(tǒng)的求解方法 1 9 7 2 年 z a k h a r o v 和s h a b a t 1 5 推廣了這一方法 求出高階k d v 方程 立方s c h r o d i n g e r 方程等的精確解 a b l o w i t z k a u p n e w e l l 和s e g u r 1 6 18 則更加一般化反散射方法 李翊神 田疇 屠規(guī)章教授等也為發(fā)展反散射方法做 了很好的工作 1 9 7 1 年 h i r o 饑昕引進(jìn)的雙線性變換法 h i r o t a 方法 1 8 1 9 是構(gòu)造非線性偏 微分方程n 一孤立子解及其b a c k l u n d 變換的一種重要而直接的方法 1 9 7 5 年 w a h l q u i t 和e s t a b r o o k 提出延拓結(jié)構(gòu)法 以外微分形式為工具 給出 尋找與反散射方法相聯(lián)系的線性特征值問題的系統(tǒng)的方法 1 9 9 1 年 李翊神教授基于對(duì)稱約束提出一種非線性偏微分方程的直接的變量 分離方法 隨后 樓森岳教授等提出另一種更有效的直接變量分離法得到了許多 的 2 1 維非線性發(fā)展方程的精確解 4 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論丈 精確求解非線性發(fā)展方程的工作具有重復(fù)性 固定的套路和規(guī)律 計(jì)算量 大的特點(diǎn) 計(jì)算機(jī)代數(shù)的出現(xiàn)使人們擺脫了刻板 大量而重復(fù)的計(jì)算 提高了速 度保證了準(zhǔn)確率 1 9 9 6 年 p a r k e s 和d u f r y 給出了求非線性發(fā)展方程孤立波解的雙 曲正切函數(shù)法的m a t h e m a t i c a 程序包 王明亮教授等基于非齊次項(xiàng)與高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 平衡的原則 將非線性方程齊次化 代數(shù)化 提出了齊次平衡法 近年來提出并發(fā)展起來的齊次平衡方法 實(shí)際上是求非線性偏微分方程精 確解的一種指導(dǎo)原則 故也稱為齊次平衡原則 依據(jù)該原則 可事先判定某類非 線性偏微分方程是否有一定形式的精確解存在 如果回答是肯定的 貝 f 可按一定 的步驟求出它來 并同時(shí)得到其滿足某些條件的b a c k l u n d 變換 因而齊次平衡原 則具有直接 簡(jiǎn)潔 步驟分明的特點(diǎn) 再者 還適用于計(jì)算機(jī)的符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)進(jìn) 行計(jì)算 且得到的是精確的結(jié)果 至今 齊次平衡原則在非線性數(shù)學(xué)物理中已得 到廣泛的應(yīng)用 且其應(yīng)用范圍正在不斷的擴(kuò)展 已成為處理非線性數(shù)學(xué)物理相關(guān) 問題的有效工具之一 所以 近年來在齊次平衡原則下又發(fā)展了多種求解非線性偏微分方程精確 解的方法 像t a n h 函數(shù)法 2 0 2 1 s i n e c o s i n e 方法 2 2 j a c o b i 橢圓函數(shù)展開法 2 3 1 r i c c a t i 方程方法 2 4 2 5 及f 展開法 2 6 之川等 這些方法一般都借助于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng) m a t h e m a t i c a 或m a p l e 求解方便 直接 而且可以對(duì)解進(jìn)行數(shù)值模擬以便于 直觀分析解的性質(zhì) 1 一 研究的內(nèi)容和意義 本文在齊次平衡原則的思想下 充分利用f 展開法幣0 r i c c a t i 方程在非線性偏 微分方程求解中的優(yōu)良特性 提出一種廣義改進(jìn)的f 展開法 此方法在借助于計(jì) 算機(jī)符號(hào)系統(tǒng)m a t h e m a t i c a 下 操作方便 可以得到非線性偏微分方程的一系列 精確解 類孤子解 三角函數(shù)周期解 有理數(shù)解 并用此方法求解了k d v m k d v 方程及 2 1 維b u r g e r s 方程 得到了他們豐富類型的精確解 其中部分是新解 下面是本文具體的研究工作 第三章 利用齊次平衡方法及改進(jìn)的輔助方程方法研究t k l e i n g o r d o n 方 程 得到了k l e i n g o r d o n 方程類孤子解 三角函數(shù)周期解 有理數(shù)解 指數(shù)解 第四章 利用改進(jìn)的f 展開法研究了 2 1 維b r o e r k a u p 方程的精確解 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 得到了他們豐富類型的精確解 光滑的鐘形孤立波解 k i n k 解 類孤子 復(fù)數(shù)形 式解 有理數(shù)解等 并得到了部分新解 相信這些解對(duì)于解釋一些物理現(xiàn)象具有 一定的意義 第五章 在第四章給出的改進(jìn)的f 展開法的基礎(chǔ)上 提出了一種廣義改進(jìn)的 f 一展開法 并利用廣義改進(jìn)的f 展開法研究了k d v m k d v 方程和 2 1 維b u r g e r s 方程的精確解 得到了它的k i n k 解 類孤子 復(fù)數(shù)形式解 有理數(shù)解等 這對(duì)于 對(duì)此方程的進(jìn) 步研究有積極的意義 本文研究的意義 本文在齊次平衡思想下提出的一種廣義改進(jìn)的f 展開法 克服了原有經(jīng)典f 一展開法 改進(jìn)的f 一展開法和輔助方程方法的一些局限 經(jīng)典 f 一展開法及輔助方程方法只能很好的適合于奇次和偶次階偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)存在的 偏微分方程 而且主要得到的是j a e o b i 橢圓函數(shù)解 因此廣義改進(jìn)的f 一展開法有 更加廣闊的應(yīng)用范圍 而且隨著對(duì)r i c c a t i 方程的深入研究 相信此方法應(yīng)用前景 會(huì)更加廣闊 并能有助于發(fā)現(xiàn)更多復(fù)雜的精確解 而且本文通過用輔助方程方法 法 改進(jìn)的f 展開法和廣義改進(jìn)的f 展開法對(duì)k l e i n g o r d o n 方程 k d v m k d v 方程 2 1 維b r o e r k a u p 方程及 2 1 維b u r g e r s 方程程的求解 找出了它們豐富類 型的精確解及一些新解 相信這些解將會(huì)對(duì)于解釋一些重要的物理現(xiàn)象有積極的 意義 6 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 基本概念 2 1孤立子及尖峰孤立子 目前 對(duì)孤立子有多種定義方式 但還沒有一個(gè)確切的定義 李政道認(rèn)為 在一個(gè)場(chǎng)論系統(tǒng)中 如果有一個(gè)經(jīng)典的解 它在任何時(shí)間內(nèi)都束縛于一個(gè)有限區(qū) 域內(nèi) 那么這樣的解就叫做經(jīng)典孤立子解 通常在應(yīng)用數(shù)學(xué)中 將孤立子理解為非線性演化方程局部化的行波解 經(jīng)過 互相碰撞后 不改變波形和速度 或許相位發(fā)生變化 在物理領(lǐng)域 孤立子被理 解為 經(jīng)相互作用后 波形和速度只有微弱改變的孤立波 或者被理解為 非線 性演化方程能量有限的解 即能量集中在空間有限區(qū)域 不隨時(shí)間的增加而擴(kuò)散 到無限區(qū)域中去 本文采用下述定義 即 定義2 1 1孤立子是指一大類非線性偏微分方程的許多具有特殊性質(zhì)的 解 以及與之相應(yīng)的物理現(xiàn)象 它滿足以下三點(diǎn) 1 孤立子 孤波 是波動(dòng)問題中的一種能量有限局域解 2 能在空間給定區(qū)域穩(wěn)定存在 3 相互作用不改變各自的特性 從以上定義可知 孤立子能量集中在一個(gè)較狹小的區(qū)域 兩個(gè)孤立子相互作 用時(shí)出現(xiàn)彈性散射現(xiàn)象 即波形和波速能恢復(fù)到原狀 或許相位有一些改變 因 此 孤立子具備了粒子和波的許多性能 在自然界中有一定的普遍性 近年來 人們也從更廣泛的意義下理解孤立子這一術(shù)語 比如說 把能量集中在一個(gè)較狹 小的區(qū)域的靜態(tài)解有時(shí)也稱為孤立子 定義2 1 2 若孤立子解在波峰處有一個(gè)不連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù) 則稱此孤立子 解為尖峰孤立子解 p e a k o n 如圖2 1 所示 7 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 7 一 島 2 2 孤立子的分類 圖2 1 尖峰孤立子解 通常所說的孤波 是指非線性演化方程局域行波解 所謂 局域 指的是 非線性演化方程的解在空間的無窮遠(yuǎn)處趨于0 或趨于確定常數(shù)的情況 目前已經(jīng) 有一系列非線性演化方程存在孤波解 除k d v 方程外 比較重要的還有非線性 s c h r o d i n g e r 方程 n l s 方程 s i n e g o r d o n w g o r d o n 方程 i l i r o t a mt o d a 非線 性品格方程 鐵磁鏈方程 布森內(nèi)斯克方程 波恩 mb o o 一英菲爾德 mli n f e l d 方程 歸納起來 孤波的典型類型不外乎圖22 中的四種 曲波包型 鐘型 b 凹陷型 反鐘型 c 扭結(jié)型 d 反扭結(jié)型 其中 a 和 b 都是當(dāng)割 9 時(shí) 解 吐 f 斗0 而 c 和 d 則是當(dāng)f 或一m 時(shí) p f 趨向于不同的常數(shù)值 e t a 波包型 鐘型 e c b l 凹陷型 反鐘型 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 i 吣d 廠一 虧 1 味號(hào) l i孝 c 扭結(jié)型 d 反扭結(jié)型 圖2 2 孤立子的分類 從拓?fù)湫再|(zhì)角度 孤波可分為拓?fù)湫怨虏ê头峭負(fù)湫怨虏?拓?fù)湫怨虏ù嬖?的必要條件是有簡(jiǎn)并真空態(tài) 即在無窮遠(yuǎn)處存在不同的真空態(tài) 或者說有不同的 邊界條件 有孤立子解時(shí) 無窮遠(yuǎn)處的邊界條件就與沒有孤立子解時(shí)不同 而非 拓?fù)湫怨虏ú恍枰?jiǎn)并真空態(tài) 無論有無孤立子解 在無窮遠(yuǎn)處都有相同的邊界 條件 一般來說 鐘型分布的正 負(fù) 暗 孤波及其序列都是非拓?fù)涞?但是k i n k 孤波 其模方或其導(dǎo)數(shù)卻是鐘型的 如光纖中基本暗孤子就是例子 是拓?fù)涔伦?需要注意的是 同一方程可能支持兩類不同拓?fù)湫再|(zhì)的孤波解 如0 q l s 方程支 持明孤子解和小振幅明暗孤子解 非拓?fù)?及基本暗孤子解 拓?fù)?值得說明的是 盡管孤波原本指一類可積非線性演化方程的局域行波解 但 現(xiàn)在 至少在物理上 孤波概念已經(jīng)被推廣到相對(duì)穩(wěn)定的孤波解 即使原來方程 并非可積的 例如光孤子理論中 盡管有阻尼項(xiàng)的n l s 方程是不可積的 而且 實(shí)際光纖中的光孤子也不可能不衰減 但在阻尼很小的情況下 相對(duì)穩(wěn)定的孤波 仍被稱為光孤子 在其他一些情況下 對(duì)孤波的理解常常也因?yàn)閷?shí)際問題而有所 推廣 2 3 逆算符法 據(jù)逆算符方法的基本思想 把偏微分方程a u a u u o 改寫為 r u n u 0 2 3 1 其中 和r 是線性微分算子 m 是非線性項(xiàng) 算子 是可逆的 作用逆算子l 于上 式兩邊得到 9 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 l f l 1 r f 1 n u 2 3 2 其中脯足 2 3 1 及初始條件 根據(jù)逆算符方法甜可以分解為一系列分量之和 2 3 3 n o 利用回歸關(guān)系可以得到 u o x 女 l e 1 r u l f 1 n u 女 2 3 4 非線性項(xiàng)f u n u 可以表示為無限級(jí)數(shù)之和 f 4 2 3 5 月 0 其中a n 是a d o m i a n 多項(xiàng)式 定義為 以 芻殺 f 善4 0 0 五 毪兒種 z 0 1 2 2 3 6 利用 2 3 3 2 3 4 可以依次解出 l 2 蠔 從而得到方程的解 u 2 3 2 3 7 業(yè)已證明a d o m i a n 分解法是收斂的 而且收斂速度相當(dāng)快 能夠得到精確解 2 4 齊次平衡法 齊次平衡法是一種求解非線性偏微分方程非常重要的方法 它將非線性發(fā) 展方程的求解問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)運(yùn)算 利用這種方法不僅可以得到方程的 b a e k l u n d 變換 而且能得到非線性偏微分方程的新解 該方法的大致步驟如下 對(duì)于給定一個(gè)非線性偏微分方程 p u u u f 時(shí) 盯 0 2 4 1 這里尸一般是其變?cè)亩囗?xiàng)式 其中含有非線性項(xiàng)及線性出現(xiàn)的最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 一個(gè)函數(shù)w w x f 稱為是方程 2 4 1 的擬解 如果存在單變?cè)瘮?shù) f 廠 w 使徵w 關(guān)于x f 的一些偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)?shù)木€性組合 即 材 x 力 鬻 t v x 力 廠 們關(guān)于x 和 的低 2 4 2 于m n 階的偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)線性組合 精確的滿足 2 4 1 2 4 2 中的非負(fù)整數(shù)m 以 單變?cè)瘮?shù)f f w 以及函數(shù) w w x f 都是待定的 將 2 4 2 代入 2 4 1 中可通過以下步驟確定它們 1 0 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 首先 使高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中包含的w w x f 的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次和非線性項(xiàng) 中包含的關(guān)于w w x 的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次相等 來決定非負(fù)整數(shù)m 及 2 是否存 在 其次 集合w w x f 的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次的全部項(xiàng) 使其系數(shù)為零 而得 火w 滿足的o d e 解之可得f f w 一般是對(duì)數(shù)函數(shù) 第三 檄w 的各階導(dǎo)數(shù)的非線性項(xiàng) 瞅w 的較高階的導(dǎo)數(shù)來代替 再將 蓯w 的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)分別合并在一起 并令其系數(shù)為零 而得w w x t 的各次齊 次型的p d e 組 可適當(dāng)選擇 2 4 2 中線性組合的系數(shù) 使p d e 組有解 最后 若前三步的解答使肯定的 將這些結(jié)果代入 2 4 2 經(jīng)過一些計(jì)算就 得 2 4 1 的精確解 從 2 4 2 中可以看出 如果v x f 方程 2 4 1 的一個(gè)解 則通過上述步驟就 可以求得方程的b a c k l u n d 變換 2 5j a c o b i 橢圓函數(shù)方法 考慮非線性偏微分方程 2 4 1 尋求它的行波解為 u 甜 孝 善 k x 一口 2 5 1 其中七和c 分別為波數(shù)和波速 將 善 展開為下歹t j j a c o b i 橢圓正弦函數(shù)s n 善的級(jí)數(shù) 甜 哆s n 善 j 0 2 5 2 它的最高階數(shù)為 d 善 刀 2 5 3 因?yàn)?囂 砉瑪一弋c n 孝d n f 2 5 4 其中 c n 善和d n 孝分別為j a e o b i 橢圓余弦函數(shù)和第三種j a c o b i 橢圓函數(shù) 且 c n 2 孝 1 一s r l 2 孝 d n 2 孝 l m 2s l l 2 孝 2 5 5 m o 歷 t a n h 2 5 2 式就退化為 口 t a n h 善 2 5 9 所以此方法包含了雙曲正切函數(shù)展開法 2 6 輔助方程方法 考慮非線性偏微分方程 2 4 1 尋求它的行波解為 u 善 孝 七 x c o t 2 6 1 其中姘日砌別為波數(shù)和波速 將式 2 6 1 代入方程 2 4 1 中 則 2 4 1 化為 孝 的非線性常微分方程 n o d e g u 搿 o 2 6 2 設(shè) 毒 可表為z 孝 有限冪級(jí)數(shù) 孝 g i z 孝 2 6 3 這里a 是待定常數(shù) 為一常數(shù) 由非線性偏微分方程 2 4 1 中具有支配地位的非 線性項(xiàng)和最高階數(shù)項(xiàng)平衡得到 z f 滿足如下新的輔助常微分方程 1 2 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 d 考 2 a z 孝 2 孝 4 c z 孝 6 其中a b c 為待定實(shí)數(shù) 將 2 6 3 代 k n o d e 2 6 2 中 利用 2 6 4 n i 將方程 2 6 2 左邊變成z 孝 的多 項(xiàng)式 令z f 的各冪次的系數(shù)為零 可得關(guān)于a o a l a n k 嘲代數(shù)方程 組 解上述方程組 可借助m a t h e m a t i c a 或m a p l e 可解得a o a l a n 七 細(xì) 將結(jié)果代入 2 6 3 中 得 2 4 1 的行波解的一般形式 利用表2 1 適當(dāng)選取4 b c 4 的值 可得方程 2 4 1 的一些特殊解 表2 1a 曰 g4 與方程 2 6 4 的解z f 之間的關(guān)系表 司只糾c e 吐1 曰一般為任意實(shí)數(shù) 彳c z 鼉 a 0 c 為任意實(shí)數(shù) 為任意實(shí)數(shù) s e c h 廊晦一刪 a 占b t a n h 廊 a o c 為任意實(shí)數(shù) 為任意實(shí)數(shù) c s c h 廊晦一刪 a b 姐廊 a 0 c 為任意實(shí)數(shù) a 0 c o s h 2 廊 一占7 占 必 2 a 必 a 0 壓c o s 2 4 一彳f 一囂 2 a a 0 c 為任意實(shí)數(shù)a 0 一as i n h 2 f a 孝 一召7 a 0 占厄s i n 2 2 a a b a 0 c 0 為任意實(shí)數(shù) s e c h 廊恢2 s a c t a n ah 風(fēng) a 0 為任意實(shí)數(shù) s e c 痂 b 2 s 彳 c a t a n 礎(chǔ) a oc 0 為任意實(shí)數(shù) c s c h 廊恢2 彳 c a c 伍 皿 a 0 為任意實(shí)數(shù) c s c 廊 b 2 爿 c a c 一 a o c 為任意實(shí)數(shù) a 0 一百a 1 s 鼬 譬鰳必 a 0 c 為任意實(shí)數(shù)a o 一 1 6 c o t h 孚鰳必 a o c 為任意實(shí)數(shù) 為任意實(shí)數(shù) 4 e 2 4 一a 4 e 班2 s 4 7 6 4 彳c 必 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 7f 一展開法 考慮非線性偏微分方程 2 4 1 尋求它的行波解為 甜 甜 孝 善 k x c t 2 7 1 其中研口c 分別為波數(shù)和波速 將式 2 7 1 代入方程 2 4 1 中 貝j j 2 4 1 化為 善 的非線性常微分方程 n o d e e u u 材 0 2 7 2 設(shè)蹦 孝 可表為f 孝 有限冪級(jí)數(shù) 材 f 島 q f 孝 口 o 2 7 3 i l 這里啦是待定常數(shù) 善 滿足下列一階常微分方程 f 噸 毒 p f 4 q f 2 r 2 7 4 這里尸 9 r 是待定常數(shù) 正整數(shù) 是由具有支配地位的非線性項(xiàng)與最高階偏導(dǎo)數(shù) 項(xiàng)平衡確定 將 2 7 3 代 n n o d e 2 7 2 0 0 矛t j l g 2 7 4 g 將方程 2 7 2 左邊變成f 孝 的多 項(xiàng)式 置 善 的各次冪次的系數(shù)為零 得關(guān)于口o a l a n k c 的代數(shù)方程 組 求解上述方程組 可借助m a t h e m a t i c a 或m a p l e 可解得a o a l a n k c 將結(jié)果代入 2 7 3 中 得 2 4 1 的行波解的一般形式 利用表2 2 適當(dāng)選取尸 q r 的值 可得方程 2 4 1 的由j a c o b i 函數(shù)表示的周 期波解 f 一展開法與本文2 6 所講述的輔助方程方法的約束方程不同 由于約束方程 的不同 根據(jù)相應(yīng)約束方程和特解的對(duì)照表 在求解偏微分方程時(shí)得到相應(yīng)的特 解的形式也不同 1 4 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 表2 2 只q r 與方程 2 f 礦4 妒2 尺的解只號(hào) 之間的關(guān)猿 p q r f 也 孝 p f 4 q f 2 r f 0 m z 1 m 2 l f 吃 善 1 一f 2 1 一m 2 f 2 s h e 1 z2 m z 11 f n 孝 1 一f 2 加2 f 2 l m 2 c n f f 1 2 m m 2 1 f n 孝 1 一f 2 f 2 聊2 1 d n 孝 1 1 j i 2 2 所z 吐g 1 一f 2 沏2 一f 2 墨乒 s n 拶1 1 坍22 m 2 1 z m c 乒 c n e 3 1 m f n 善 1 f 2 瑚2 1 f 2 一m 2 掰2 12 m 2 1 f 垃 孝 i f 2 1 一m 2 f 2 1 矗 d 喲q 1 m 2 2 m 1 f 心 善 1 f 2 1 一聊2 f 2 l t f 器 m 2 1 2 m l 1l f 心 孝 1 m 2 f 2 z 2 1 f 2 s a 善 d s n n a 善言1 7 2 l 2 m 21 m 2 尸2 孝 1 f 2 f 2 1 m 2 孝 鬈 l 2 m 1 m 2 1 f 2 善 m 2 f 2 f 2 漸2 1 1 蜘鬈 m 2 1 1 5 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 第三章改進(jìn)的輔助方程方法求解k l e i n g o r d o n 方程 本章主要研究運(yùn)用改進(jìn)的輔助方程方法求解二次非線性k l e i n g o r d o n 方程 1 3 0 3 7 即 一口2 甜舡 f l u z u 2 0 3 1 其中q p y 為已知常數(shù) 3 1 改進(jìn)的輔助方程方法 考慮一個(gè)給定的n l p d e 含有自變量x 五 x 2 而 及變量 p u q 0 3 1 1 這里p 為其變?cè)亩囗?xiàng)式 其中包含有非線性項(xiàng)和高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 采用改進(jìn)的f 展開法求解方程 3 1 1 的步驟如下 i 尋求方程 3 1 1 的行波解為 u 孝 孝 k x c o t 3 1 2 其中k 和鼢別為波數(shù)和波速 將 3 1 2 式代入方程 3 1 1 中 則 3 1 1 化為 孝 的非線性常微分方程 n o d e g u 菇 搿 0 3 1 3 i i 設(shè) 孝 可表為z 善 有限冪級(jí)數(shù) 孝 a z 孝 3 1 4 這里島是待定常數(shù) 為一常數(shù) 由非線性偏微分方程 3 1 1 中具有支配地位的非 線性項(xiàng)和最高階數(shù)項(xiàng)平衡得到 z 善 滿足如下新的輔助常微分方程 唼卜似分 眺 3 啡 4 其中a b c 為待定實(shí)數(shù) 1 1 1 將 3 1 4 4 弋 x n o d e 3 1 3 中 利用 3 1 5 g g 獬 3 1 3 左邊變成z 號(hào) 的 多項(xiàng)式 令z 孝 的各次冪次的系數(shù)為零 可得關(guān)于印 口l 口 忌 彩的代數(shù) 方程組 求解上述方程組 可借助m a t h e m a t i c a 或m 印l e 可解得口o 口l 口 k 1 6 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 0 9 將結(jié)果代a 3 1 4 中 得 3 1 1 的行波解的一般形式 i v 利用表3 1 適當(dāng)選軸 e4 的值 可得方程 3 1 1 的一些特殊解 表3 ia b g4 與方程 3 1 5 的解z 孝 之間的關(guān)系表a b 2 4 a c 薩 l b 為任意實(shí)數(shù) 彳c 4 z 0 a o c 為任意實(shí)數(shù) 為任意實(shí)數(shù) s e h2 2一 2 1 e e a y 2 a c t a n h 糾 a o c 為任意實(shí)數(shù) 為任意實(shí)數(shù) c s z 咄b2 一 占c o 堅(jiān)f 2 2 a s e c h j r a 孝 x 0 c 為任意實(shí)數(shù)a 0 占厄一bs e c h f a 善 2 as e c x 一a s a 0 嫗一bs e c d a 專 2 ac s c h 打 a o c 為任意實(shí)數(shù) o 0 五一bc s c h j a f 2 acs c 一a 善 a 0 嫗一bcs c 一a l a o c 0 為任意實(shí)數(shù) n 孚 焉 打y 善 為任意實(shí)數(shù) 2 一 t 焉 孚f a o a o c 0 為任意實(shí)數(shù) c s c h 2 了引 s 瓜 a h 孚孝 a 0 為任意實(shí)數(shù) c s 2 占 一焉半善 孚毒 a 0 c 為任意實(shí)數(shù)a o 一扣弛小孚鋤 a o c 為任意實(shí)數(shù) 卸 一a 矗 1 6 c o t 粵鋤 4 a e e 而 a o c 為任意實(shí)數(shù) 為任意實(shí)數(shù) e 8 屁一b 2 4 a c 為任意實(shí)數(shù)且4 a e s 再 a o c 為任意實(shí)數(shù) b 0 1 4 a c e 4 t 西 4 召 a o c 為任意實(shí)數(shù) 為任意實(shí)數(shù) b2 善2 4 c 為任意實(shí)數(shù)且 a o c 0 b 0 托專 1 7 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 通過對(duì)輔助方程方法細(xì)致深入的研究 對(duì)其對(duì)約束方程進(jìn)行了改進(jìn) 將原有 的約束方程睦 2 似分 q 穢改進(jìn)為方程唼 2 止 鏟 劈 q 4 必吣 由于約束方程的改變 原有的約束方程與特解的關(guān)系列表也隨之改進(jìn) 由原來的 表2 1 改進(jìn)為表3 1 并且由此改進(jìn) 在應(yīng)用改進(jìn)后的方法求解非線性偏微分方 程可得到更多豐富類型的精確解 3 2求解k l e i n g o r d o n 方程 p a r k e s 等人運(yùn)用j a c o b i 橢圓函數(shù)展開法求得了方程 3 1 的周期解 3 引 我們將 運(yùn)用輔助方程方法求得方程 3 1 的多重行波解 i 首先做如下變換 x u 4 孝 x k t 3 2 1 這里k 是波速 將 3 2 1 代入方程 3 1 得到下面的常微分方程 尼2 o r 2 f l u r u 20 3 2 2 使非線性項(xiàng)朋2 同時(shí)與線性項(xiàng)口2 a 及u u 平衡 可得m 2 因此我們令 u 4 a o 口l z 孝 口2 2 2 f 3 2 3 其中a o a l a 2 為待定常數(shù) z 孝 滿足下式 祟 2 a z 2 善 3 孝 c z 4 孝 3 2 4 a g i i 將 3 2 4 及 3 2 3 代a 3 2 2 得 f l a o y a 0 2 a f l z 孝 一a a l a 2 z 4 a a l k 2 z 孝 妄b 口l k 2 2 3 善 一 妄觚口2 2 3 f 2 c a i k 2 2 5 f 2 c a l a 2 2 5 手 2 r a o a z 4 7 a 1 2 2 2 善 4 4 口2 k 2 2 2 孝 一4 a a 2 口2 2 2 4 f l a 2 2 2 孝 2 b 口2 k 2 2 3 善 一 3 2 5 2 b a 2 口2 2 3 孝 3 b 口2 k 2 2 4 4 2 c a 2 七2 2 4 孝 3 b a 2 口2 2 4 孝 一 2 c a 2 口2 2 4 孝 4 c a 2 k 2 2 6 孝 一4 c a 2 口2 2 6 孝 2 r a o a 2 2 2 f 一 2 7 a l a 2 2